2021挑战中考数学压轴试题1.7因动点产生的线段和差问题

1、17 因动点产生的线段和差问题课前导学线段和差的最值问题，常见的有两类：第一类问题是“两点之间，线段最短两条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“牛喝水问题，关键是指出一条对称轴“河流如图1三条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“台球两次碰壁或“光的两次反射问题，关键是指出两条对称轴“反射镜面如图2两条线段差的最大值问题，一般根据三角形的两边之差小于第三边，当三点共线时，两条线段差的最大值就是第三边的长如图3，PA与PB的差的最大值就是AB，此时点P在AB的延长线上，即P解决线段和差的最值问题，有时候求函数的最值更方便，本讲不涉及函数最值问题图1 图2 图3第二类问题是“两点之间，线段最

2、短结合“垂线段最短如图4，正方形ABCD的边长为4，AE平分BAC交BC于E点P在AE上，点Q在AB上，那么BPQ周长的最小值是多少呢？如果把这个问题看作“牛喝水问题，AE是河流，但是点Q不确定啊第一步，应用“两点之间，线段最短如图5，设点B关于“河流AE的对称点为F，那么此刻PFPQ的最小值是线段FQ第二步，应用“垂线段最短如图6，在点Q运动过程中，FQ的最小值是垂线段FH这样，因为点B和河流是确定的，所以点F是确定的，于是垂线段FH也是确定的图4 图5 图6例 50 2021年湖南省郴州市中考第26题抛物线yax2bxc经过A(1, 0)、B(2, 0)、C(0, 2)三点1求这条抛物线的

3、解析式；2如图1，点P是第一象限内此抛物线上的一个动点，当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时点P的坐标；3如图2，设线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，M为抛物线的顶点，那么在直线DE上是否存在一点G，使CMG的周长最小？假设存在，请求出点G的坐标；假设不存在，请说明理由图1 图2动感体验请翻开几何画板文件名“14郴州26，拖动点P运动，可以体验到，当点P运动到CB的中点的正上方时，四边形ABPC的面积最大拖动点G运动，可以体验到，当A、G、M三点共线时，GCGM最小，CMG的周长最小思路点拨1设交点式求抛物线的解析式比拟简便2连结OP，把四边形ABPC的面积分割

4、为三个三角形的面积和3第3题先用几何说理确定点G的位置，再用代数计算求解点G的坐标图文解析1因为抛物线与x轴交于A(1, 0)、B(2, 0)两点，设ya(x1)(x2)代入点C(0, 2)，可得a1所以这条抛物线的解析式为y(x1)(x2)x2x22如图3，连结OP设点P的坐标为(x,x2x2)由于SAOC1，SPOCx，SPOBx2x2，所以S四边形ABPCSAOCSPOCSPOBx22x3(x1)24因此当x1时，四边形ABPC的面积最大，最大值为4此时P(1, 2)3第一步，几何说理，确定点G的位置：如图4，在CMG中，CM为定值，因此当GCGM最小时，CMG的周长最小由于GAGC，因

5、此当GAGM最小时，GCGM最小当点G落在AM上时，GAGM最小如图5图3 图4 图5第二步，代数计算，求解点G的坐标：如图6，cosCAO，所以，E如图7，由yx2x2，得M由A(1, 0)、M，得直线AM的解析式为作GHx轴于H设点G的坐标为由于tanGEHtanACO，所以，即EH2GH所以解得所以G图6 图7 图8考点伸展第2题求四边形ABPC的面积，也可以连结BC如图8因为ABC的面积是定值，因此当PCB的面积最大时，四边形ABPC的面积也最大过点P作x轴的垂线，交CB于F因为PCF与PBF有公共底边PF，高的和等于C、B两点间的水平距离，所以当PF最大时，PCB的面积最大设点P(x

6、,x2x2)，F(x,x2)，那么PFx22x当x1时，PF最大此时P(1, 2)例 51 2021年湖南省湘西州中考第25题如图1，抛物线yax2bxc关于y轴对称，它的顶点在坐标原点O，点B和点C(3,3)均在抛物线上，点F在y轴上，过点作直线l与x轴平行1求抛物线的解析式和直线BC的解析式；2设点D(x, y)是线段BC上的一个动点点D不与B、C重合，过点D作x轴的垂线，与抛物线交于点G，设线段GD的长为h，求h与x之间的函数关系式，并求出当x为何值时，线段GD的长度h最大，最大长度h的值是多少？3假设点P(m, n)是抛物线上位于第三象限的一个动点，连结PF并延长，交抛物线于另一点Q，

7、过点Q作QSl，垂足为S，过点P作PNl，垂足为N，试判断FNS的形状，并说明理由；4假设点A(2, t)在线段BC上，点M为抛物线上的一个动点，连结AF，当点M在何位置时，MFMA的值最小请直接写出此时点M的坐标与MFMA的最小值图1 动感体验请翻开几何画板文件名“14湘西25”，点击屏幕左下方的按钮2，拖动点D在BC上运动，可以体验到，当点D是BC的中点时，GD最大点击按钮3，拖动点P运动，可以体验到，FNS保持直角三角形的形状点击按钮4，拖动点M运动，可以体验到，ME与MF保持相等，当AE是垂线段时，MEMA最小思路点拨1第2题用x表示G、D两点的纵坐标，GD的长就转化为关于x的二次函数

8、2第3题是典型结论：抛物线上任意一点到直线l的距离等于它与点F间的距离3第4题要经过两步说理，得到MFMA的最小值是点A到l的垂线段长图文解析1因为抛物线的顶点在坐标原点，所以yax2代入点C(3,3)，得所以抛物线的解析式为设直线BC的解析式为ykxb，代入B、C(3,3)，得解得，b2所以直线BC的解析式为2由于点D、G分别在直线BC和抛物线上，所以D，G所以hGD因此当时，h取得最大值，最大值为3如图2，设点为H设直线PQ的解析式为联立直线PQ：与抛物线，消去y，得所以x1x2它的几何意义是HSHN又因为HF所以HF2HSHN所以所以tan1tan2所以12又因为1与3互余，所以2与3互余所以FNS是直角三角形4MFMA的最小值是，此时点M的坐标是图2 图3 图4考点伸展第3题也可以通过计算得到PFPN同理得到QFQS这样我们就可以根据“等边对等角及