最全的圆锥曲线轨迹方程求法

1、圆锥曲线轨迹方程的解法目录一题多解3一.直接法5二相关点法9三几何法14四参数法16五交轨法19六定义法211 / 242 / 24亠题多解0Q,求所对弦的中点P设圆C: (X1) 2+y2=1,过原点0作圆的任意弦 的轨迹方程。一直接法设P (x,y), 0Q是圆C的一条弦，P是0Q的中点，贝U CP丄OQ, L0设0C 中点为 M ( -,0),则 |MP|=-|OC|=-，得(x - ) 2+y2=-(x 0)即点 P 的22224轨迹方程是(x 1) 2+y2 =- (0vx 1。24二定义法1丄！0PC=9O 丄动点P在以M (-,0 )为圆心，0C为直径的圆(除去原点20) 上 ,

2、 |0C|=1 ,故 P 点的轨迹方程为(x 1) 2+y2=l(0v x 1)24三相关点法设 P (x,y) ,Q(X1,y1),其中対工 0,x1=2x,y1=2y,而(X1 1) 2+y2=1丄(2c 1)2+2y2=1,又 X1M 0,1 2 2 1xm 0即(x ) 2+y2 = (Ovx 124四.参数法设动弦PQ的方程为y=kx,代入圆的方程(x 1) 2+kx2=1 ,即(1+k2) x2 2x=0, x-i x2.1 k3 / 24设点P (x,y),则xx1x2k (0，1，y kx rv消去 k得(x-丄)2+y2=l(0v x 124另解 设 0点(1+cosQsin

3、B),其中 cos片一1,P(x,y),1 cossin1、2 2 1 、 八则 X(0,1, y,消去 8得(x-) 2+/=(0vx (1,0)，求定点A的轨迹方程。7已知点A( 2,0)，P是圆O: x2寸4上任意一点，P在x轴上的射影x28已知椭圆一4为Q，QP 2QG，动点G的轨迹为C，求轨迹C的方程。1上任意一点P,由点P向x轴作垂线段PQ，垂足为Q，点M在PQ上，且PM 2MQ，点M的轨迹为C，求曲线C的方程。9. 如图，从双曲线C : x2 y21上一点Q引直线l : x y 2的垂线，垂足为N，求线段QN的中点P的轨迹方程。10. 已知双曲线x2 y2 2的左、右焦点分别为F

4、i、F2，过点F2的动直线与 双曲线相交于A、B两点。（I） 若动点M满足F1M F1A F1B F1O （其中O为坐标原点），求点M的 轨迹方程；（II） 在x轴上是否存在定点C，使CA CB为常数？若存在，求出点C的坐 标；若不存在，请说明理由。15 / 24三. 几何法求动点轨迹问题时，动点的几何特征与平面几何中的定理及有关平面几何知 识有着直接或间接的联系，且利用平面几何的知识得到包含已知量和动点坐标的 等式，化简后就可以得到动点的轨迹方程， 这种求轨迹方程的方程的方法称为几 何法。例题3已知定点A(2,0)，点P在曲线x2寸1 & 1)上运动，/ AOP的平分线 交于Q点，其中0为原

5、点，求点Q的轨迹方程。练习三1.如图，在正方体 ABCD-AiBiCiDi中，P是侧面BCi内一动点，若P到直AB线BC与直线CiDi的距离相等，求动点P的轨迹所在的曲线2已知点C的坐标是(2,2)，过点C的直线CA与X轴交于点A，过点C 且与直线CA垂直的直线CB与丫轴交于点B。设点M是线段AB的中点，求 点M的轨迹方程。3已知经过点P(4,0)的直线li，经过Q( 1,2)的直线为12，若I12，求li与12交点S的轨迹方程。4求圆心在抛物线y2 2x ( y 0 )上，并且与抛物线的准线及x轴都相切 的圆的方程。5已知双曲线中心在原点且一个焦点为 F (. 7 ,0)，直线y x 1与其

6、相交于2M、N两点，MN中点的横坐标为 -，求此双曲线方程。36已知动点P到定点F (1, 0)和直线x=3的距离之和等于4,求点P的轨 迹方程。四. 参数法有时候很难直接找出动点的横、纵坐标之间关系。如果借助中间量(参数)， 使(x,y)之间的关系建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，这便可得动点 的轨迹方程。例题4过不在坐标轴上的定点M(a,b)的动直线交两坐标轴于点 A、B，过A、B坐 标轴的垂线交于点P，求交点P的轨迹方程。i5 / 24练习四1过点P (2, 4)作两条互相垂直的直线h、I2，若li交x轴于A点，I2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程。27 / 242.个动

7、圆的解析式为x23.过圆O: x2 y2 4外一点A (4, 0),作圆的割线，求割线被圆截得的弦BC的中点M的轨迹。4.点 A(1,1)，B、C 是圆 x2y24上的动点，且AB丄AC,求BC中点P的轨迹方程。五. 交轨法求两条动曲线交点的轨迹方程时，可选择同一个参数及动点坐标 X、丫分别 表示两条曲线方程，然后联立消去参数便得到交点的轨迹方程， 这种方法称为交 轨法。例5已知直线I过定点（0,3），且是曲线y24x的动弦P1P2的中垂线，求直线I与动弦P1P2交点M的轨迹方程。练习五1.求两条直线x my 10与mx y 10的交点的轨迹方程。2.当参数m随意变化时，求抛物线y x22m

8、1 x m21的顶点的轨迹方程。2 23.设A1、A2是椭圆 y 1的长轴两个端点，Pl、P2是垂直于A1A2的94弦的端点。求直线AiPi与A2P2交点的轨迹方程。4已知双曲线X2m22 y2 n=1 (m 0, n0)的顶点为Ai、A2,与y轴平行的直线l交双曲线于点P、Q。求直线AiP与A2Q交点M的轨迹方程。2有点Q在OP上，且满足OQOP| |OR，当P在L上移动时，求点 Q的轨迹方程，并说 明轨迹是什么曲线。六. 定义法求轨迹方程时，若动点轨迹的条件满足某种已知曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可以直接根据定义求出动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫定义法。常见已知曲线：

9、（1）圆：到定点的距离等于定长（2）椭圆：至俩定点的距离之和为常数（大于两定点的距离）（3）双曲线：至俩定点距离之差的绝对值为常数（小于两定点的距离）（4）抛物线：到定点与定直线距离相等。例题61设圆x2 y2 2x 15 0的圆心为A，直线I过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C、D两点，过B作AC的平行线交AD于点E。证明| EA | EB为定 值，并写出点E的轨迹方程。2已知 ABC的顶点A , B的坐标分别为(4,0) , (4,0) , C为动点，且满足sin B si nA 5 si nC。求点C的轨迹。4练习六1.已知圆M : (x 1)2y21，圆N: (x 1)2 y29，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C。求C的方程。2.动点P到直线x 6的距离与它到点(2，1)的距离之比为、.5,则点P的 轨迹是什么？3.点M到点F (4, 0)的距离比它到直线x 5 0的距离小1。求点M的轨 迹方程。4已知 ABC中,构成等差数列，且a5.动圆过点F（ 迹方程。A、 B、 C的对边分别为a、b、c,若a,c,b依次c b， AB 2，求顶点C的轨迹方程。3,0）且与已知圆（x 3）2 y24相切，求动圆圆心P的轨6.设向量i, j为直角坐标系的x