JA4-2-线性方程组迭代

1、4.2 线性方程组的迭代解2.1 Jacobi迭代法算法：推荐精选2.2 迭代的收敛条件推荐精选 1. 向量的范数推荐精选推荐精选 2. 矩阵的范数推荐精选推荐精选推荐精选本段一开始的例题法1中出现的M不满足定理4.5，而法2中出现的M满足定理条件. restart; with(linalg):Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected Jacobi:=proc(A,b,x0,m) local n,x,X0,a1,a2,k,i,j; n:=vectdim(col(A,1); X0

2、:=x0; x:=vector(0,0,0,0); for k from 1 to m do for i from 1 to n do a1:=0;a2:=0; for j by 1 from 1 to i-1 do a1:=a1+Ai,j*X0j; end do; for j by 1 from i+1 to n do a2:=a2+Ai,j*X0j; end do; xi:=(bi-a1-a2)/Ai,i; end do; X0:=x; print(map(evalf,x); end do; end: A:=matrix(4,4,5,-1,-1,-1,-1,10,-1,-1,-1,-1,5

3、,-1,-1,-1,-1,10): b:=vector(-4,12,8,34): x0:=vector(0,0,0,0): Jacobi(A,b,x0,6);推荐精选精确结果为（1，2，3，4）。2.3 Gauss-Seidel迭代法在Jacobi迭代法中，有一个明显的特点，就是每次迭代右端的变量的值全部用前一次迭代值来代换，所以Jacobi迭代，又称为同步迭代法.可以设想，如果迭代序列收敛，则将迭代格式（3）中第一个方程计算出来的 关于Gauss-Seidel迭代法的收敛结论，除了用定理4.4与4.5外，还可由方程组的系数矩阵的某些特征来判断迭代是不收敛：（1）若A为严格对角占优矩阵（各行非

4、对角元绝对值之和小于对角元绝对值的矩阵），则，且Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法都收敛.（2）对A为对称正定阵，则且Gauss-Seidel迭代法收敛.（Jacobi?）推荐精选需进一步说明，某些方程对于Jacobi迭代收敛，而对Gauss-Seidel迭代不收敛，而某些对于Gauss-Seidel收敛，但用Jacobi迭代却不收敛，但，对待实际问题可用上述两个结论加以判断，或交换方程的次序使迭代法收敛. restart; with(linalg): GaussSeidel:=proc(A,b,x0,m) local n,x,X0,a1,a2,k,i,j; n:=vectdi

5、m(col(A,1); X0:=x0; x:=vector(0,0,0,0); for k from 1 to m do for i from 1 to n do a1:=0;a2:=0; for j by 1 from 1 to i-1 do a1:=a1+Ai,j*xj; end do; for j by 1 from i+1 to n do a2:=a2+Ai,j*X0j; end do; xi:=(bi-a1-a2)/Ai,i; end do; X0:=x; print(k);print(map(evalf,x); end do; end: A:=matrix(4,4,5,-1,-1,

6、-1,-1,10,-1,-1,-1,-1,5,-1,-1,-1,-1,10): b:=vector(-4,12,8,34): x0:=vector(0,0,0,0): GaussSeidel(A,b,x0,6);推荐精选精确结果为（1，2，3，4）。2.4 逐次超超松弛迭代法逐次超松驰迭代法是Gauss-Seidel迭代法的一种加速方法，是解大型稀疏矩阵方程组的有效方法之一，它具有计算公式简单，程序设计容易，占用计算机内存比较少之优点，但需要选择好的加速因子（即最佳松弛因子）.现将迭代法（5）改写成推荐精选 restart; with(linalg):Warning, the protecte

7、d names norm and trace have been redefined and unprotected SOR:=proc(A,b,x0,m) local w,n,x,X0,a1,a2,k,i,j; w:=1.2; n:=vectdim(col(A,1); X0:=x0; x:=vector(0,0,0,0); for k from 1 to m do for i from 1 to n do a1:=0;a2:=0; for j by 1 from 1 to i-1 do a1:=a1+Ai,j*xj; end do; for j by 1 from i+1 to n do a2:=a2+Ai,j*X0j; end do; xi:=(1-w)*X0i+w(bi-a1-a2)/Ai,i; end do;推荐精选 X0:=x; print(map(evalf,x); end do; end: A:=matrix(4,4,5,-1,-1,-1,-1,10,-1