第四讲行程问题教师版

1、 戴氏教育集团 戴氏精品堂学校 成龙总校 学员姓名： 年 级：五年级奥数 来自学校： 辅导科目：数学 教 师：唐 高 国 第 4 次课课 题行程问题授课时间：6 月 1 日备课时间：5月 15 日教学目标利用多种技巧与方法来求解行程问题重点、难点熟练运用画图和比例求解行程问题考点及考试要求奥数考试中必考的应用部分的题目教学内容内容概述 运动路线或路况复杂，与周期性或数论知识相关联，需进行优化设计等具有相当难度的行程问题工作效率发生改变，要完成的项目及参加工作的对象较多的工程问题 典型问题 1。如图21-l，A至B是下坡，B至C是平路，C至D是上坡.小张和小王在上坡时步行速度是每小时4千米，平路

2、时步行速度是每小时5千米，下坡时步行速度是每小时6千米小张和小王分别从A和D同时出发，1小时后两人在E点相遇已知E在BC上，并且E至C的距离是B至C距离的当小王到达A后9分钟，小张到达D那么A至D全程长是多少千米? 【分析与解】 BE是BC的，CE是BC的，说明DC这段下坡，比AB这段下坡所用的时间多，也就是DC这一段，比AB这一段长，因此可以在DC上取一段DF和AB一样长，如下图： 另外，再在图上画出一点G，使EG和EC一样长，这样就表示出，小王从F到C.小张从B到G 小王走完全程比小张走完全程少用9分钟，这时因为小张走C至F是上坡，而小王走F至C是下坡(他们两人的其余行程走下坡、平路、上坡

3、各走一样多) 因此，小王从F至C，走下坡所用时间是9=18(分钟) 因此得出小张从B至G也是用18分钟，走GE或CE都用6分钟走B至C全程(平路)要30分钟 从A至曰下坡所用时间是60-18-6=36(分钟)； 从D至C下坡所用时间是60-6=54(分钟)； A至D全程长是(36+54)+30=11.5千米 2如图2l-2，A，B两点把一个周长为l米的圆周等分成两部分蓝精灵从B点出发在这个圆周上沿逆时针方向做跳跃运动，它每跳一步的步长是米，如果它跳到A点，就会经过特别通道AB滑向曰点，并从B点继续起跳，当它经过一次特别通道，圆的半径就扩大一倍已知蓝精灵跳了1000次，那么跳完后圆周长等于多少米

4、? 【分析与解】 4=即蓝精灵跳4次到A点圆半径扩大一倍即乘以2后，跳8次到A点 圆半径乘以4后，跳16次到A点 依次类推，由于4+8+16+32+64+128+256+492=1000，所以有7次跳至A点1000次跳完后圆周长是1=128米 3已知猫跑5步的路程与狗跑3步的路程相同；猫跑7步的路程与兔跑5步的路程相同而猫跑3步的时间与狗跑5步的时间相同；猫跑5步的时间与兔跑7步的时间相同，猫、狗、兔沿着周长为300米的圆形跑道，同时同向同地出发问当它们出发后第一次相遇时各跑了多少路程? 【分析与解】 方法一：由题意，猫与狗的速度之比为9:25，猫与兔的速度之比为25:49 设单位时间内猫跑1

5、米，则狗跑米，兔跑米 狗追上猫一圈需300(-1)= 单位时间， 兔追上猫一圈需300(-1)= 单位时间 猫、狗、兔再次相遇的时间，应既是的整数倍，又是的整数倍. 与的最小公倍数等于两个分数中，分子的最小公倍数除以分母的最大公约数,即=8437.5 上式表明，经过8437.5个单位时间，猫、狗、兔第一次相遇此时，猫跑了8437.5米，狗跑了8437.5=23437.5米，兔跑了8437.5=165375米方法二：有猫跑35步的路程与狗跑21步的路程，兔跑25步的路程相；而猫跑15步的时间与狗跑25步的时间，兔跑21步的时间相同所以猫、狗、兔的速度比为，它们的最大公约数为. 即设猫的速度为，那

6、么狗的速度为 ，则兔的速度为 于是狗每跑300(625-225)= 单位时追上猫； 兔每跑300(441-225)= 单位时追上猫 而，所以猫、狗、兔跑了单位时，三者相遇 有猫跑了225=8437.5米，狗跑了625=23437.5米，兔跑了441=16537.5米 评注：方法一、方法二中的相遇时间一个是8437.5单位，一个是单位，可是答案却是一样的，为什么呢? 在方法二中，如果按下面解答会得到不同答案，又是为什么?哪个方法有问题呢?自己试着解决，并在今后的学习中避免这种错误 于是狗每跑300(625-225) 625=米追上猫； 兔每跑300(441-225)441=米追上猫；而， 4一条

7、环形道路，周长为2千米甲、乙、丙3人从同一点同时出发，每人环行2周现有自行车2辆，乙和丙骑自行车出发，甲步行出发，中途乙和丙下车步行，把自行车留给其他人骑已知甲步行的速度是每小时5千米，乙和丙步行的速度是每小时4千米，3人骑车的速度都是每小时20千米请你设计一种走法，使3个人2辆车同时到达终点那么环行2周最少要用多少分钟? 【分析与解】 如果甲、乙、丙均始终骑车，则甲、乙、丙同时到达，单位“1”的路程只需时间；乙、丙情况类似，所以先只考虑甲、乙，现在甲、乙因为步行较骑车行走单位“1”路程，耽搁的时间比为： 而他们需同时出发，同时到达，所以耽搁的时间应相等于是步行的距离比应为耽搁时间的倒数比，即

8、为4:3；因为丙的情形与乙一样，所以甲、乙、丙三者步行距离比为4:3:3 因为有3人，2辆自行车，所以，始终有人在步行，甲、乙、丙步行路程和等于环形道路的周长 于是，甲步行的距离为2=0.8千米；则骑车的距离为22-0.8=3.2千米； 所以甲需要时间为()60=19.2分钟 环形两周的最短时间为19.2分钟 参考方案如下：甲先步行0.8千米，再骑车3.2千米； 乙先骑车2.8千米，再步行0.6千米，再骑车0.6千米(丙留下的自行车) ； 丙先骑车3.4千米，再步行0.6千米5甲、乙两项工程分别由一、二队来完成在晴天，一队完成甲工程需要12天.二队完成乙工程需要15天；在雨天，一队的工作效率要

9、下降40，二队的工作效率要下降10结果两队同时完成这两项工程，那么在施工的日子里，雨天有多少天? 【分析与解】 晴天时，一队、二队的工作效率分别为和，一队比二队的工作效率高-=；雨天时，一队、二队的工作效率分别为(1-40%)=和(1-10%)=,这时二队的工作效率比一队高-=.由:=5:3知，要两个队同时完工，必须是3个晴天，5个雨天，而此时完成了工程的3+5=，所以，整个施工期间共有6 个晴天,10个雨天. 6画展9时开门，但早有人来排队等候入场从第一个观众来到时起，每分钟来的观众人数一样多如果开3个入场口，9时9分就不再有人排队；如果开5个入场口，9时5分就没有人排队那么第一个观众到达的

10、时间是8时几分? 【分析与解】 由题意可得两个等式，如下： (开门前排队人数)+(9分钟内到的人数)=3(每个入口每分钟进的人数)9 (开门前排队人数)+(5分钟内到的人数)=5(每个入口每分钟进的1人数)5 -得:4分钟内到的人数=2(每个人口每分钟进的人数)从而有:每个入口每分钟进的人数=2(每分钟进的人数)代入得，开门前排队人数=252-5=45分钟内到的人数因此第一个人是8点15(=60-45)分到达的 7甲、乙、丙3名搬运工同时分别在3个条件和工作量完全相同的仓库工作，搬完货物甲用10小时，乙用12小时，丙用15小时第二天3人又到两个较大的仓库搬运货物，这两个仓库的工作量也相同甲在A

11、仓库，乙在B仓库，丙先帮甲后帮乙，结果干了16小时后同时搬运完毕问丙在A仓库做了多长时间? 【分析与解】 设第一天的每个仓库的工作量为“1”， 那么甲、乙、丙的合作工作效率为=，第二天，甲、乙、丙始终在同时工作，所以第二天两个仓库的工作总量为16=4，即第二天的每个仓库的工作总量为42=2于是甲工作了16小时只完成了16=的工程量，剩下的2-=的工程量由丙帮助完成，则丙需工作=6(小时).丙在A仓库做了6小时 第22讲 复杂工程问题内容概述本讲主要讲解需运用比和比例及分段解决的较复杂问题，还有一些需借助程来求解的问题经典问题1.甲、乙两个工程队修路，最终按工作量分配8400元工资按两队原计划的

12、工作效率，乙队应获5040元实际从第5天开始，甲队的工作效率提高了1倍，这样甲队最终可比原计划多获得960元那么两队原计划完成修路任务要多少天? 【分析与解】 开始时甲队拿到84005040=3360元，甲乙的工资比等于甲乙的工效比，即为3360：50402：3； 甲提高工效后，甲乙的工资及工效比为 (3360+960)：(5040960)=18：17； 设甲开始的工效为“2”，那么乙的工效为“3”，设甲在提高工效后还需天完成任务 有(24+4)：(34+3)=18：17，化简为216+54=136+68，解得 于是共有工程量为所以原计划60(2+3)12天完成 2. 规定两人轮流做一个工程，

13、要求第一个人先做1个小时,第二个人接着做一个小时，然后再由第一个人做1个小时，然后又由第二个人做1个小时，如此反复，做完为止如果甲、乙轮流做一个工程需要98小时，而乙、甲轮流做同样的程只需要96小时，那乙单独做这个工程需要多少小时? 【分析与解】即甲工作2小时，相当与乙1小时所以，乙单独工作需小时 3甲、乙、丙三人完成一件工作，原计划按甲、乙、丙顺序每人轮流工作一天，正好整数天完成，若按乙、丙、甲的顺序每人轮流工作一天，则比原计划多用天；若按丙、甲、乙的顺序每人轮流工作一天，则比原计划多用天已知甲单独完成这件工作需1075天问：甲、乙、丙一起做这件工作，完成工作要用多少天? 【分析与解】 我们

14、以甲、乙、丙各工作一天为一个周期，即3天一个周期 通过上一题的类似分析，我们知道第一种情况下一定不是完整周期内完成； 但是在这题中，就有两种可能，第一种可能是完整周期+1天，第二种可能是完整周期+2天 验证第一种可能不成立(详细过程略) 再看第二种可能：即丙工作1天，甲只需要工作天代入第3种情况知： 即甲工作1天，乙需要工作天 因为甲单独做需1075天，所以工作效率为于是乙工作效率为丙工作效率为 于是，一个周期内他们完成的工程量为 则需个完整周期，剩下的工程量；正好甲、乙各一天完成 所以第二种可能是正确的 于是，采用第二种可能算出的数据：一个周期内他们完成的工程量： 需要天 而甲、乙、丙合作一

15、天完成的工程量正好是甲、乙、丙轮流做一天一个周期内的工程量于是，甲、乙、丙合作这件工程需天 4如图，有一个正方体水箱，在某一个侧面相同高度的地方有三个大小相同的出水孔用一个进水管给空水箱灌水，若三个出水孔全关闭，则需要用1个小时将水箱灌满；若打开一个出水孔，则需要用1小时5分钟将水箱灌满；若打开两个出水孔，则需要用72分钟将水箱灌满那么，若三个出水孔全打开，则需要用多少分钟才能将水箱灌满? 【分析与解】 方法一：设打开一个出水孔时，灌满出水孔以上的部分需要时间为，则不打开出水孔和打开两个出水孔灌满水孔以上部分所需时间为 有工作效率之间的关系： 通分为化简为解得所以，不打开出水孔需分钟灌满水孔以

16、上的水，而灌满出水孔以下的水为分钟 视水孔以上的水箱水量为单位“l”，有一个出水孔的工作效率为： 那么打开三个出水孔的工作效率为 所以，打开三个出水孔灌满整个水箱所需的时间为分钟 方法二：在打开一个出水孔时，从小孔流出的水量相当于进水管分钟的进水量；在打开两个出水孔时，从小孔流出的水量相当于进水管分钟的进水量而且注意到，后者出水孔出水的时间比前者多分钟. 因此两个出水孔7分钟的排水量相当于进水管分钟的进水量因此进水管1分钟的进水量相当于一个出水孔7分钟的排水量 那么在打开一个出水孔的时候，小孔排水分钟，也就是说，进水，进水分钟后，水面达到小孔高度 因此打开三个出水孔的时候，灌满水箱需要分钟第2

17、3讲 运用比例求解行程问题内容概述 本讲主要讲解如何利用比例求解行程问题，而行程问题中的三个量：速度、时间、路程在某些时候存在比例关系典型问题 1甲、乙、丙三辆汽车各以一定的速度从4地开往B地若乙比丙晚出发10分钟，则乙出发后40分钟追上丙；若甲比乙又晚出发20分钟，则甲出发后1小时40分钟追上丙；那么甲出发后追上乙所需要的时间为多少分钟? 【分析与解】 我们知道开始时，乙走了40分钟与丙走了40+10=50分钟的路程相等，所以速度比为乙：丙=5：4；甲走了100分钟，丙走了100+20+lO=130分钟所走的路程相等，所以速度比为：甲：丙=13：10 于是甲：乙：丙=26：25：20 于是，

18、乙比甲先走20分钟，路程相当于2025=500，速度差相当于26-25=l； 于是，追击时间为5001=500分钟 2. 客车和货车分别从甲、乙两地出发相向而行如果两车出发的时间都是6：00，那么它们在11：00相遇；如果客车和货车分别于7：00和8：00出发，那么它们在12：40相遇现在，客车和货车出发的时间分别是10：00和8：00，则何时它们相遇?(本题中所述的时间均为同一天，采用24小时制计法) 【分析与解】 第一次，客、货各走了5小时；第二次，客、货各走了5小时40分，4小时40分，但是两次客、货所走的路程和不变；于是有300客+300货=340客+280货；40客=20货，所以客、货两车的速度比为1：2：将全程看成“1”，则客、货车速度和为15=；所以客车速度为； 货车的速度为；货车先出发2小时，于是行走了；于是剩下的路程为；还需要的时间为小时，还需要3小时40分钟，在10：00后计时，所以相遇时间为13点40分 3在久远的古代，有一个智者叫做芝诺，他曾经说过：兔子永远追不上10米外的乌龟他这样解释：当兔子跑到10米处(即乌龟原来