河海大学几何与代数32

1、一、行列式的性质一、行列式的性质 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等. .行列式行列式 称为行列式称为行列式 的转置行列式的转置行列式. tdd记记nnaaa2211nnaaa21122121nnaaa d2121nnaaannaaa2112 tdnnaaa2211 互换行列式的两行（列）互换行列式的两行（列）, ,行列式变号行列式变号. .说明说明 行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位,因此行列因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.例如例如推论推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则如果行列式有两行（列）完全相

2、同，则此行列式为零此行列式为零. .证明证明互换相同的两行，有互换相同的两行，有 . 0 d,dd ,571571 266853.825825 361567567361266853 行列式的某一行（列）中所有的元素都行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数乘以同一数 ，等于用数，等于用数 乘此行列式乘此行列式. .kknnnniniinaaakakakaaaa212111211nnnniniinaaaaaaaaak212111211 行列式的某一行（列）中所有元素的公因行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面子可以提到行列式符号的外面性质性质行列式中如果有两行（列）元

3、素成比行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零例，则此行列式为零证明证明nnnniniiiniinaaakakakaaaaaaa21212111211nnnniniiiniinaaaaaaaaaaaak21212111211 . 0 性质性质5 5若行列式的某一列（行）的元素都是两若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和数之和. .nnnininnniiniiaaaaaaaaaaaaaaad)()()(2122222211111211 则则d等于下列两个行列式之和：等于下列两个行列式之和：nnninnininnninniniaaaaaaaaaaaaaaaaaad 1222111111

4、22211111例如例如性质性质把行列式的某一列（行）的各元素乘以把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列同一数然后加到另一列(行行)对应的元素上去，行对应的元素上去，行列式不变列式不变njnjninjjinjiaaaaaaaaaaaa12222111111njnjnjninjjjinjjijiaakaaaaakaaaaakaaakcc)()()(1222221111111 k例如例如推论推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即. ji,aaaaaajninj

5、iji 02211二、应用举例二、应用举例计算行列式常用方法：利用运算把行列式计算行列式常用方法：利用运算把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值化为上三角形行列式，从而算得行列式的值jikrr 把行列式的某一行（列）除一个元素不是把行列式的某一行（列）除一个元素不是0 0以外，以外，把其它的元素全化为把其它的元素全化为0 0，然后把行列式按这一，然后把行列式按这一（列）展开。这样就把高阶行列式的计算化为低（列）展开。这样就把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算。阶行列式计算。 例例1 3351110243152113 d03550100131111115 312 cc 34cc 0551

6、111115)1(33 055026115 5526)1(31 5028 .40 12rr 例例2 计算行列式计算行列式 1111111111111 d计算行列式计算行列式 111111111111 dabbbbabbbbabbbbadn 解解 abbbnababbnabbabnabbbbna1111 d将第将第 都加到第一列得都加到第一列得n, 3 , 2计算计算n阶行列式阶行列式 abbbabbbabbbbna1111) 1( babababbbbna 1) 1(00 .)() 1(1 nbabna计算行列式计算行列式11111111111114321 id ， 1111111111111

7、 d 111111111111 dbabababababababadn 00000000000000例例3 计算计算n阶行列式阶行列式例例4范德蒙德范德蒙德(vandermonde)行列式行列式 1112112222121).(111jinjinnnnnnnxxxxxxxxxxxd)1(四四 方阵的行列式方阵的行列式定义定义 由由 阶方阵阶方阵 的元素所构成的行列式，的元素所构成的行列式，叫做方阵叫做方阵 的行列式，记作的行列式，记作 或或naaa.det a 8632a例例8632 a则则. 2 运算性质运算性质 ;1aat ;2aan ;3baab .baab 阶方阵阶方阵为为阶方阵阶方阵

8、为为，mbnababa,00 （1）（2）阶方阵阶方阵为为阶方阵阶方阵为为，mbnababamn,)1(00 五五 分块矩阵的行列式分块矩阵的行列式阶方阵阶方阵为为阶方阵阶方阵为为，mbnababcanm,0 （3） (行列式中行与列具有同行列式中行与列具有同等的地位等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立同样成立). 计算行列式常用方法：计算行列式常用方法：(1)利用性质把行列利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值；式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值；(2)(2)首先把行列式的某行首先把行列式的某行( (列列) )除一个元素不为零除一个元素不为零以外，把其它的元素全化为零，然后按这一行以外，把其它的元素全化为零，然后按这一行( (列列) )展开。展开。六、小结六、小结行列式的行列式的6个性质个性质思考题思考题阶行列式阶行列式计算计算411111111111122222222ddddccccbbbbaaaad 1 abcd已知已知