高等数学微积分75幂级数课件

1、12)11()1ln()1(11 xxnxnnnnnnxxaxf)()(00 存在幂级数在其收敛存在幂级数在其收敛域内以域内以f(x)为和函数为和函数问题问题(2) 展开式是否唯一展开式是否唯一?(3) 在什么条件下才能展开成幂级数在什么条件下才能展开成幂级数?(1) 如果能展开如果能展开, 是什么是什么?na3定理定理 1 1 如果函数如果函数)(xf在在)(0 xU 内具有任意阶导内具有任意阶导 数数, , 且在且在)(0 xU 内内能能展开成展开成)(0 xx 的幂级数的幂级数, , 即即 nnnxxaxf)()(00 则其系数则其系数 ), 2 , 1 , 0()(!10)( nxfn

2、ann 且展开式是唯一的且展开式是唯一的. . 4即内收敛于在),()()(000 xfxuxxannn nnxxaxxaaxf)()()(0010 10021)()(2)(nnxxnaxxaaxf证证逐项求导任意次逐项求导任意次,得得 )(23)1(!)(01)(xxannanxfnnn即即得得令令,0 xx ), 2 , 1 , 0()(!10)( nxfnann泰勒系数泰勒系数泰勒系数是唯一的泰勒系数是唯一的,.)(的展开式是唯一的的展开式是唯一的xf5 如如果果)(xf在在点点0 x处处任任意意阶阶可可导导, ,则则幂幂级级数数nnnxxnxf)(!)(000)( 称称为为)(xf在在

3、点点0 x的的泰泰勒勒级级数数. .nnnxnf 0)(!)0(称为称为)(xf在点在点00 x的的麦克劳林级数麦克劳林级数. . 定义定义6为其麦克劳林级数的幂级数展开式函数类似可验证，的麦克劳林级数。的确为故，为的麦克劳林级数的系数从而函数于是则有令解：nnnxnxnxxxxx1n1 -n0nn(n)n(n)(n)220nnn(-1)x)ln(1x)ln(1x11x)0,1,2,(n1,(0)f!1ax11)0,1,2,(n,n!(0)f)1 (!(x)f ,)1 (1(x)f,x11f(x) 1 , 1(,1xx117时所产生的误差。近似表示它是用为余项，称或）的充要条件是（即有内收敛于

4、的泰勒级数在收敛区间可见，函数则有。为泰勒级数的收敛半径f(x)()(-f(x)(0)(-f(x)limf(x)(limf(x)(x)f(x)(),(),()(lim)(n!1)( 2!1a)-(a)(xf(a)(x)S),(),()( )(!1nnnn)(n0)(xSxSxRxSxSSxfRaRaxxSxSaxafaxaffRRaRaxxSaxafnnnnnnnnnnn8之间）与在，（）（其中余项，有的任一点阶导数，则对该邻域内的某邻域内有直至在定理：设函数xa)(!11)()()(!1a)-(a)(x f! 21a)-(a)(xff(a)f(x)x1naxf(x)1)1()(2nnnnnn

5、axfnxRxRaxafn阶泰勒公式。阶泰勒公式，简称为处的在或阶的泰勒公式的幂级数展开到按定理中的公式称为函数nnaxf(x)na)(xf(x)来估计。而近似误差可由的值可近似地表示为的泰勒公式表明，函数)()(!1)( 2!1a)-(a)(xff(a)f(x)f(x)f(x)n)(2xRaxafnaxafnn9拉格朗日型余项公式的推广，余项称为故泰勒公式是拉格朗日）（此时余项为格朗日公式：时，泰勒公式就变为拉实际上，当相似。中值定理中的定，这与拉格朗日之间，具体位置并未确与在表达式中的余项a).-)(x(fxRa),-)(x(ff(a)f(x)0nxa)(R0nx10）（）（或表示为之间）

6、与在（）（其中克劳林公式：时的泰勒公式，称为麦当10)x(!11)(x0)(!11)()()0(!1)0( 2!1(0)xff(0)f(x)0a1)1(1)1()(2nnnnnnnnnxfnxRxfnxRxRxfnxf11的麦克劳林公式例：求函数xef(x) 10(1)!(ne)(),(!12!1x1eef(x)1(0)f(0)ff(0)e(x)f(x)ff(x)1x2xx(n)x(n)nnnnxxRxRxnx其中余项的麦克老林公式为故，解：由于12)!1(3)!1(0!12!111ee1,xenxnneRRnn满足其误差项的近似值可得无理数的麦克老林公式中取在13阶的麦克老林公式。的例：求函

7、数2mnsinxf(x) 10( ,1)!(2m21)(2mxsin)()()!12(1) 1(! 71! 513!1-xsinx2msinxf(x), 3 , 2 , 1 , 0() 1(0)f), 3 , 2 , 1(0(0)f)0,1,2,(n)2nsin(x(x)f12221217531)(2k(2k)(n)mmmmmkxxRxRxmxxxkk其中余项为阶麦克老林公式为的于是故解：145443)x25xsin(! 51)(),(3!1-xsinx2msinxxRxRx，可得的麦克劳林公式中，取如，在用来求函数的极限。函数的麦克劳林公式常61)(! 31limsinlim343030 x

8、xRxxxxxx15定定理理 2 2 )(xf在在点点0 x的的泰泰勒勒级级数数, ,在在)(0 xU 内内收收敛敛于于 )(xf在在)(0 xU 内内0)(lim xRnn. . ,)(能展开为泰勒级数能展开为泰勒级数设设xf)()(!)()(000)(xRxxixfxfninii 证证),()()(1xsxfxRnn )()(lim1xfxsnn )(limxRnn)()(lim1xsxfnn ;0 充分性充分性),()()(1xRxsxfnn )()(lim1xsxfnn )(limxRnn , 0 ),()(lim1xfxsnn 即即).()(xfxf的泰勒级数收敛于的泰勒级数收敛于必

9、要性必要性16的麦克劳林级数展开式例：求函数xef(x)0)(lim ),(-x01)!(nlim01)!(n1)!(n,1)!(n)(0)(lim) 10(1)!(ne)(),(!12!1x1eef(x)n1n0n10n11n1x2xxxRexexexexxRxRxxRxRxnxnxnxnxnxnnnnnnn从而有，即，收敛，故其一般项趋于由比值判别法知：级数考虑级数现重点考虑其中余项的麦克老林公式为解：17)(sincos xx例如例如 )!12()1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn )!2()1(! 41! 211cos242nxxxxnn18xtdtx021arctan

10、 12)1(51311253nxxxxnn1 , 1 xxtdtx01)1ln( nxxxxnn 132)1(31211 , 1( x19)()!2() 1(! 4! 21)!2() 1(cos)4)()!12() 1(! 5! 3)!12() 1(sin)3)(!1! 211!1)2) 11() 1(1) 1(11) 12420212530122020 xxnxxxnxxxnxxxxnxxxnxxxnexxxxxxnnnnnnnnnnnnnxnnnnn20) 11(12) 1(5131arctan)7) 11.(!) 1).(2)(1(! 2) 1(1)1)(6) 11() 1(3121(-1)1ln()5125321321n1 -nxxnxxxxxxnnxxxxxnxxxxnxnnnnnn21的区间：的区间：成立成立的幂级数，并求展开式的幂级数，并求展开式将下列级数展开成将下列级数展开成x1);0()ln()1( ax