第二十七章相似

1、 第二十七章 相 似 27.1图形的相似 学习目标：1、认识相似图形 2、知道相似多边形的性质，并会运用其性质进行相关的计算认识相似图形1、 课前准备：三张图片2、 练习：P35 练习自学指导：我们进一步研究相似多边形探究（1）：图中的A1B1C1是由正ABC放大后得到的，观察这两个图形，BABCCA 他们的对应角有什么关系？对应边呢？探究（2）：图中两个相似的正六边形，你是否也能得到类似的结论呢？ABCDEFABCDEF探究（3）：图中两四边形是相似形，仔细观察，它们的对应边的比、对应角之间又有什么关系？探究（4）：图中两相似的五边形，是否与你观察上图所得到的结果一样？归纳概括：两个相似多边

2、形的性质：相似多边形的对应角_，对应边的比_反之，如果_ ，那么这两个多边形相似.我们把_称为相似比.思考：如果两个多边形仅有对应角相等，他们相似吗？如果两个多边形仅有对应边的比相等呢？若不相似，请举出反例。三、例题学习如图四边形ABCD和四边形EFGH相似，求1、2的度数和EH的长度x.练习：P38小练习第3题四课堂巩固 1下列所给的条件中，能确定相似的有（ ）（1）两个半径不相等的圆；（2）所有的正方形； （3）所有的等腰三角形；（4）所有的等边三角形； （5）所有的等腰梯形；（6）所有的正六边形A3个 B4个 C5个 D6个2. 完成P38习题27.127.2.1相似三角形的判定（1）学

3、习目标：1知道并记住平行线分线段成比例定理2.探索两个三角形相似的判定定理13. 会运用两个三角形相似的判定定理1解决简单的问题自学指导一： 阅读P40探究1完成填空 ：（1）在ABC和ABC中，若A=A，B=B，C=C，我们就说ABC与ABC 记作ABCABC，k是它们的 则ABC与ABC的相似比为_（2）【想一想】k=l时，这两个三角形 . 自学指导二：我们先来探究平行线分线段成比例定理（一）阅读P40探究1：得到结论： 知道成比例线段的概念得到平行线分线段成比例定理： 得到平行线分线段成比例定理推论： （二）探究2：在ABC中，: DEBC，DE分别交AB，AC于点D，E，ADE与ABC

4、有什么关系? 关系：证明： 1、两三角形相似的判定定理1：平行于三角形一边的直线和其他两边相交， 。 2、请你根据图形把该定理改写成符号语言： 三.当堂练习1.判断下列各组长度的线段是否成比例？（1）2厘米，3厘米，4厘米，1厘米；( )（2）1.5厘米，2.5厘米，4.5厘米，6.5厘米；( )（3）1.1厘米，2.2厘米，3.3厘米，4.4厘米；( )（4）1厘米，2厘米，2厘米，4厘米( )2.如图1，在ABC中，已知DEBC，AD：DC=2:3，BC=10,则DE= 3如图2，ABCD，AC、BD交于O，BO=7，DO=3，AC=25，则AC长为（ ）A.10 B.12.5 C.15

5、D.17.54 .如图3，在ABC中，MNBC，MC、NB交于O，则图中共有（ ）对相似三角形。A.1 B.2 C.3 D.45.如图4，在ABC中，DEBC，AD=EC，DB=1cm，AE=4cm，BC=5cm，求DE的长当堂检测一1如图1，DEBC，EFAB，则图中相似三角形一共有（ ）A1对 B2对 C3对 D4对2.如图2，E是平行四边形ABCD的边BC的延长线上的一点，连结AE交CD于F，则图中共有相似三角形（ ） A、1对B、2对C、3对D、4对3.如图3，在ABCD中，E是AD上一点，连结CE并延长交BA的延长线于点F，则下列结论中错误的是 ( ) AAEF=DEC BFA：CD

6、=AE：BC CFA：AB=FE：EC DAB=DC4如图4，DE与ABC的边AB，AC分别相交于D、E两点，若AE=2cm，AC=3 cm，AD=24 cm，AB=36 cm，DE= cm，则BC_ .BADCE图4A2cm B12cm C4cm D5cmBADCE图3 FBADCE图5FG 图1 图2 5.如图5所示，DEFGBC，图中共有相似三角形（ ）A.1对 B.2对 C.3对 D.4对6如图，在ABCD中，EFAB，DE:EA=2:3，EF=4，求CD的长当堂检测二 1如图1，ABCAED, 其中DEBC，写出对应边的比例式2如图，ABCAED，其中ADE=B，写出对应边的比例式

7、3. 例1 如图, ABCDCA，ADBC，B=DCA（1）写出对应边的比例式；（2）写出所有相等的角；（3）若AB=10,BC=12,CA=6求AD、DC的长6如图，DEBC，（1）如果AD=2，DB=3，求DE:BC的值；（2）如果AD=8，DB=12，AC=15，DE=7，求AE和BC的长 27.2.1相似三角形的判定（2）学习目标：1探索两个三角形相似的判定定理2.32. 会运用两个三角形相似的判定条件解决简单的问题前提测评：1、两个三角形相似的判定定理1： 自学指导一：探究2：任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k倍，(1)度量这两个三角形的对应角，它

8、们相等吗？这两个三角形相似吗？(2)已知：如图，在ABC与ABC中，求证：ABCABC，：1.两三角形相似的判定定理2：如果两个三角形的 ，那么这两个三角形相似.2请你根据图形把该定理改写成符号语言： 3.练习：1)、根据下列条件，判断 ABC与A1B1C1是否相似，并说明理由：（1）AB=4cm， BC=6cm， AC=8cm A1B1= 12cm， B1C1=18cm, A1C1=21cm （2）AB=2cm， BC=3cm， AC=4cm A1B1= 12cm， B1C1=18cm, A1C1=24cm（3）AB=3cm， BC=5cm， AC=7cm A1B1= 6cm， B1C1=1

9、0cm, A1C1=14cm2）、在ABC和DEF中，AB=20，BC=16，AC=12，DE=10，EF=8，当DF=_时，ABCDEF3)、在ABC中，若BC=54,CA=45,AB=63,有一个和它相似的三角形的最短边是15，则它的最长边是( ) A、18 B、21 C、24 D、19.5自学指导二：探究3、利用刻度尺和量角器画ABC与A1B1C1，使A=A1，和都等于给定的值k，（1）量出它们的第三组对应边BC和B1C1的长，它们的比等于k吗？（2）另外两组对应角B与B1，C与C1是否相等？ (3) 改变A或k值的大小，再试一试，是否有同样的结论？(4)已知：如图，在ABC与A1B1C

10、1中，若=k，A=A1 ，求证：ABCA1B1C11.两三角形相似的判定定理3：如果两个三角形的两组 相等，并且 相等， 那么这两个三角形相似. 2请你根据图形把该定理改写成符号语言： 3.练习：1）、根据下列条件，判断 ABC与A1B1C1是否相似，并说明理由：（1） A1200，AB=7cm，AC=14cm，A11200，A1B1=3cm， A1C1=6cm（2）B1200， AB=2cm， AC=6cm，B11200，A1B1= 8cm，A1C1=24cm（3）A400， AB=8， AC=15，A1400，A1B1= 16， A1C1=302）、下列各组中两个图形不相似的是（ ）A、有

11、一个角是35的两个等腰三角形相似 B、两个等腰直角三角形相似C、有一个角是120的两个等腰三角形相似 D、两个等边三角形相似4、如图，D为ABC的边AB上一点，且ABC=ACD,AD=3,AB=4,则AC得长为( )A、12 B 、2 C 、 D、2三、当堂检测1、完成P45课后练习题2、如图1，CE90， AC=3，BC=4，AE=2.则AD=_3、如图2，在ABC中，AB3AD，DEBC，EFAB，若AB9，DE2，则线段FC的长度是（ ） A6 B. 5 C. 4 D. 3 3、如图3，ABCD是平行四边形，则图中与DEF相似的三角形共有（ ）A图2BCDEF A1个 B. 2个 C3个

12、 D. 4个 ABCDE432图1ABCDEF图3ACBDEFGHK图,44、如图4，在正方形网格上有6个斜三角形ABC，BCD，BDE，BFG，FGH，EFK其中中，与三角形相似的是 （ ） A. B. C. D. 27.2.1相似三角形的判定（3）学习目标： 1探索两个三角形相似的判定定理4，5 2. 会运用两个三角形相似的判定条件解决简单的问题前提测评: 1、两个三角形相似的判定方法1；2；32、一个直角三角形两条直角边的长分别为6 cm，4 cm，另一个直角三角形两条直角边的长分别为9 cm，6 cm，这两个直角三角形是否相似?为什么?3、一个三角形三边的长分别为6 cm，9 cm，7

13、5 cm，另一个三角形三边长分别为8 cm，12 cm，10 cm，这两个三角形相似吗?为什么自学指导一：观察两副三角板，其中同样角度（300与600，或450与450）的两个三角板大小可能不同，但它们看起来是相似的,如果两个三角形有两组角对应相等，它们一定相似吗？探究4：作ABC与A1B1C1，使得A=A1，B=B1， （1）这时它们的第三角满足C=C1吗？ （2）分别度量这两个三角形的边长，计算，你有什么发现？ (3)已知：如图，在ABC与A1B1C1中，若A=A1，B=B1，求证：ABCA1B1C1 1.两三角形相似的判定定理4：如果一个三角形的两个角与 ，那么这两个三角形相似.2请你根

14、据图形把该定理改写成符号语言： 3.练习（1）、完成P48练习题1.（2）、已知：如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，DFAE于F，若AB=4，AD=5，AE=6，求DF的长（3）、 如图，弦AB和CD相交于O内一点P，求证：PAPB=PCPD.自学指导二：阅读P47思考，已知：如图，在RtABC和RtA1B1C1中，C=90，C1=90，=，求证：RtABCRt A1B1C1 1.两三角形相似的判定定理5：如果两个直角三角形的斜边的比等于一组直角边的比，那么这两个三角形相似.2请你根据图形把该定理改写成符号语言： BADCEF三、当堂检测1如图，已知在平行四边形ABCD中，EFAB，DE：

15、EA2：3，EF4，则CD的长为（ ） A. B.8 C.10 D.162.ABC的三边之比为3：5：6，与其相似的ABC的最大边为15 cm， 且ABC与ABC的相似比为，那么ABC的最小边是_3已知：如图，1=2=3，求证：ABCADE4.已知：如图，ABC 的高AD、BE交于点F求证：5已知：如图，BE是ABC的外接圆O的直径，CD是ABC的高（1）求证：ACBC=BECD； （2）若CD=6，AD=3，BD=8，求O直径BE的长 27.2.2相似三角形应用举例学习目标：1.会运用三角形相似解决实际问题.探究实际问题问题1：据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，

16、在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度. 如图272-8，如果木杆EF长2m，它的影长FD为3 m，测得OA为201 m，求金字塔的高度BO。练习1:在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例在某一时刻，有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米，某一高楼的影长为60米，那么高楼的高度是多少米?问题2：为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R. 如果测得QS=45 m，ST=90 m，QR=60 m，求

17、河的宽度PQ.练习2：小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上，求球拍击球的高度h(设网球是直线运动)问题3：如图27228，在水平地面上放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离EA=21米，当小玲与镜子的距离CE2.5米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B，且已知她的眼睛距地面高度DC=16米，请你帮小玲计算出楼高AB是多少米 概念：（1）视点：观察者眼睛的位置称为视点 （2）视线：由视点出发的线称为视线；（3）仰角：在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；（4）盲区：人眼看不到的地方称为盲区问题4：已知左、右并排的两棵大树的高分别是AB=8m和CD=12m，两

18、树的根部的距离BD=5m，一个身高16m的人沿着正对这两棵树的一条水平直路L从左向右前进，当他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶端点C？问题5：小明想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为1m的竹竿影长0.9m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，如图，他先测得留在墙上的影高1.2m，又测得地面部分的影长2.7m，他求得的树高是多少？ 当堂检测1 在同一时刻，小明测得他的影长为1米，距他不远处的一棵槟榔树的影长为5米，已知小明的身高为1.5米，则这棵槟榔树的高是 米.2如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外任选一点C，连结AC

19、、BC分别取其三等分点M、N量得 MN28m则AB的长为_ _3阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下27m宽的亮区(如图所示)，已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=87m，窗口高AB=18m，则窗口底边离地面的高BC=_ _（第2题）（第4题）（第5题）（第3题）4为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据科学中光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如下图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在离树底（B）8.4米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=2.4米，观察者目高CD=1.6米，则树（AB）的高度为_米

20、.5如图，AB是斜靠在墙上的长梯，梯脚B距墙脚16m，梯上点D距墙14m，BD长055m，则梯子的长为( )A385m B400m C440m D450m6一个钢筋三角架三边长分别为20cm，50cm，60cm，现要再做一个与其相似的钢筋三角架，而只有长为30cm和50cm的两根钢筋，要求以其中的一根为一边，从另一根截下两段(允许有余料)作为另两边，则不同的截法有( )A一种 B两种 C三种 D四种7、小明要测量一座古塔的高度，从距他2米的一小块积水处C看到塔顶的倒影，已知小明的眼部离地面的高度DE是1.5米，塔底中心B到积水处C的距离是40米.求塔高?3、已知零件的外径为25cm，要求它的厚

21、度x，需先求出它的内孔直径AB，现用一个交叉卡钳（AC和BD的长相等）去量（如图），若OA：OC=OB：OD=3，CD=7cm.求此零件的厚度x.8晚上，小亮走在大街上他发现：当他站在大街两边的两盏路灯之间，并且自己被两边路灯照在地上的两个影子成一直线时，自己右边的影子长为3米，左边的影子长为1.5米又知自己身高1.80米，两盏路灯的高相同，两盏路灯之间的距离为12米求路灯的高. 9为防水患，在漓江上游修筑了防洪堤，其截面为一梯形(如图27234所示)堤的上底宽AD和堤高DF都是6m，其中B=CDF（1）求证：ABECDF；（2）如果2，求堤的下底BC的长 27.2.3相似三角形的周长和面积学

22、习目标：1.探索并记住相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方 2.探索并记住相似三角形对应边高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比 3. 能用相似三角形的性质解决简单的问题自学指导一：1 已知： ABCABC，相似比为k，据相似定义，我们有哪些结论？我们还可以得到哪些结论？ 2思 考：（1）如果两个三角形相似，它们的周长之间有什么关系？（利用相似比k进行推导）（2）如果两个三角形相似，它们对应高之比是多少？它们的面积之间有什么关系？（3）两个相似多边形的相似比为k1周长比和面积比呢？结论：相似三角形的性质1 ： 相似三角形周长的比等于 相似三角形的性质2： 相似三角

23、形面积的比等于 相似多边形的性质1相似多边形周长的比等于 相似多边形的性质2相似多边形面积的比等于 自学指导二：思考：相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比吗？请证明.(1)已知： ABCABC，相似比为k，AD，AD分别是边BC,BC上的中线，求证： (2)已知： ABCABC，相似比为k，AD，AD分别是边BAC,BAC上的角平分线，求证： 结论：相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比三、练习1、 完成P53练习题2、 已知：ABC ABC，它们的周长分别是72 cm 和60 cm，且AB15 cm，BC24 cm，则BC=_、AB=_、AB=_、AC=_3、.

24、如图，在ABC和DEF中，AB=2DE，AC=2DF，A=D，ABC的周长是24，面积是48， 求 DEF的周长和面积.四、当堂检测1填空：（1）如果两个相似三角形对应边的比为35 ，那么它们的相似比为_，周长的比为_，面积的比为_（2）若两相似三角形面积的比为35 ，那么它们的相似比为_，周长的比为_（3）连结三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周长比等于_，面积比等于_（4）两个相似三角形对应的中线长分别是6 cm和18 cm，若较大三角形的周长是42 cm ，面积是12 cm 2，则较小三角形的周长为_cm，面积为_cm22如图，点D、E分别是ABC边AB、AC上的

25、点，且DEBC， BD2AD，那么ADE的周长：ABC的周长3.如图,在正方形网格上有A1B1C1和A2B2C2，这两个三角形相似吗？如果相似，求出A1B1C1和A2B2C2的面积比4已知：如图，ABC中，DEBC，（1）若， 求的值； 求的值； 若，求ADE的面积；（2）若，过点E作EFAB交BC于F，求BFED的面积；（3）若， ，过点E作EFAB交BC于F，求BFED 27.3 位似（1）学习目标：1知道位似图形及其有关概念，位似与相似的联系和区别，记住位似图形的性质 2会位似图形的画法，能够利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小自学指导一：1观察：在日常生活中，我们经常见到下面所给的

26、这样一类相似的图形，它们有什么特征？ 2、阅读P59，（1）知道位似图形，位似中心的概念 （2）说出位似与相似的联系和区别3、练习：如图，指出下列各图中的两个图形是否是位似图形，如果是位似图形，请指出其位似中心 边学边练：1:、已知：如图，多边形ABCDE，把它放大为原来的2倍，即新图与原图的相似比为2应该怎样做？ 你能说出画相似图形的一种方法吗？2.把图1中的四边形ABCD缩小到原来的当堂检测：1教材P611、22画出所给图中的位似中心3已知：如图，ABC，画ABC，使ABCABC，且使相似比为1:2，要求：（1）位似中心在ABC的外部；（2）位似中心在ABC的内部；（3）位似中心在ABC的

27、一条边上；（4）以点C为位似中心 27.3位似（2）学习目标：1巩固位似图形及其有关概念2会用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换3知道把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律4知道四种变换（平移、轴对称、旋转和位似）的异同，并能在复杂图形中找出这些变换前提测评：1如图，ABC三个顶点坐标分别为A(2,3)，B(2,1)，C(6,2).（1）将ABC向左平移三个单位得到A1B1C1，写出A1、B1、C1三点的坐标；（2）写出ABC关于x轴对称的A2B2C2三个顶点A2、B2、C2的坐标；（3）将ABC绕点O旋转180得到A3B3C3，写出A3、B3、C3三点的坐标自学指导一：1、（1）如上图，在平面直角坐标系中，有两点A(6,3)，B(6,0)以原点O为位似中心，相似比为，把线段AB缩小观察对应点之间坐标的变化，你有什么发现？（2）如图，ABC三个顶点坐标分别为A(2,3)，B(2,1)，C(6,2)，以点O为位似中心，相似比为2，将ABC放