高等数学习题[1]课件

1、高等数学习题1主要内容主要内容多元函数多元函数的极限的极限多元函数多元函数连续的概念连续的概念极限运算极限运算多元连续函多元连续函数的性质数的性质多元函数概念多元函数概念高等数学习题1全微分全微分的应用的应用高阶偏导数高阶偏导数隐函数隐函数求导法则求导法则复合函数复合函数求导法则求导法则全微分形式全微分形式的不变性的不变性方向导数方向导数全微分全微分概念概念偏导数偏导数概念概念微分法在微分法在几何上的应用几何上的应用多元函数多元函数的极值的极值高等数学习题1定定义义 设设函函数数),(yxfz 的的定定义义域域为为),(,000yxPD是是其其 聚聚点点，如如果果对对于于任任意意给给定定的的正

2、正数数 ，总总存存在在正正数数 ，使使得得对对于于适适合合不不等等式式 20200)()(|0yyxxPP 的的一一切切点点，都都有有 |),(|Ayxf成成立立，则则称称 A 为为 ),(yxfz 当当0 xx ，0yy 时时的的极极限限，记记为为 Ayxfyyxx ),(lim00 （或或)0(),( Ayxf这这里里|0PP ）. . 二元函数的极限二元函数的极限高等数学习题1说明：说明：（1 1）定义中）定义中 的方式是任意的；的方式是任意的；0PP （2 2）二元函数的极限也叫）二元函数的极限也叫二重极限二重极限);,(lim00yxfyyxx（3 3）二元函数的极限运算法则与一元函

3、数类似）二元函数的极限运算法则与一元函数类似（4）二重极限的）二重极限的几何意义几何意义： 0， P0 的去心的去心 邻域邻域 U(P0, )。 在在U(P0, )内，函数内，函数),(yxfz 的图形总在平面的图形总在平面 Az及及 Az之间。之间。,)(lim0AxfPP . )() ( 0PPAxf以以某某种种方方式式趋趋于于高等数学习题1Axfyyxx )(lim00Ayxfyyxx ),(lim00) (0Px轴轴沿沿平平行行Ayxfyyxx ),(lim00) (0Py轴轴沿沿平平行行) )( (000Pxxkyy 沿沿Ayxfxx ),(lim0000)(yxxky ( (2 2

4、) ) 找找两两种种不不同同趋趋近近方方式式，使使),(lim00yxfyyxx存存在在，但但 两两者者不不相相等等，此此时时也也可可断断言言),(yxf在在点点),(000yxP 处处极极限限不不存存在在 确定确定极限不存在极限不存在的的方法方法：(1) (1) 令令),(yxP沿沿)(00 xxkyy 趋向于趋向于),(000yxP， 若极限值与若极限值与k有关，则可断言极限不存在；有关，则可断言极限不存在； 高等数学习题1设设n元函数元函数)(Pf的定义域为点集的定义域为点集0, PD是其聚是其聚 点且点且DP 0，如果，如果)()(lim00PfPfPP 则称则称n元元 函数函数)(P

5、f在点在点0P处处连续连续. . 二元函数的连续性二元函数的连续性定义定义(1) 函函数数),(yxf在在),(000yxP点点有有定定义义； (2) ),(lim00yxfyyxx存存在在； (3) ),(),(lim0000yxfyxfyyxx 。 则则称称函函数数),(yxf在在点点),(000yxP连连续续. . 定义定义高等数学习题1设设0P是函数是函数)(Pf的定义域的聚点，如果的定义域的聚点，如果)(Pf在点在点 0P处不连续，则称处不连续，则称0P是函数是函数)(Pf的的间断点间断点. . 注意注意：二元函数可能在某些孤立点处间断，也可能：二元函数可能在某些孤立点处间断，也可能

6、 在曲线上的所有点处均间断。在曲线上的所有点处均间断。在在定义区域内的定义区域内的连续点求极限可用连续点求极限可用“代入法代入法”：)()()(lim000定定义义区区域域 PPfPfPP高等数学习题1闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质在有界闭区域在有界闭区域D上的多元连续函数，在上的多元连续函数，在D上上至少取得它的最大值和最小值各一次至少取得它的最大值和最小值各一次在有界闭区域在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在上取得两个不同的函数值，则它在D上取上取得介于这两值之间的任何值至少一次得介于这两值之间的任何值至少一次（1 1

7、）最大值和最小值定理最大值和最小值定理（2 2）介值定理介值定理高等数学习题1偏导数的定义偏导数的定义xyxfyxxfxfxyyxx ),(),(lim0000000),(yxfz yyxfyyxfyfxyyxx ),(),(lim0000000),(00yxfx ),(00yxfy xyxfyxxfxfx ),(),(lim0yyxfyyxfyfx ),(),(lim0),(yxfx ),(yxfy 高等数学习题1时，时，求求 xf 只要把只要把 x 之外的其他自变量暂时看成之外的其他自变量暂时看成常量，对常量，对 x 求导数即可。求导数即可。时，时，求求 yf 只要把只要把 y 之外的其他

8、自变量暂时看成之外的其他自变量暂时看成常量，对常量，对 y 求导数即可。求导数即可。注意：注意：偏偏导导数数xu 是是一一个个整整体体记记号号，不不能能拆拆分分; ; 有关偏导数的几点有关偏导数的几点说明说明：、 求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；高等数学习题1),(22yxfxzxzxxx ),(22yxfyzyzyyy ),(2yxfyxzxzyxy ).,(2yxfxyzyzxyx 函函数数),(yxfz 的的二二阶阶偏偏导导数数为为 混合偏导混合偏导高阶偏导数高阶偏导数二阶及二阶以上的偏导数统称为二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数高阶偏

9、导数. .( 注意注意：混合偏导数相等的条件：混合偏导数相等的条件)高等数学习题1如果函数如果函数),(yxfz 在点在点),(yx的全增量的全增量 ),(),(yxfyyxxfz 可以表示为可以表示为 )( oyBxAz ， 其中其中BA,不依赖于不依赖于yx 、而仅与而仅与yx、有关，有关， 22)()(yx ，则称函数，则称函数 ),(yxfz 在点在点 ),(yx 可微分，可微分，yBxA 称为函数称为函数 ),(yxfz 在点在点),(yx的的全微分全微分，记为，记为dz，即，即 全微分的定义全微分的定义. yBxAdz 高等数学习题1定定理理 1 1（可可微微分分必必要要条条件件）

10、 如如果果函函数数),(yxfz 在在 点点),(yx可可微微分分，则则该该函函数数在在点点),(yx的的偏偏 导导数数xz 、yz 必必存存在在，且且函函数数),(yxfz 在在点点),(yx的的全全微微分分为为 .dyyzdxxzdz 定定理理（可可微微分分的的充充分分条条件件）如如果果函函数数),(yxfz 的的偏偏导导数数xz 、yz 在在点点),(yx连连续续，则则该该函函 数数在在点点),(yx可可微微分分 高等数学习题1多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微分函数可微分函数连续函数连续 偏导数连续偏导数连续偏导数存在偏导数存在设设函函数数),(vuf

11、z 具具有有连连续续偏偏导导数数，则则 u，v 不不论论是是 自自变变量量还还是是中中间间变变量量，总总有有全全微微分分 dvvzduuzdz 。 -全微分形式不变性全微分形式不变性高等数学习题1uv1、z x 型型复合函数求导法则复合函数求导法则.dxdvvzdxduuzdxdz ).( ),( ),(xvxuvufz .dxdwwzdxdvvzdxduuzdxdz 以上公式中的导数以上公式中的导数 称为称为dtdzuvw型型 xz.dxdvvzdxduuzdxdz 高等数学习题1特殊地特殊地),(yxufz ),(yxu ,xfxuufxz .yfyuufyz 其中其中ywwzyvvzyu

12、uzyz xwwzxvvzxuuzxz zwvuyx2、z uvxy型型,xvvzxuuzxz .yvvzyuuzyz ).,( ),(),(yxvyxuvufz 高等数学习题10),(. 1 yxF.yxFFdxdy 隐函数的求导法则隐函数的求导法则0),(. 2 zyxF.zyFFyz ,zyFFyz 0),(0),(vuyxGvuyxF3.,),(),(1vxGFJxu ,),(),(1xuGFJxv ,),(),(1vyGFJyu .),(),(1yuGFJyv vGuGvFuFvuGFJ ),(),(常用方常用方程两边程两边求导法求导法高等数学习题1微分法在几何上的应用微分法在几何上

13、的应用一、空间曲线的切线与法平面一、空间曲线的切线与法平面1.1.设空间曲线的方程设空间曲线的方程 ).(),(),(tztytx ; ),(00000ttzyxM 对应于对应于设设曲线在曲线在M0 点的点的切向量切向量： )( ),( ),( 000tttT 过过 M0 点处的点处的法平面方程法平面方程：0)()()(000000 zztyytxxt 过过M0 点的点的切线方程切线方程：.)()()(000000tzztyytxx 高等数学习题1,)()(100000 xzzxyyxx . 0)()()(00000 zzxyyxxx 法平面方程为：法平面方程为：2.2.空间曲线方程为空间曲线

14、方程为, )()( xzxy .)( ),( , 1 00 xxT 曲线在曲线在 M0(x0, y0, z0) 点处的切向量点处的切向量切线方程：切线方程：高等数学习题1,)()(100000 xzzxyyxx . 0)()()(00000 zzxyyxxx 法平面方程为：法平面方程为：切线方程：切线方程：曲线在曲线在 M0(x0, y0, z0) 点处的切向量点处的切向量3.3.空间曲线方程为空间曲线方程为, 0),(0),( zyxGzyxF).( ),( , 1 00 xzxyTxx ( 方程两边求导方程两边求导 法求法求)(0 xzx ),(0 xyx 高等数学习题1二、曲面的切平面与

15、法线二、曲面的切平面与法线1. 1. 若曲面方程为若曲面方程为0),( zyxF曲面在点曲面在点M(x0, y0, z0) 的的切平面方程切平面方程0)()()(000 zzMFyyMFxxMFzyx法线方程法线方程为为.),(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx ),(),(),( 000000000zyxFzyxFzyxFnzyx 曲面在曲面在 M (x0, y0, z0) 处的处的法向量法向量高等数学习题12. 2. 若曲面方程为若曲面方程为).,(yxfz 曲面在曲面在M处的处的切平面方程切平面方程,)(,()(,(0000000zzyyyxf

16、xxyxfyx 曲面在曲面在M处的处的法线方程法线方程.1),(),(0000000 zzyxfyyyxfxxyx.1 ),( ),( 0000 yxfyxfnyx曲面在曲面在 M (x0, y0, z0) 处的处的法向量法向量高等数学习题1方向导数方向导数.),(),(lim0 yxfyyxxflf 定义定义的方向导数的方向导数沿方向沿方向限为函数在点限为函数在点的极限存在，则称这极的极限存在，则称这极时，如果此比时，如果此比趋于趋于沿着沿着比值，当比值，当之之两点间的距离两点间的距离与与函数的增量函数的增量lPPlPyxPPyxfyyxxf 22)()(),(),( 记为记为方向导数方向导

17、数定定理理 如如果果函函数数),(yxfz 在在点点),(yxP是是可可微微分分的的， 那那末末函函数数在在该该点点沿沿任任意意方方向向 L 的的方方向向导导数数都都 存存在在，且且有有( (其其中中 为为 x 轴轴到到方方向向 L 的的转转角角) ) sincosyfxflf ， 高等数学习题1定义定义 设函数设函数),(yxfz 在平面区域在平面区域 D 内具有一阶内具有一阶 连续偏导数，则对于每一点连续偏导数，则对于每一点DyxP ),(，都，都 可定出一个向量可定出一个向量 jyfixf ，这向量称为函，这向量称为函 数数),(yxfz 在点在点),(yxP的的梯度梯度，记为，记为 梯

18、度梯度. ),( jyfixfyxfgrad 三元函数的梯度三元函数的梯度. ),(kzfjyfixfzyxfgrad 高等数学习题1多元函数的极值多元函数的极值驻点驻点极值点极值点注意：注意：极极大大值值、极极小小值值统统称称为为极极值值. . 使函数取得极值的点称为使函数取得极值的点称为极值点极值点. . 高等数学习题1求求函函数数 ),(yxfz 极极值值的的一一般般步步骤骤： 第第一一步步 解解方方程程组组 , 0),( yxfx0),( yxfy求出所有驻点求出所有驻点. . 第第二二步步 对对于于每每一一个个驻驻点点),(00yx， 求求出出二二阶阶偏偏导导数数的的值值 A、B、C

19、. . 第三步第三步 定出定出2BAC 的符号，再判定是否是极值的符号，再判定是否是极值. . (1) 02 BAC时时具具有有极极值值，且且 当当0 A时时有有极极大大值值， 当当0 A时时有有极极小小值值； (2) 02 BAC时时没没有有极极值值； (3) 02 BAC时时可可能能有有极极值值, ,也也可可能能没没有有极极值值. . 高等数学习题1条件极值拉格朗日乘数法条件极值拉格朗日乘数法要找要找 ),(yxfz 在条件在条件 0),( yx 下的可能下的可能极值点极值点, , 先构造函数先构造函数 ),(),(),(yxyxfyxF ，其中，其中 为某一常数，可由为某一常数，可由 .

20、 0),(, 0),(),(, 0),(),(yxyxyxfyxyxfyyxx 解出解出 , , yx，其中，其中yx ,就是可能的极值点的坐标就是可能的极值点的坐标. . 高等数学习题1要找要找 ),(tzyxfu 在条件在条件 0),( tzyx ， 0),( tzyx 下的极值下的极值， 先构造函数先构造函数 ),(),(tzyxftzyxF),(),(21tzyxtzyx 其中其中21 , 均为常数。均为常数。 . 0),(, 0),(, 0),(, 0),(, 0),(, 0),(tzyxtzyxtzyxFtzyxFtzyxFtzyxFtzyx 求解方程组求解方程组解解出出tzyx

21、, , ,， 即即得得可可能能的的极极值值点点 的的坐坐标标. . 高等数学习题1 第六章 习题课机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、一、 基本概念基本概念 二、多元函数微分法二、多元函数微分法 三、多元函数微分法的应用三、多元函数微分法的应用 多元函数微分学多元函数微分学高等数学习题1一、一、 基本概念基本概念连续性连续性 偏导数存在偏导数存在 方向导数存在方向导数存在可微性可微性1. 多元函数的定义、极限多元函数的定义、极限 、连续、连续 定义域及对应规律定义域及对应规律 判断极限不存在及求极限的方法判断极限不存在及求极限的方法 函数的连续性及其性质函数的连续性及其性质2. 几个基本概

22、念的关系几个基本概念的关系机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 高等数学习题1思考与练习思考与练习机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 1. 讨论二重极限讨论二重极限yxyxyx00lim解法解法101lim1100 xyyx原式解法解法2 令令, xky 01lim0kkxx原式解法解法3 令令,sin,cosryrx0sincossincoslim0rr原式时时, 下列算法下列算法是否正确是否正确?高等数学习题1分析分析:yxyxyx00lim解法解法101lim1100 xyyx解法解法2 令令, xky 01lim0kkxx原式机动机动 目录

23、目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 此法第一步排除了沿坐标轴趋于原点的情况此法第一步排除了沿坐标轴趋于原点的情况, 此法排除了沿曲线趋于原点的情况此法排除了沿曲线趋于原点的情况. 时例如xxy21lim2230 xxxx原式此时极限为此时极限为 1 .第二步第二步 未考虑分母变化的所有情况未考虑分母变化的所有情况, , 1,111xyxxy时例如高等数学习题1解法解法3 令令,sin,cosryrx0sincossincoslim0rr原式机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 此法忽略了此法忽略了 的任意性的任意性,时当4, 0r)sin(2sincossinc

24、ossincos4rr极限不存在极限不存在 !由以上分析可见由以上分析可见, 三种解法都不对三种解法都不对, 因为都不能保证因为都不能保证自变量在定义域内以任意方式趋于原点自变量在定义域内以任意方式趋于原点 .特别要注意特别要注意, 在某些情况下可以利用极坐标求极限在某些情况下可以利用极坐标求极限, 但要注意在定义域内但要注意在定义域内 r , 的变化应该是任意的的变化应该是任意的. 同时还可看到同时还可看到, 本题极限实际上不存在本题极限实际上不存在 .高等数学习题10,00,)(),(2222232222yxyxyxyxyxf提示提示: 利用利用 ,222yxyx2122)(41),(yx

25、yxf)0,0(0),(lim00fyxfyx故故f 在在 (0,0) 连续连续;, 0), 0()0 ,(yfxf又因0)0 , 0()0 , 0(yxff所以知知在点在点(0,0) 处连续且偏导数存在处连续且偏导数存在 , 但不可微但不可微 . 2. 证明证明:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 高等数学习题1而而)0 , 0(f,00时，当yx22)0 , 0()()(yxf22222)()( )()(yxyx0所以所以 f 在点在点(0,0)不可微不可微 !232222)()( )()(yxyx机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 高等数学

26、习题1例例1. 已知已知求出求出 的表达式的表达式. ),(yxf解法解法1 令令,yxu),(vuf)(uvu即即)(),(xyxyxf,)0,(xxf) 1(),(yxyxf解法解法2 )()(),(yxyxyxyxyxf)(),(xyxyxf以下与解法以下与解法1 相同相同., )(),(22yxyxyxyxf,)0(xxf，）（）（vuyvux2121,则则xx )(且且,yxv)()()(241241uvuvu机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 高等数学习题1二、多元函数微分法二、多元函数微分法显示结构显示结构隐式结构隐式结构1. 分析复合结构分析复合结构(画

27、变量关系图画变量关系图)自变量个数自变量个数 = 变量总个数变量总个数 方程总个数方程总个数自变量与因变量由所求对象判定自变量与因变量由所求对象判定2. 正确使用求导法则正确使用求导法则“分段用乘分段用乘,分叉用加分叉用加,单路全导单路全导,叉路偏导叉路偏导”注意正确使用求导符号注意正确使用求导符号3. 利用一阶微分形式不变性利用一阶微分形式不变性机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 高等数学习题1例例2. 设设其中其中 f 与与F分别分别具具,0),(, )(zyxFyxfxz解法解法1 方程两边对方程两边对 x 求导求导, 得得xzdd)0(23FFfxxzdd1F

28、23FFfx 1 32FFfx12FFfxffx221FffFxfFx有一阶导数或偏导数有一阶导数或偏导数, 求求fxfxzxyfxdddd132ddddFxzFxyFf fx)dd1 (xy.ddxzxyFdd20dd3xzF(99 考研考研)机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 高等数学习题1解法解法2 0),(, )(zyxFyxfxz方程两边求微分方程两边求微分, 得得化简化简消去消去 即可得即可得yd.ddxzyF d20d3zFyfxd 0dz)d(dddyxfxxfz 0ddd321zFyFxFxfxfd)(xF d1机动机动 目录目录 上页上页 下页下页

29、返回返回 结束结束 高等数学习题1例例3. .设设),(zyxfu 有二阶连续偏导数有二阶连续偏导数, 且且,sin2txz , )ln(yxt求求.,2yxuxu解解:uzyxtxyxxu1f(3 ftxsin2tx cos2)yxu2 12f(13 ftx cos2) 32f 33f)1cos(2yxtx)cossin2(2yxtxtx 3fyxtx1cos222)( yxxyxt1sin)(yx1cos tyx 1yx 1机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 高等数学习题1练习题练习题1. 设函数设函数 f 二阶连续可微二阶连续可微, 求下列函数的二阶偏导数求下列函

30、数的二阶偏导数.2yxz),()3()()2()() 1 (222xyxfzxyxfzxyfxz2. 同济同济(下下) P73 题题12机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 高等数学习题1解答提示解答提示: )() 1 (2xyfxz : )()2(2xyxfzxyxyfxyz2)(2xyfyz2 fxyxyfxy )1(22222fxy 232fy 2yxz2yxz2 fy2)(22xyfxy 2)1(22xyfxy22第第 1 题题机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 高等数学习题12222fxyyxz) (2xy21f 2222fxy : ),

31、()3(2xyxfz 22fxyyz机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学习题1xvuxuv设设求求,sin,cosvuzveyvexuuyzxz,zvuyxyxxz得由,sin,cosveyvexuu得由,vuz vveuvexuudsindcosd提示提示:vveuveyuudcosdsind机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 yvuyuvyz利用行列式解出利用行列式解出 du, dv ：高等数学习题1veveveveveyvexuuuuuuucossinsincoscosdsinddxuyxdd veucosveusin机动机动 目录目录 上页上页 下页下页

32、 返回返回 结束结束 yu代入代入即得即得 ;xzxvyxvdddveusinveucosyvxvxu及将代入代入即得即得 .yzyvyu及将高等数学习题1t dtteyxezxxyx0sin, 2),(zyxfu 有连续的一阶偏导数有连续的一阶偏导数 , )(xyy 及及)(xzz 分别由下两式确定分别由下两式确定求求.ddxu又函数又函数答案答案:321)sin()(1ddfzxzxefxyfxux( 2001考研考研 ）机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 3. 设设高等数学习题1三、多元函数微学的应用三、多元函数微学的应用1.1.在几何中的在几何中的应用应用求曲线

33、在切线及法平面求曲线在切线及法平面 (关键关键: 抓住切向量抓住切向量) 求曲面的切平面及法线求曲面的切平面及法线 (关键关键: 抓住法向量抓住法向量) 2. 极值与最值问题极值与最值问题 极值的必要条件与充分条件极值的必要条件与充分条件 求条件极值的方法求条件极值的方法 (消元法消元法, 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法) 求解最值问题求解最值问题3. 在微分方程变形等中的应用在微分方程变形等中的应用 最小二乘法最小二乘法机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 高等数学习题1例例4.4.在第一卦限作椭球面在第一卦限作椭球面1222222czbyax的切平面的切平面,使其在三坐

34、标轴上的截距的平方和最小使其在三坐标轴上的截距的平方和最小, 并求切点并求切点. 解解: 设设, 1),(222222czbyaxzyxF切点为切点为),(000zyxM则切平面的法向量为则切平面的法向量为,220ax,220by202czM即即zczybyxax2020201220220220czbyax1切平面方程切平面方程0)(2020zzcz)(2020yyby )(2020 xxax机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ),(zyxFFFn 高等数学习题1问题归结为求问题归结为求222222zcybxas在条件在条件1222222czbyax下的条件极值问题下的

35、条件极值问题 .设拉格朗日函数设拉格朗日函数222222zcybxaF1222222czbyax)0,0,0(zyx机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 切平面在三坐标轴上的截距为切平面在三坐标轴上的截距为,02xa,02yb02zc高等数学习题1令令2222xaxaFx022ax0222222byybybFy0222222czzczcFz1222222czbyaxcbaaaxcbabbycbaccz由实际意义可知由实际意义可知cbacccbabbcbaaaM,为所求切点为所求切点 .机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 唯一驻点唯一驻点高等数学习题

36、1例例5.22yxz求旋转抛物面求旋转抛物面与平面与平面之间的最短距离之间的最短距离.解：解：2261zyxd设设为抛物面为抛物面上任一点，上任一点， 则则 P ),(zyxP22yxz的距离为的距离为022zyx问题归结为问题归结为(min)22(2zyx约束条件约束条件:022zyx目标函数目标函数:22 zyx作拉氏函数作拉氏函数)()22(),(222yxzzyxzyxF机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 到平面到平面高等数学习题1)()22(),(222yxzzyxzyxF.81,41,41zyx令令22yxz解此方程组得唯一驻点解此方程组得唯一驻点02)22

37、(2yzyxFy0)2)(22(2zyxFz02)22(2xzyxFx由实际意义最小值存在由实际意义最小值存在 ,241414161mind647故故机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 高等数学习题1上求一点上求一点 , 使该点处的法线垂直于使该点处的法线垂直于练习题：练习题：1. 在曲面在曲面yxz ,093zyx并写出该法线方程并写出该法线方程 . .提示提示: 设所求点为设所求点为, ),(000zyx则法线方程为则法线方程为000zzyyxx利用利用113100 xy得得3,1,3000zyx平面平面0y0 x1000yxz 法线垂直于平面法线垂直于平面点在曲面

38、上点在曲面上机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 高等数学习题12. 在第一卦限内作椭球面在第一卦限内作椭球面1222222czbyax的切平面的切平面使与三坐标面围成的四面体体积最小使与三坐标面围成的四面体体积最小,并求此体积并求此体积.提示提示: 设切点为设切点为, ),(000zyx) 1(222222czbyaxzyxF用拉格朗日乘数法可求出用拉格朗日乘数法可求出. ),(000zyx则切平面为则切平面为所指四面体围体积所指四面体围体积1202020czzbyyaxx00022261zyxcbaV V 最小等价于最小等价于 f ( x, y, z ) = x y

39、z 最大最大, 故取拉格朗日函数故取拉格朗日函数 例例4 4 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 高等数学习题1一、一、 选择题选择题: :1 1、 二元函数二元函数22221arcsin4lnyxyxz 的定义的定义 域是域是( ).( ). （A A）4122 yx； （B B）4122 yx； （C C）4122 yx； （D D）4122 yx. . 2 2、设、设2)(),(yxyxxyf , ,则则 ),(yxf( ).( ). （A A）22)1(yyx ； （B B） 2)1(yyx ； （C C） 22)1(xxy ； （D D） 2)1(yxy . .测测 验

40、验 题题 高等数学习题1 3 3、 22)(lim2200yxyxyx( ( ) ). . ( (A A) ) 0 0 ； ( (B B) ) 1 1 ； ( (C C) ) 2 2 ； ( (D D) ) e . . 4 4、函函数数),(yxf在在点点),(00yx处处连连续续, ,且且两两个个偏偏导导数数 ),(),(0000yxfyxfyx存存在在是是),(yxf在在该该点点可可微微 的的( ( ) ). . （A A）充充分分条条件件, ,但但不不是是必必要要条条件件； （B B）必必要要条条件件, ,但但不不是是充充分分条条件件； （C C）充充分分必必要要条条件件； （D D）既

41、既不不是是充充分分条条件件, ,也也不不是是必必要要条条件件. .高等数学习题1 5 5、设、设),(yxf 0, 00,1sin)(22222222yxyxyxyx 则在原点则在原点)0 , 0(处处),(yxf( ).( ). (A) (A)偏导数不存在；偏导数不存在； (B) (B)不可微；不可微； (C) (C)偏导数存在且连续；偏导数存在且连续； (D) (D)可微可微 . . 6 6、设、设),(),(yxvvvxfz 其中其中vf ,具有二阶连续偏具有二阶连续偏 导数导数. .则则 22yz( ).( ). (A) (A)222yvvfyvyvf ； (B) (B)22yvvf

42、； (C) (C)22222)(yvvfyvvf ； (D) (D)2222yvvfyvvf . .高等数学习题1 7 7、曲面、曲面)0(3 aaxyz的切平面与三个坐标面所围的切平面与三个坐标面所围 成的四面体的体积成的四面体的体积 V=( ).V=( ). (A) (A) 323a； (B) (B) 33a； (C) (C) 329a； (D) (D) 36a. . 8 8、二元函数、二元函数33)(3yxyxz 的极值点是的极值点是( ).( ). (A) (1,2) (A) (1,2)； (B) (1.-2 (B) (1.-2 ) )； (C) (-1,2) (C) (-1,2)； (D) (-1,-1). (D) (-1,-1). 9 9、函数、函数zyxusinsinsin 满足满足 )0, 0, 0(2 zyxzyx 的条件极值是的条件极值是 ( ).( ). (A) 1 (A) 1 ； (B) 0 (B) 0 ； (C) (C) 61 ； (D) (D) 81 . .高等数学习题1 10 10、设函数、设函数),(),