人教A版数学名师一选修课件

1、第1页 1.1.3 导数的几何意义导数的几何意义第2页 自学导引自学导引(学生用书学生用书P8) 第3页 1.通过函数的图象直观地理解导数的几何意义通过函数的图象直观地理解导数的几何意义.2.会求函数在点会求函数在点(x0,y0)处的切线方程处的切线方程.第4页 课前热身课前热身(学生用书学生用书P8) 第5页 1.几何意义几何意义:f(x)在在x=x0处的导数处的导数f(x0)即为即为f(x)所表示的曲线所表示的曲线在在x=x0处的切线的斜率处的切线的斜率,即即过点过点(x0,f(x0)的切线方程为的切线方程为_.0000()kf)lim.x(xf xxf xx y-f(x0)=f(x0)(

2、x-x0) 第6页 2.物理意义物理意义:如果把函数如果把函数y=f(x)看作是物体的运动方程看作是物体的运动方程(或叫位或叫位移公式移公式),那么导数那么导数f(x0)表示运动物体在时刻表示运动物体在时刻t0的速度的速度,即在即在x0的的_.即即x000lim.vfxxyx 瞬时速度瞬时速度 第7页 3.如果如果f(x)在开区间在开区间(a,b)内每一点内每一点x的导数都存在的导数都存在,则称则称f(x)在在区间区间(a,b)内可导内可导.这样对开区间这样对开区间(a,b)内每一个值内每一个值x,都对应都对应一个确定的导数一个确定的导数f(x),于是在区间于是在区间(a,b)内内f(x)构成

3、一个新的构成一个新的函数函数,我们把这个函数称为函数我们把这个函数称为函数y=f(x)的的_,记为记为_,简称为简称为_.今后今后,如不特如不特别指明某一点的导数别指明某一点的导数,求导数就是指求导函数求导数就是指求导函数.导函数导函数 f(x)(或或yx y) 导数导数第8页 名师讲解名师讲解(学生用书学生用书P8) 第9页 1.“函数函数f(x)在点在点x0处的导数处的导数” “导函数导函数” “导数导数”三者三者之间的区别与联系之间的区别与联系:“函数函数f(x)在点在点x0处的导数处的导数”是一个数值是一个数值;“导函数导函数”简称简称“导导数数”,是一个函数是一个函数.所以求函数在某

4、点处的导数时所以求函数在某点处的导数时,一般是先一般是先求出函数的导函数求出函数的导函数,再计算这点的导函数值再计算这点的导函数值.2.可以利用导数求曲线的切线方程可以利用导数求曲线的切线方程.由于函数由于函数y=f(x)在在x=x0处处的导数的导数,表示曲线在点表示曲线在点P(x0,f(x0)处的切线的斜率处的切线的斜率.因此因此,曲曲线线y=f(x)在点在点P(x0,f(x0)处的切线方程可如下求得处的切线方程可如下求得:第10页 (1)求出求出f(x0),则则f(x0)就是点就是点P(x0,f(x0)处的切线的斜率处的切线的斜率.(2)代入直线的点斜式方程可得切线方程为代入直线的点斜式方

5、程可得切线方程为y-f(x0)=f(x0)(x-x0).如果曲线如果曲线y=f(x)在点在点P(x0,f(x0)处的切线平行于处的切线平行于y轴时轴时(此时导此时导数不存在数不存在),切线方程为切线方程为x=x0.第11页 典例剖析典例剖析(学生用书学生用书P8) 第12页 题型一题型一 求曲线上某点处的切线方程求曲线上某点处的切线方程例例1:已知曲线已知曲线C:y=x3.(1)求曲线求曲线C上横坐标为上横坐标为1的点处的切线方程的点处的切线方程;(2)第第(1)小题中的切线与曲线小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点是否还有其他的公共点.分析分析:先求出函数先求出函数y=x3在在x=1处的

6、导数处的导数,即切线的斜率即切线的斜率,然后写然后写出切线方程出切线方程,最后列方程看交点个数最后列方程看交点个数.第13页 33002232200213x21: 1x1Cy1,P 1,1 ,y()limlim33 ()3x3x xx3x ,y |3,Py 13 x1 ,3xy20. 2()limlim3(x1xx20,x1) 1xxxxyxxxxxxxxxxxyxyx 解将代入曲线 的方程得切点过 点的切线方程为即由可得解得21,x2,P 1,1P2, 8 .C,. 从而求得公共点为或说明切线与曲线 的公共点除了切点外 还有另外的公共点第14页 规律技巧规律技巧:先求出函数先求出函数y=f(

7、x)在在x=x0处的导数处的导数,即曲线在该点即曲线在该点处的切线斜率处的切线斜率,再由直线方程的点斜式便可求出切线方程再由直线方程的点斜式便可求出切线方程.第15页 11,2)1:(,.2yx变式训练求双曲线在点处的切线的斜率并写出切线方程002201: ykx,k4,k411,limlim111lim,2.y21),24(x4xy40.xxxyxxxxxxxx xx 解当时切线斜率为切线方程为即第16页 题型二题型二 求过某点的切线方程求过某点的切线方程22:yx5(6).,2例求抛物线过点的切线方程:,5( ,6),.2,分析 点不在抛物线上 先设出切点坐标 求出切线的斜率利用等量关系

8、求出切点坐标 最后写出切线方程第17页 2022000022000 x x00020000),()limlim62,5:(x ,xy |2xx2x ,x2x3.yx2,4 , 3,9 .y44 x2 ,y96 x34xy406x060,52y90.xxxxxxxxxxx 解 设此切线在抛物线上的切点为则即解得或即切线经过抛物线上的点故切线方程分别为即或为所求的切线方程第18页 规律技巧规律技巧:求切线方程时求切线方程时,注意两种说法注意两种说法:一是在某点处的切线一是在某点处的切线方程方程,此时点在曲线上此时点在曲线上,且以此点为切点且以此点为切点;二是过某点的切线二是过某点的切线方程方程,如

9、本例如本例,此时求解时此时求解时,首先要设出切点坐标首先要设出切点坐标,然后求解然后求解.第19页 22:(4,17).44yx变式训练求抛物线过点的切线方程0 x x0202200000020200002001),411()44lim111lim(),24217144,870,421491),(1, ),44449711(7:(x ,y |x7x1,()(1)7,42,1442xxxxxxxxxxxxxxxxyxyxyx 解 设切线在抛物线上的切点为即解得或即切线过抛物线上的点故切线方程分别为或化简得4y4902x4y 10,. 或此即所求的切线方程第20页 题型三题型三 导数几何意义的综合

10、应用导数几何意义的综合应用例例3:求曲线求曲线y=x2在点在点(3,9)处的切线与两坐标轴所围成的三角处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积形的面积.分析分析:由题设知切线与两坐标轴围成的三角形为直角三角形由题设知切线与两坐标轴围成的三角形为直角三角形,故需求出切线方程及其在两坐标轴上的截距故需求出切线方程及其在两坐标轴上的截距,代入三角形面积代入三角形面积公式计算公式计算. 22002: y3x36 xx,f3(6x)6,3,9y96limlim3,0),(0, 9).213279.224x3 ,y6x9.(xxyxS 解点处的切线方程为即切线与两坐标轴的交点分别为切线与两坐标轴围成的三角形

11、面积为第21页 变式训练变式训练3:在曲线在曲线y=x2上求一点上求一点P,使过点使过点P的切线与直线的切线与直线y=4x-5平行平行.220000020000000(),),liml:P(xfx2xx2x .2x4,x2.P2,4m.imlixxxxxxyxxx 解 设则由题意可得故点 的坐标为第22页 技能演练技能演练(学生用书学生用书P9)基础强化基础强化第23页 1.设设f(x0)=0,则曲线则曲线y=f(x)在点在点(x0,f(x0)处的切线处的切线( )A.不存在不存在 B.与与x轴垂直轴垂直C.与与x轴平行轴平行 D.与与x轴平行或重合轴平行或重合答案答案:D第24页 2.一木块

12、沿某一斜面自由下滑一木块沿某一斜面自由下滑,测得下滑的水平距离测得下滑的水平距离s与时间与时间t之间的函数关系为之间的函数关系为s= t2,则当则当t=2时时,此木块在水平方向的此木块在水平方向的瞬时速度为瞬时速度为( )A. 2 B. 1C. D. 答案答案:C第25页 220020011()88limlim11()1114:st8limlim().42,841.2stttttttsttt tttttt 解析当时第26页 3.若曲线若曲线y=h(x)在点在点P(a,h(a)处切线方程为处切线方程为2x+y+1=0,那么那么( )A.h(a)0C.h(a)=0 D.h(a)的符号不定的符号不定

13、答案答案:A解析解析:由由2x+y+1=0,得得h(x)=-20.h(a)”连接连接)k1k2k3 解析解析:由由f(x)的图象及导数的几何意义知的图象及导数的几何意义知,k1k2k3.第32页 能力提升能力提升第33页 9.已知曲线已知曲线y=2x2上的点上的点(1,2),求过该点且与过该点的切线垂求过该点且与过该点的切线垂直的直线方程直的直线方程. 0(1)(1)lim4,1.41(1: f 11,24.1,2),4k,4k1,ky2x4y90.xfxfxx 解过点的切线的斜率为 设过点且与过该点的切线垂直的直线的斜率为则所求的直线方程为即第34页 10.已知点已知点M(0,-1) F(0

14、,1),过点过点M的直线的直线l与曲线与曲线y= x3-4x+4在在x=2处的切线平行处的切线平行.(1)求直线求直线l的方程的方程;(2)求以点求以点F为焦点为焦点,l为准线的抛物线为准线的抛物线C的方程的方程.第35页 0223311(2)4(2)424 2: 1f20,l0,y1. 2F 0,1,y1,x2py,Cx433lim1,2.4y.2xxxxpp 解直线 的斜率为 其直线方程为抛物线以点为焦点为准线设抛物线的方程为则故抛物线 的方程为第36页 品味高考品味高考第37页 11.(2008全国全国)设曲线设曲线y=ax2在点在点(1,a)处的切线与直线处的切线与直线2x-y-6=0平行平行,则则a等于等于( )A.1 B. C.-