数学建模-城市幸福指数

1、-作者xxxx-日期xxxx数学建模-城市幸福指数【精品文档】2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/

2、C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 年 月 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：目 录摘要11 问题重述22 问题分析23 模型假设34 符号约定35 模型的建立和求解35.1 问题

3、一35.1.1 模型建立 35.1.2 模型求解 65.2 问题二85.2.1 模型建立 85.2.2 模型求解 96 模型的评价与推广157 写给学校管理管理部门的一封信8 参考文献附录A 17 表A-1 17 表A-2 18附录B 18摘 要幸福感是一种心理体验，它既是对生活的客观条件和所处状态的一种事实判断，又是对于生活的主观意义和满足程度的一种价值判断，而对于幸福指数的评价则是一个定量的评价。通过调查大量的文献，参考权威人士的研究，对问题一建立了贝叶斯估计模型，采用百分制，量表设计采用李克特“五点”量表，受测者每个回答的指标都是肯定的，通过matlab编程计算结果与实际值十分贴近。在问

4、题二中，尝试构建了新的层次分析法和熵值法的综合评价模型。首先我们搜集了师生的调查问卷数据，构建了幸福指数的二级指标体系。由于一级隐性指标没有相关数据，我们采用层次分析法确定权重并进行一致性检验。对于二级数据齐全的显性指标，选择熵值法可以更加客观的给出各指标的权重。最后运用加权评价法得出幸福指数，教师和学生的幸福指数都在69-70之间，通过模型显示结果找到了影响幸福感的主要因素。问题三，以模型的适用范围、幸福指数的可信度、算法特点与结果检验等方面对模型进行评价和推广。论文的最后根据调查分析结果给学校的管理部门写了封短信。关键词：贝叶斯估计 层次分析法 熵值法 加权评价法 matlab1问题重述改

5、革开放三十多年，我国经济建设取得了巨大成就，人们物质生活得到了极大改善。但也有越来越多的人开始思考：我们大力发展经济，最终目的是为了什么？温家宝总理近年来多次强调：我们所做的一切，都是为了让人民生活得更加幸福。在今年的全国两会期间，“幸福感”也成为最热门词语之一。幸福感是一种心理体验，它既是对生活的客观条件和所处状态的一种事实判断，又是对于生活的主观意义和满足程度的一种价值判断。它表现为在生活满意度基础上产生的一种积极心理体验。而幸福指数，就是衡量这种感受具体程度的主观指标数值。美国、英国、荷兰、日本等发达国家都开始了幸福指数的研究，并创设了不同模式的幸福指数。如果说GDP、GNP是衡量国富、

6、民富的标准，那么，百姓幸福指数就可以成为一个衡量百姓幸福感的标准。百姓幸福指数与GDP一样重要，一方面，它可以监控经济社会运行态势；另一方面，它可以了解民众的生活满意度。可以说,作为最重要的非经济因素，它是社会运行状况和民众生活状态的“晴雨表”，也是社会发展和民心向背的“风向标”。国内学者也对幸福感指数进行了研究，试图建立衡量人们幸福感的量化模型，可参看附件的参考论文。根据你自己对幸福感的理解，要求完成以下工作：1、附表给出了网上调查的一系列数据，根据这些数据，试建立网民幸福感的评价指标体系，并利用这些指标建立衡量幸福指数的数学模型。2、试查找相关资料，分别建立某一地区或某一学校教师和学生的幸

7、福指数的数学模型，并找出影响他们幸福感的主要因素。3、你所建立的评价体系和模型，能否推广到更加普遍的人群，试讨论之。4、根据你所建模型得出的结论，给相关部门(例如政府、或学校管理部门等)写一封短信(1000字以内)，阐明你对幸福的理解和建议。2 问题分析 一分析对于幸福感的评价是一个定性的评价，而对于幸福指数的评价则是一个定量的评价。材料中给出了网民幸福指数的调查结果，可以默认为广大网民幸福指数的样本。在建立模型过程中，量表设计采用李克特“五点”量表，受测者每个回答的指标都是肯定的。评分规则由有利提高幸福指数依次升高，指标得分为20、40、60、80、100。贝叶斯统计的特点在于利用先验信息形

8、成的先验分布，参与统计的推断。本模型中考虑到网民的幸福指数本质上是一种主观多级量化评分的贝叶斯模型。由此，我们建立评价幸福感的指标体系并根据指标建立衡量幸福感的贝叶斯估计模型。问题一所建立的模型没有考虑到各指标对幸福指数的权重大小，在客观评价上有所欠缺。我们通过网上查找资料和分析，对评价幸福指数的建立了新的数学模。幸福指数可以由一级隐性指标和二级显性指标来进行评判，第一级的隐性指标由身体状况、人际关系、生活环境、物质条件、自身价值（学生幸福感第一级指标：环境、校园生活、自我实现、学习状况）组成。建立的层次分析结构如图3、4所示。对于一级隐形指标，由于没有相关数据，我们采用层次分析法对一级指标的

9、权重进行赋值。然后根据第二级指标数据量齐全，采用了更加客观的熵值法对二级指标赋权，得出二级指标和一级指标的关系，再根据第一级与幸福指数的关系运用加权平均法得出对幸福指数的量化值。3 模型假设1） 被调查对象所反映的思想都是内心的真实想法2） 调查范围足够广3） 所抽取的样本忽略社会各个阶层的差异4） 对上下级指标量化相对关系的权重时，忽略主观因素的影响5） 调查问卷是随机的，网民分布均匀6） 提取主成分的过程中，不考虑信息量损失对模型结果的影响4 符号约定符号含义Zij第j个指标分数序号为i的票数Z分数序号为i的所有指标的总投票数Xi贝叶斯估计值P实际幸福指数P*模型计算幸福指数值残差A对比矩

10、阵Wi第i个指标对上级指标的权重Vi调查问卷中第i个一级指标Vij调查问卷中属i个一级指标下第j个二级指标fij第i个一级指标下第j个二级指标的分数Fi第i个指标的分数CR一致性指标CIA的一致性指标RI平均一致性指标5 模型的建立与求解与检验在建立此模型前，首先对网民调查指标量化处理，如下表：表1 幸福程度量化值序号内容量化值（分数）1很不幸福202不太幸福403一般604比较幸福805非常幸福100而对网民各指标的设定，有,其中n为指标个数，（其量化分析见附表A-1）。由贝叶斯估计法，。 , ,其中为贝叶斯估计值。由贝叶斯估计（原理见北京市幸福指数的贝叶斯估计），得出幸福指数模型 化简公式

11、，可得网民幸福指数模型为: 将附表1为z矩阵，带入matlab运行（程序见附录A），结果如下:n = 18m = 5 Z = 2005 4435 12306 12243 4597k = 1977 与附表中题一的数据进行对比，比较结果为：表 2 幸福指数计算值与实际值的比较量化值20406080100实际幸福指数模型幸福指数残差运用excel作图，可以看出，附表中的总体幸福感指数与模型计算幸福指数差距甚微，拟合度高。图1幸福指数实际值与计算值比较通过对残差的考察来判断模型的精度，利用相对误差检验标准来检验幸福指数的贝叶斯模型。相对误差序列 平均相对误差 , 模拟误差幸福指数贝叶斯模型的平均相对误

12、差，模拟误差，贝叶斯幸福指数模型为一级模型。可看出该模型的计算结果与附表中网民总幸福感的统计值几乎一致，由此证明本模型用贝叶斯模型的可行性与准确度因此也用于预测网民的幸福指数。图2 网民幸福感比重网民幸福感的比重，可以看出大部分人觉得现在自己是幸福的，但是那些觉得不幸福的群体更应该引起关注。通过计算得到网民幸福感总分为67.4042，可见整体网民的幸福感属于一般程度。社会以及政府更应该加大力度，创造一个更加祥和幸福的环境。 1、 建立幸福指标体系表我们通过网络等工具查询到一份关于幸福指数的调查报告，并根据结果整合得到如下图。幸福指数身体健康人际关系生活环境物质条件自身价值身体状况业余生活工作压

13、力生活态度师生关系朋友同事关系家人关系工作环境发挥才能平台社会公平程度薪资状况社会经济发展住房条件了解职责所在社会形象学校发展前景图3 教师幸福感层次分析幸福指数V环境校园生活自我实现学习状况社会公平学习生活环境周边治安经济发展大学生活师生关系朋友关系业余生活认识目标专业前景做什么样的人学习压力学习成绩学习条件学业成就感图4 学生幸福感层次分析2、 层次分析法求一级权重（1）构造两两比较判断矩阵。设要对比n个因素对目标z的影响。 （1） 其中， （）（i,j=1,2,.n) (2)由（1）（2）构成的矩阵为正反比较判断矩阵，其中根据saaty等人提出用1-9尺度作为尺度，见表3。表3 1-9尺

14、度Aij的含义尺度含义1Ai与Aj的影响相同3Ai比Aj的影响稍强5Ai比Aj的影响强7Ai比Aj的影响明显的强9Ai与Aj的影响绝对的强2,4,6,8Ai与Aj比的影响在上述两个相邻等级之间1,1/2,.1/9Ai与Aj的影响之比为Aij上面的互反数心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个。用13,15,117,1p9p (p=2,3,4,5), d+0.1d+0.9 (d=1,2,3,4)等27种比较尺度对若干实例构造成对比较阵，算出权向量，与实际对比发现， 19尺度较优用matlab软件得出一级指标对幸福指数的权重向量。（matlab代码见附录B）由此可得出影响教师幸福感的主要因素。（2）

15、 层次分析法的一致性检验。首先计算A的最大特征值，再计算一致性指标CI，定义 （3）式中，n为A的阶数，当CI=0，即=n时，A有完全一致性，CI越大，A的一致性越差。将CI 于平均随机一致指标RI进行比较，令,称RI为随机性一致性比率。当CR 0.10 时，A具有满意的一致性，否则要对A重新调整，知道具有满意的一致性。表4 RI随机一致性指标值n1234567891011RI003、 熵值法求二级权重（1） 对二级指标进行归一化处理，消除量纲的影响。公式如下： (4)（2） 计算第i项指标下第j项因素的比重 （5）（3） 计算第i项指标下第j想因素的熵值 ， 其中 （6）（4） 计算第j项指

16、标的差异系数。对于第j项指标，指标值的差异越大，对方案评价的作用就越大，墒值就越小。定义差异系数： （7）（5） 计算第i项指标下第j项因素的权重 （8）此过程可用matlab编程求解，代码见附录C。4、 加权平均法求幸福指数我们采用百分制体系对调查的结果进行量化，得到加权分。其评分表如下：表5 评分表等级非常满意满意一般不满意很不满意100分制10080604020量化计算方法如下： （9）即通过每一个选项的票数在总票数中的百分比与其他相应分值相乘所得乘积并相加。最后通过加权平均法算出第一层各项得分情况： i=1,2 3. （10）最后，幸福指数H=F*W。 1、教师幸福指数求解一级指标两两

17、的比较判断矩阵为： 用matlab编程求解得一级权W=(0.4891,0.1384,0.0852,0.2304,0.0569)一致性比例CR=0.00120.1通过检验，w可作为一级权重。图5 教师幸福感各指数比重用熵值法编程求的的二级指标的权重如下：=（0.2118 0.2327 0.3916 0.1638)=(0.4158 0.2131 0.3711)=(0.3741 0.4011 0.2247）=（0.2799 0.4608 0.2593）=（0.3277 0.4634 0.2090）对教师调查问卷数据100分制量化得f1=(69.85,71.71,73.46,59.1)f2=(59.9

18、4,78.66,83.66)f3=(69.9125,72.14,56.7)f4=(61.96,64.5,65.16)f5=(77.66,77.64,75.43)通过加权平均法算出第一级指标层的评价得分情况如下：F1F2F3F4F5 2、学生幸福指数求解一级指标两两的比较判断矩阵为： 用matlab编程求解得一级权W=(0.0807,0.4427,0,1969,0.2797) 一致性比例CR=0.02400.1通过检验，w可作为一级权重。图5 学生幸福感各指数比重用熵值法编程求的的二级指标的权重如下：=（0.1362,0.3808,0.2128,0.2702)=(0.1124,0.3731.0.

19、3004,0.2142)=(0.5352,0.1942,0.2706）=（0.3500,0.1701,0.2550,0.2248）对教师调查问卷数据100分制量化得f1=(61.29,69.90,73.71,67.33)f2=(59.2,63.28,79.92,72.08)f3=(70.17,63.19,73.1)f4=(71.97,67.83,72.43,66.8)通过加权平均法算出第一级指标层的评价得分情况如下：F1F2F3F46模型的评价与推广问题一模型：采用贝叶斯模型能够对网民群体的不同幸福体验估算出比较准确的不同阶段的幸福感比例。并经过检验之后可以得出比较正确的数值，便于管理部门获得

20、基本数据。但本模型的针对对象单一，而且指标的额选取也没有涉及到其主要组成的权重因素，因此它的使用是有限制条件和前提的，因此它不可以推广到更加普遍的人群，但是对于固定单一的人群，采用此方法是很可取的。问题二模型：层次分析法是一种主观确定权重的方法，它可以把复杂的研究对象简化为比较系统、有条理、有序的结构，便于分析和统计。而且层次分析的使用范围广，所需的数据信息少。但由于它的主观性，定量数据少，定性成分多，不能消除知识的局限性，不易令人幸福。所以层次分析法的适用范围广，不需要具体样本数据，专家仅凭对评价指标的内涵和理解即可做出判断。熵值法，是一种客观的评价方法，深刻的反应了指标信息熵值得效用价值，

21、其给出的指标权重的可信的比层次分析法高。但它需要样本数据多，信息量大，在应用上受到限制。所以它适用于数据量大的情况下进行更加合理的评判。综上，可以对复杂问题进行分析，在各级指标有间同时采用这两种赋权方法可以使结果更具可信度。该模型可用于管理人员绩效评估、民意调查、各种活动影响力的分析等方面。7给学校管理者的一封信8参考文献1姜启源，谢金星，叶俊134王莲芬，许数柏.层次分析法引论（M）.北京.北京大学出版社.19905樊宏，戴良铁.基于层次分析法的岗位评价报酬要素权重确定方法（J）.200469附录：附表A 指标量化数据 量化值J值1234520406080100118944780741212

22、22852708256071903298354627398300444205793673262511618957972436961092531016431168736944118985388417331911533919179429812400157104971341116834811502286578132291233062648240513413612014111028276147018578067726515151311839492184166914066574435917118200943506210181015999971495附表B 教师调查人数为1600人1薪水水平满意程度(单选

23、题)选项内容得票数1非常满意2052比较满意3453满意5894不满意3245非常不满意1372. 良好的工作环境(单选题)选项内容得票数1环境特别好3372环境比较好4233环境还可以5964环境差1845环境很差603. 近一年来您的身体健康情况如何(单选题)选项内容得票数1非常好3222比较好4733一般5564不好1695很差804. 了解自己的职责所在(单选题)选项内容得票数1非常了解5052比较了解6553了解2604不了解1085非常不了解725有充分发挥才能的平台(单选题)选项内容得票数1能够尽情好的发挥3362可以发挥自己的才能5823一般4334不能很好的发挥2055没有发

24、挥的平台406. 学校具有良好的社会形象(单选题)选项内容得票数1形象非常好4822形象比较好5223形象还可以5364形象差455形象很差157. 您的业余生活(单选题)选项内容得票数1非常充实3722比较充实4763一般5354很少1515几乎没有668. 感受到学校的发展前景(单选题)选项内容得票数1非常乐观5522比较乐观4593一般3394不乐观1715悲观799. 您觉得工作/生活上的压力大吗？(单选题)选项内容得票数1非常大3012较大6363一般5124有一点1415几乎感觉不到1010. 总体来讲，您对生活的态度怎样？ (单选题)选项内容得票数1非常满意1562很满意3763

25、一般4254不满意5265非常不满意11711. 请问您对现在社会公平程度的看法？(单选题)选项内容得票数1非常公平1512比较公平3253一般3994不公平5595很不公平16612. 您和学生之间的关系怎样？(单选题)选项内容得票数1非常好792比较好2263一般9954不是很好2115很不好8913. 您和朋友（或同事）关系怎样？(单选题)选项内容得票数1非常融洽6492比较融洽4923一般2314不是很融洽1595很不融洽6914. 您对目前社会经济发展状况满意吗？(单选题)选项内容得票数1非常满意1952比较满意4063还可以6384不满意2865非常不满意7515. 您对目前的住房

26、情况满意吗？(单选题)选项内容得票数1非常满意2522比较满意4173一般5514不满意2295非常不满意14116 与家人的关系融洽(单选题)选项内容得票数1非常融洽7492比较融洽4923一般2814不是很融洽595很不融洽19附表C 学生调查人数1800人1.您的人生目标？ (单选题)选项内容得票数1非常明确2752较明确6453一般6594不明确1625没有592您对大学生活的感觉如何？(单选题)选项内容得票数1非常满意1962很满意4163一般4654不满意5665非常不满意1573您的业余生活？(单选题)选项内容得票数1非常充实4222比较充实5463一般5954很少1715几乎没

27、有664您觉得学习/生活上的压力大吗？(单选题)选项内容得票数1非常大3412较大6763一般5524有一点1815几乎感觉不到505近一年中，您在学业上有成就感吗？(单选题)选项内容得票数1很有成就感2912比较有成就感4963一般6374很少有成就感2865几乎没有906您觉得您所学的专业的发展前途如何？(单选题)选项内容得票数1非常有前途2522很有前途4493还可以6334没感觉2665没有前途2007您对自己目前的学习成绩满意吗？(单选题)选项内容得票数1非常满意3122比较满意6063可以接受4914不是很满意2575很不满意1348您觉得自己是个什么样的人？(单选题)选项内容得票

28、数1非常自信5352比较自信5423一般3924不自信2295自卑1029请问您对现在社会公平程度的看法？(单选题)选项内容得票数1非常公平2712比较公平4253一般3994不公平5595很不公平14610您和老师之间的关系怎样？(单选题)选项内容得票数1非常好1792比较好3263一般9954不是很好2115很不好8911您和朋友（或同学）关系怎样？(单选题)选项内容得票数1非常融洽7492比较融洽5923一般2314不是很融洽1595很不融洽6912您所在的学校学习条件怎么样？(单选题)选项内容得票数1非常优越4492比较优越5693一般4914不是很好2345很差5713您所在学校的生活环境怎么样？(单选题)选项内容得票数1非常舒适3532比较舒适6463