高等数学反常积分同济课件

1、高等数学反常积分同济二、无界函数的反常积分二、无界函数的反常积分第四节积分限有限被积函数有界推广一、无穷限的反常积分一、无穷限的反常积分机动 目录 上页 下页 返回 结束 反常积分 (广义积分)反常积分 第五五章 高等数学反常积分同济一、无穷限的反常积分一、无穷限的反常积分引例引例. 曲线21xy 和直线1x及 x 轴所围成的开口曲边梯形的面积21xy A1可记作12dxxA其含义可理解为 bbxxA12dlimbbbx11limbb11lim1机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学反常积分同济1、定义、定义1：(1)( ) ,),f xC a( )daf ttlim( )dbabf t

2、t(2)( )(, ),f xCb( )dbf ttlim( )dbaaf tt(3)( )(,),f xC ( )df ttlim( )dbcbf tt( )dcf tt( )dcf ttlim( )dcaaf tt以上每个极限都存在，则其对应的积分收敛，否则发散。以上每个极限都存在，则其对应的积分收敛，否则发散。机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学反常积分同济,)()(的原函数是若xfxF引入记号; )(lim)(xFFx)(lim)(xFFx2. 广义的 Newton Leibniz 公式:xxfad)()(xFa)()(aFFxxfbd)()(xFb)()(FbFxxfd)()

3、(xF)()(FF机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学反常积分同济例例1. 计算反常积分.1d2 xx解解:21dxxarctanx)2(2机动 目录 上页 下页 返回 结束 xoy211xy思考思考: ?01d2对吗xxx分析分析:)1ln(211d22xxxx原积分发散 !注意注意: 对反常积分, 只有在收敛的条件下才能使用“奇偶函数积分” 的性质, 否则会出现错误 .高等数学反常积分同济例例2. 证明第一类 p 积分apxxd证证:当 p =1 时有 axxdaxlnapxxdappx11当 p 1 时有 1p1p,11pap当 p 1 时收敛 ; p1 时发散 .,因此, 当

4、p 1 时, 反常积分收敛 , 其值为;11pap当 p1 时, 反常积分发散 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学反常积分同济例例3. 计算反常积分. )0(d0ptettp解解:tpept原式00d1teptptpep21021p机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业：作业：P260 1 (2) , (3) , (4) , (5) , (6) 高等数学反常积分同济二、无界函数的反常积分二、无界函数的反常积分引例引例:曲线xy1所围成的1x与 x 轴, y 轴和直线开口曲边梯形的面积可记作10dxxA其含义可理解为 10dlimttxAx01lim 2txt0lim 2(1)t

5、t2xy10A1xy机动 目录 上页 下页 返回 结束 t高等数学反常积分同济1、定义、定义2：无界点称为瑕点(1)( )( , ,f xC a b( )dbaf ttlim( )dbttaf tt(2)( ) , ),f xC a blim( )dtatbf tt(3)( )( , ),f xC a b( )dcaf tt( )dbcf tt以上每个极限都存在，则其对应的积分收敛，否则发散。以上每个极限都存在，则其对应的积分收敛，否则发散。机动 目录 上页 下页 返回 结束 a 点为瑕点( )dbaf ttb 点为瑕点a , b点为瑕点( )dbaf tt(4)( ) , )( , ,f x

6、C a cc btlim( )dbtcf tt( )dcaf tt( )dbcf ttlim( )dtatcf ttc 点为瑕点( )dbaf ttlim( )dcttaf ttlim( )dtctbf tt高等数学反常积分同济 若瑕点xxfbad)()()(aFbFxxfbad)()()(aFbFxxfbad)()()(aFbF 若 b 为瑕点, 若 a 为瑕点, 若 a , b 都为瑕点, , ),(bacxxfbad)()()(cFbF)()(aFcF不可抵消！不可抵消！机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 广义的 Newton Leibniz 公式:CuFuuf)(d)(若被积函数

7、在积分区间上仅存在有限个第一类 说明说明: 例如,xxxd11112xxd) 1(11间断点,而不是反常积分. 则本质上是常义积分, 高等数学反常积分同济112dxx211111x下述解法是否正确: , 积分收敛例例4. 计算反常积分. )0(d022axaxa解解: 显然瑕点为 a , 所以原式0arcsinaax1arcsin2机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 讨论反常积分112dxx的收敛性 . 解解:112dxx012dxx102dxx101x011x所以反常积分112dxx发散 .高等数学反常积分同济例例6. 证明反常积分baqaxx)(d证证: 当 q = 1 时,当

8、q 1 时收敛 ; q1 时发散 .baaxxdbaax ln当 q1 时baqaxx)(dabqqax1)(11q,1)(1qabq1q,所以当 q 1 时, 该广义积分收敛 , 其值为;1)(1qabq当 q 1 时, 该广义积分发散 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学反常积分同济内容小结内容小结 1. 反常积分积分区间无限被积函数无界常义积分的极限 2. 两个重要的反常积分apxxdbaqaxx)(d1p1p)0( abaqxbx)(d1q,1)(1qabq1q,) 1(11pap机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学反常积分同济说明说明: (1) 有时通过换元 , 反

9、常积分和常义积分可以互相转化 .例如 ,1021dxx）令txsin(20dtxxxd11104210121d122txxx102112)()d(xxxx)1(xxt令022dtt(2) 当一题同时含两类反常积分时,机动 目录 上页 下页 返回 结束 应划分积分区间,分别讨论每一区间上的反常积分.高等数学反常积分同济第五节 目录 上页 下页 返回 结束 提示提示: P260 题22)(lndkxxx2)(ln)d(lnkxx,1时当k12)2)(ln1(1)(lnd)(kkkxxxkI,)2)(ln1()(1kkkf令求其最大值 .作业：作业：P260 1 (2) , (3) , (4) ,

10、(5) , (6) (9) (10) 2（选作），3 （选作）高等数学反常积分同济补充题补充题 1. 试证xxxxxd11d04204, 并求其值 .解解:041dxx令xt1tttd1112014tttd1042xxxd1042xxxxxxxd11d211d0420404xxxd1121042xxxxd121021122机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学反常积分同济xxxxd121021122)1(d2)(121021xxxx012arctan221xx22机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学反常积分同济2.解解：,)2() 1() 1()(32xxxxxf设求.d)(1)(312xxfxfI)(20 xfxx为与 的无穷间断点, 故 I 为反常