高等数学及其应用电子教案第二版同济大学数学系ch33

1、第三节第三节 不定积分的分部积分法不定积分的分部积分法本节要点本节要点 本节通过函数乘积的导数公式建立了不定积分中的重本节通过函数乘积的导数公式建立了不定积分中的重要积分公式要积分公式分部积分公式分部积分公式 设函数设函数 具有连续的导函数具有连续的导函数, 则由乘则由乘 ,uu x vv x,uvu vuv移项后移项后, 两边积分得两边积分得:ddduvxuvxu v xd ,uvu v x积的导数公式积的导数公式, 有有（3.5）分部积分公式分部积分公式 公式（公式（3.5）即称为）即称为分部积分公式分部积分公式.duv x比比 容易求得容易求得.注注1 分部积分法的关键是如何选择好分部积

2、分法的关键是如何选择好 使得使得, ,u vdvu x2一般地一般地, 可按反（三角函数）可按反（三角函数）, 对（数函数）对（数函数）, 幂（函幂（函数）数）, 三（角函数）三（角函数）, 指（数函数）的顺序来选择指（数函数）的顺序来选择.u 常见积分及相应规则如下常见积分及相应规则如下:e d ,cos d ,sin d ,nxnnxxxx xxx xln d ,arcsin d ,arctan d ,nnnxx xxx xxx x将指数函数或三角函数视为将指数函数或三角函数视为 交换后对幂函数求导；交换后对幂函数求导；,v将幂函数视为将幂函数视为 交换后对对数函数或反三角函数求导交换后对

3、对数函数或反三角函数求导.,v例例3.35 求积分求积分cos d .xx x解解 取取, dcos d ,ux v xx xcos dxx xsindsinsin dxxxxxx xsincos.xxxc则则 注意到注意到, 按另一种选择按另一种选择, 则则cos dxx x21cos d2xx x2211cossin d ,22xxxx x此时经过分部积分后此时经过分部积分后, 积分表达式比原来的更为复杂了积分表达式比原来的更为复杂了,说明这样的选择不合适说明这样的选择不合适.例例3.36 求求 2e d .xxx2e dxxx解解2e2ee dxxxxxx22deee2 dxxxxxx

4、x2 2e2dexxx2e2 e2e.xxxxxc 在公式（在公式（3.5）中）中, 如果记如果记dd ,dd ,v xv u xu则公式（则公式（3.5）写成一个更容易记忆的公式）写成一个更容易记忆的公式:dd .u vuvv u（3.6）注注 一般还可用下面方法求一般还可用下面方法求 其中（其中（ ed ,xnpxx( )np x 设设 其中其中 为待定为待定 e de,xxnnp xxqxc( )nq x的与的与 同次多项式同次多项式, 在等式在等式( )np x e dexxnnpxxqxc两边求导两边求导, 得得 eee,xxxnnnp xqxqx ,nnnp xqxqx比较系数即得

5、比较系数即得( ).nq x即即 为多项式）形式的不定积分为多项式）形式的不定积分:例例3.37 求求4ln d .xx x解解 451ln dlnd5xx xx xx5511ln.525xxxc5511lnd5xxxxx 注意第一类换元积分法与分部积分法在使用上的差别注意第一类换元积分法与分部积分法在使用上的差别.例例3.38 求积分求积分 及积分及积分2lndxxx22lnd .xxx解解 2lndxxx换元换元231lndlnln.3xxxc22lndxxx分部分部21lndxxx221lnln2dxxxxx 22111ln2ln2dxxxxxx 2111ln2ln2.xxcxxx 例例

6、3.39 求求arctan d .xx x解解 arctan dxx x21arctan d12xx2111 arctan.22xxxc2221111 arctan1d221xxxxx例例3.40 求求arcsin d .x x解解 arcsin dx x221arcsind 12 1xxxx2arcsin1.xxxc21arcsind1xxxxx例例3.41 求求arcsin d .xx x解解 arcsin dxx x2221arcsind221xxxxx而而22d1xxx11sin cos22tttc2sind t tsinxt211arcsin1,22xxxc代入到上面的积分代入到上面

7、的积分, 有有arcsin dxx x2arcsin2xx211arcsin1.44xxxc例例3.42 求求e sin d .xx x解解 e sin dsin dexxx xx将等式右端的积分式移到等式的左边将等式右端的积分式移到等式的左边, 即得即得1e sin desincos.2xxx xxxce sine cos dxxxx xe sincos dexxxxe sine cose sin d .xxxxxx x例例3.43 求求3secd .x x解解 3sec dsec dtanx xxx31secdsec tanln sectan.2x xxxxxc2sec tansecsec

8、1 dxxxxx3sec tansecdsec dsec tanxxx xx xxx3ln sectansecd .xxx xsec tantansec tan dxxxxx x例例3.44 求求sinln d .x x解解 sinln dx x1sinln(cosln)dxxxxxxsinlncosln dxxx xsinlncoslnsinln d ,xxxxx x移项后得移项后得 1sinln dsinlncosln.2x xxxxxc 在求不定积分的过程中往往要兼用换元法和分部积分在求不定积分的过程中往往要兼用换元法和分部积分例例3.45 求求e d .xx解解 作代换作代换 则则,tx2,d2 d ,xtxt ted2e dxtxtt法法.2e1