阶常系数线齐次微分方程ppt课件

1、第五节第五节二阶常系数线性齐次微分方程二阶常系数线性齐次微分方程一、二阶常系数线性齐次微分一、二阶常系数线性齐次微分 方程解的性质与通解构造方程解的性质与通解构造二、二阶常系数线性齐次微分二、二阶常系数线性齐次微分 方程的解法方程的解法的方程，称为二阶线性微分方程.当 时，方程(1)成为) 1 ( )()()(xfyxQyxPy0)(xf)2( 0)()(yxQyxPy称为二阶线性齐次微分方程，当 时，方程(1)称为二阶线性非齐次微分方程.0)(xf/形如 当系数P(x)、Q(x)分别为常数p、q时，那么称方程(3) 0qypyy为二阶常系数线性齐次微分方程，称方程)4( )0)( )(xfx

2、fqypyy/为二阶常系数线性非齐次微分方程.定理11.1 设y1(x)， y2(x)是二阶常系数线性齐次微分方程(3)的两个解，那么 也是方程(3)的解，其中C1, C2是恣意常数.)()(2211xyCxyCy一、二阶常系数线性齐次微分方程解的性质与通解构造证，的解，所以都是方程因为0)()()( 0)()()( )3()(),( 22211121xqyxpyxyxqyxpyxyxyxy的左端，得代入方程将)3()()(2211xyCxyCy，0 )()()( )()()( )()( )()( )()( 22221111221122112211xqyxpyxyCxqyxpyxyCxyCxy

3、CqxyCxyCpxyCxyC.)3()3()()( 2211的解所以它是方程，满足方程即xyCxyCy 这个定理阐明，二阶线性齐次微分方程任何两个解y1(x)， y2(x)的线性组合 ，仍是方程的解.那么， 是不是方程(3)的通解呢？)()(2211xyCxyC)()(2211xyCxyCy例1 对于二阶常系数线性齐次微分方程, 02yyy容易验证： 都是它的解.由定理11.1 知xxxyxye2)(,e)(21)()(2211xyCxyCy也是它的解.但这个解中只含有一个恣意常数C，显然它不是所给方程的通解.xxxxCCCCCee )2(e2e2121问题：方程(3)的两个特解y1(x)，

4、 y2(x)满足什么条件时，)( )()(212211为任意常数，CCxyCxyCy才是方程(3)的通解？ 由例1分析可知，假设方程(3)的两个特解y1(x)， y2(x)之间不是常数倍的关系，那么它们线性组合得到的解就必定是方程(3)的通解.)( )()(212211为任意常数，CCxyCxyCy定义6.1 设y1(x) 与y2(x)是定义在某区间内的两个函数，假设存在不为零的常数k (或存在不全为零的常数k1 , k2)，使得对于该区间内的一切x ，有)0)()( )()(221112xykxykkxyxy或成立，那么称函数y1(x) 与y2(x) 在该区间内线性相关，否那么称y1(x)

5、与y2(x) 线性无关. 例如，例1中 是线性相关的， 是线性无关的.xxxyxye2)(e)(21与xxxyxxye)(e)(13与定理6.2 假设函数y1(x) 与y2(x)是二阶常系数线性齐次微分方程(3)的两个线性无关的特解，那么),( )()(212211为任意常数CCxyCxyCy就是方程(3)的通解,其中C1, C2为两个恣意常数. 02 e)(e)( 221的解，并写出它的通解都是微分方程与验证yyyxyxyxx，及分别求导，得及对xxxxxxxyxyxyxyxyxy222211221e4)(,e2)( e)(,e)( e)(e)(，程左端，得把它们分别代入所给方0e2e2e4

6、 , 0e2ee 222xxxxxx.e)(e)(221都是原方程的解与故xxxyxy例2所给方程为二阶常系数线性齐次微分方程解常数，xxxxyxy3212eee)()( ，是线性无关的两个特解与xxxyxy221e)(e)( 212eexxyCC，由定理7.2可写出所给方程的通解为其中C1, C2为恣意常数.二、二阶常系数线性齐次微分方程的解法)( e为常数ryrx把 代入方程(3)，整理后得yyy及， 0)e(2，rxqprr，故得因0erx(5) 02，qprr称一元二次方程(5)为二阶常系数线性齐次微分方程(3)的特征方程.是方程(3)的解，特征方程(5)的根为.24 22, 1qpp

7、r，是两不相等的实根与24 ,24 , 04 (1)2221212qpprqpprrrq pxrxryy21ee21与于是都是方程(3)的解，且常数，xrrxrxryy)(121212eee即 线性无关.因此方程(3)的通解为xrxryy21ee21与(6) ).,( ee212121为任意常数CCCCyxrxr2 04)2(21212prrrrqp是两相等实根与时，当于是得到方程(3)的一个特解 ，须找出方程(3)的另一个特解y2，且xry1e1常数，12yy，设)(e12xuyxr，整理都得代入方程及，将)3(222yyy，0)()2(e12111uqprrupruxr，故得由于0e1xr

8、. 0)()2(1211uqprrupru02 0 )5(2 112121prqprrprr，的重根，是特征方程. 0 u于是前式成为取一个满足上式且不为常数的u(x),即可得到所求的y2,将上式积分两次,得12( ).u xC xC可取C1=1,C2=0,得u(x)=x,于是得方程(3)的另一个特解，xrxy1e2xrxryy21ee21与线性无关，方程(3)的通解为(7) ).,( e )( ee 212121111为任意常数即，CCxCCyxCCyxrxrxr，其中，是一对共轭复根与时，当024 ,2 i ,i 04 )3(221212pqprrrrqp e e i2i1xxyy与 ,s

9、inicosei是方程(3)的复数方式特解.利用欧拉公式.sinicoseee,sinicoseeei2i1xxyxxyxxxxxx: 21写为，将yyxyyyxyyyxxsinei 21cose21212211，再由定理6.1可知，函数也是方程(3)的解，且,tancosesine21常数xxxyyxx)8( .sincose21xCxCyx即 线性无关，故得微分方程(3)的通解为21yy 与其中C1, C2为恣意常数.求二阶常系数齐次线性微分方程(3)的通解步骤：1.写出特征方程，并求出特征方程的两个根；2 .根据两个特征根的不同情况，按照公式(6)、(7)或(8)写出微分方程的通解.可运

10、用下表:0qypyy02qprr两个不相等的实根21rr 特征方程:微分方程:两个相等的实根21rr 一对共轭复根)0(,21irxrxrCCy21ee21xrxCCy1e )(21) sin cos(e21xCxCyx的两个根r1,r2的通解例3 求微分方程 . 032的通解yyy，有不相等的实根3 , 1 21rr.ee 321xxCCy通解为，0322 rr 解 其特征方程为即 (r+1)(r3)=0,.2dd 1| 0dd4dd4 0022的特解，满足初值条件求微分方程tttssststs，有两个相同实根21 21 rr例4，特征方程为，原方程化为041 041 2rrsss解.e )( 221ttCCs故通解为，求导，得将上式对2222