最全余弦定理的10种证明方法

1、( 经典 ) 最全余弦定理的 10 种证明方法王彦文 青铜峡一中一、余弦定理余弦定理 : 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的积的两倍,即在 ABC中,已知AB c, BC a, CA b,则有a2 b2 c2 2bc cos A,222b c a 2ca cos B ,22 2c a b 2ab cos C .二、定理证明 为了叙述的方便与统一 , 我们证明以下问题即可 : 在 ABC 中,已知 AB c, AC b,及角 A,求证：a2 b2 c2 2bccosA.uuur uuur uuur证法一：如图1,在ABC中，由CB AB AC可得：uuur uu

2、ur uuur uuur uuur uuurCB CB (AB AC) (AB AC)uuur 2 uuur 2 uuur uuurAB AC 2 AB AC22b2 c2 2bccosA即, a2 b2 c2 2bccosA.证法二:本方法要注意对 A进行讨论.当 A是直角时，由b2 c2 2bccos A b2 c2 2bc cos90 b2 c2 a2知结论成立.当 A是锐角时，如图2-1,过点C作CD AB,交AB于点D,贝U在 Rt ACD 中，AD bcosA , CD bsi nA.从而, BD AB AD c bcosA.在Rt BCD中,由勾股定理可得：BC 2 BD2 CD

3、 222(c bcosA)2 (bsin A)222c 2cbcosA b即,a2 b2 c2 2bccosA.说明：图2-1中只对 B是锐角时符合,而 B还可以是直角或钝角.若 B是直角,图中的 点D就与点B重合；若 B是钝角,图中的点D就在AB的延长线上.(3)当 A是钝角时，如图2-2,过点C作CD AB,交BA延长线于点D ,贝U在 Rt ACD 中，AD bcos( A) bcosA, CD bsin( A) bsin A.从而,BD AB AD c bcosA.在Rt BCD中,由勾股定理可得：BC2 BD2 CD22 2(c bcosA) (bsi nA)2 2 c 2cb co

4、s A b即,a2 b2 c2 2bccosA.综上(1),(2),(3) 可知,均有 a2 b2 c2 2bccos A成立.证法三：过点A作AD BC,交BC于点D ,则在Rt ABD中,sinBDJcosADcc在Rt ACD中,sinCD,cosADb b由 cos A cos()coscossinsin 可得cos A ADADBDCDAD2BD CDcos Acbcbbc2 2 2 2 22AD22BD CD c2BD2b2CD22BD CD2bc2bc,2 2 2,2 2 2b c (BD CD) b c a2bc2bc整理可得 a2 b2 c2 2bc cos A.证法四：在

5、ABC中,由正弦定理可得sin A sin B sinC sin(A B)从而有 bsinA asin B ,csin A a si n(A B) a si nAcosB a cos Asi nB. 将带入,整理可得acosB c bcosA将, 平方相加可得 a2 2cos 2 A 2 2cos(B C)cos(B C) 4sin BsinC cosA由于 cos(B C) cos( A) cosA, 因此2cos2 A cos(B C)cos(B C) 2sin BsinCcosA (c bcosA)2 (bsin A)2 b2 c2 2bccosA.即, a2 b2 c2 2bccosA

6、.证法五:建立平面直角坐标系 (如图4), 则由题意可得点 A(0,0), B(c,0), C(bcosA,bsinA), 再由两点间距离公式可得 a2 (c bcosA)2 (bsin A)2 c2 2cbcosA b2.即, a2 b2 c2 2bccosA.证法六：在 ABC中,由正弦定理可得a 2Rsi nA,b 2Rsi nB,c 2Rsi nC.于是, a2 4R2sin2 A 4R2sin2(B C)2 2 2 2 24R (sin Bcos C cos Bsin C 2sin BsinCcosBcosC)2 2 2 2 24R (sin B sin C 2sin Bsin C

7、2sin BsinC cosBcosC)4R2(sin2B sin2C 2sin BsinCcos(B C)4R2(sin2 B sin2C 2sin BsinCcosA)22(2RsinB)2 (2RsinC)2 2(2RsinB)(2RsinB)cosA22b2 c2 2bccosA即, 结论成立 .证法七：在 ABC中,由正弦定理可得a 2Rsi nA,b 2Rsi nB,c 2Rsi nC.于是, a2 b2 c2 2bccosA2 2 2 2 2 2 24R2sin2 A 4R2sin2 B 4R2sin2C 8R2sin BsinCcosA2222sin 2 A 2sin2 B 2

8、sin2C 4sin BsinCcosA22sin2A 2 cos2B cos2C 4sin BsinCcosAcosA cos(B C) 2sin BsinCcosA cosBcosC sinBsinC cos(B C). 这,显然成立 . 即,结论成立.证法八：如图5,以点C为圆心,以CA b为半径作eC,直线BC与eC交于点D,E ,延长AB交eC于F ,延长AC交eC于G.则由作图过程知 AF 2bcosA ,故 BF 2b cosA c. 由相交弦定理可得 ： BA BF BD BE,即, c (2b cos A c) (b a) (b a),整理可得 ： a2 b2 c2 2bc cos A .证法九：如图6,过C作CD / AB,交 ABC的外接圆于D,则AD BC a, BD AC b.分别过C,D作AB的垂线，垂足分别为E,F,则AE BF bcosA,故CD c 2bcosA.由托勒密定理可得 AD BC AB CD AC BD ,即, a a c (c 2b cos A) b b.整理可得 ： a2 b2 c2 2bc cos A .证法十 ： 由图 7-1 和图 7