极限的解法与技巧-汇总

1、推荐精选极限的求法与技巧极限的求法与技巧极限是解决数学问题的一种有效的工具。以下列举种方法，并附有极限是解决数学问题的一种有效的工具。以下列举种方法，并附有例题。例题。1.1.运用极限的定义运用极限的定义例：用极限定义证明例：用极限定义证明: :1223lim22xxxx证证: : 由由244122322xxxxxx2222xxx取取 则当则当 时时, ,就有就有020 x 12232xxx由函数极限由函数极限定义有定义有: :1223lim22xxxx2.2.利用单调有界准则求极限利用单调有界准则求极限预备知识：若数列预备知识：若数列收敛，则收敛，则为有界数列，即存在正数为有界数列，即存在正

2、数， na naM使得对一切正整数使得对一切正整数 ，有，有 . .nMan此方法的解题程序为：此方法的解题程序为：1 1、直接对通项进行分析或用数学归纳验证数列、直接对通项进行分析或用数学归纳验证数列单调有界；单调有界； na2 2、设、设的极限存在，记为的极限存在，记为代入给定的表达式中，则该代入给定的表达式中，则该 naAannlim式变为式变为的代数方程，解之即得该数列的极限。的代数方程，解之即得该数列的极限。A例：若序列例：若序列的项满足的项满足且且 na)0(1aaa), 2 , 1( ,211naaaannn推荐精选, ,试证试证有极限并求此极限。有极限并求此极限。 na解解 由

3、由 aa 1 aaaaaaaaaaa12112111222121用数学归纳法证明用数学归纳法证明 需注意需注意aak . .aaaaaaaaaaakkkkkkk2222121又又 022121nnnnnnaaaaaaaa 为单调减函数且有下界。为单调减函数且有下界。 na令其极限为令其极限为A由由 有：有：nnnaaaa211 nnnnaaaa21lim1即即 AaAA21 aA 2 aA )0(A从而从而 . .aannlim3.3.利用等价无穷小替换利用等价无穷小替换常用的等价无穷小关系：常用的等价无穷小关系：,arctanarcsin,tan,sin,0 xxxxxxxxx ,1xex

4、,ln1axax ,ln)1(logaxxa ,111xnxn 推荐精选等价无穷小代换法等价无穷小代换法 设设 都是同一极限过程中的无穷小量，且有：都是同一极限过程中的无穷小量，且有：, ， 存在，存在，,lim则则 也存在，且有也存在，且有= = limlimlim例例: :求极限求极限 2220sincos1limxxxx 解解: : ,sin22xx2)(cos1222xx= =2220sincos1limxxxx212)(2222xxx注：注： 在利用等价无穷小做代换时，一般只在以乘积形式出现时在利用等价无穷小做代换时，一般只在以乘积形式出现时可以互换，若以和、差出现时，不要轻易代换，

5、因为此时经过代换可以互换，若以和、差出现时，不要轻易代换，因为此时经过代换后，往往改变了它的无穷小量之比的后，往往改变了它的无穷小量之比的“阶数阶数”4 4利用极限的四则运算法则利用极限的四则运算法则 极限的四则运算法则叙述如下：极限的四则运算法则叙述如下：若若 Axfxx)(lim0Bxgxx)(lim0(I)(I) )()(lim0 xgxfxx)(lim0 xfxxBAxgxx)(lim0(II)(II)BAxgxfxgxfxxxxxx)(lim)(lim)()(lim000(III)(III)若若 B0B0 则：则： BAxgxfxgxfxxxxxx)(lim)(lim)()(lim0

6、00,)1ln(xx ,2111xx ,1)1(xx 推荐精选（IVIV） （c c 为常数）为常数）cAxfcxfcxxxx)(lim)(lim00上述性质对于上述性质对于时也同样成立xxx, 总的说来，就是函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、总的说来，就是函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。差、积、商。例：求例：求 453lim22xxxx解解: : = =453lim22xxxx2542523225 5、利用两个重要的极限。、利用两个重要的极限。 1sinlim)(0 xxAxexBxx)11 (lim)(但我们经常使用的是它们的变形：但我们经常使用的是它们的

7、变形：)( ,)(11lim()()0)( , 1)()(sinlim)()(xexBxxxAx例：求下列函数极限例：求下列函数极限 xaxx1lim) 1 (0、bxaxxcoslncoslnlim)2(0、 )1ln(ln1 ln)1ln( ,11 uauxaauxuaxx于是则）令解：（auauuauauxauxuuuuxxln)1ln(lnlim)1ln(lnlim)1ln(lnlim1lim00 10000故有：时，又当)1(cos1ln)1(cos1ln(lim)2(0bxaxx、原式推荐精选1cos1cos1cos)1(cos1ln1cos)1(cos1ln(lim0axbxbx

8、bxaxaxx1cos1coslim0axbxx222222220220)2()2()2(2sin)2(2sinlim2sin22sin2limabxaxbxbxbxaxaxbxxx6.6.利用重要公式求极限或转化为函数的极限利用重要公式求极限或转化为函数的极限此方法必须在牢记重要极限的形式和其值的基础上，对所求式子此方法必须在牢记重要极限的形式和其值的基础上，对所求式子作适当变形，从而达到求其极限的目的，这种方法灵活，有相当的作适当变形，从而达到求其极限的目的，这种方法灵活，有相当的技巧性。技巧性。例：求例：求 . .nnnnnn1sin1lim1解解 nnnnnn1sin1lim1 = =

9、nnnnnn11sin1lim1 = =nnnnn11sin11lim1 = =nnnnnn11sin1111lim = =11e = =e推荐精选例：求极限例：求极限 . .axaxax1sinsinlim解解 axaxax1sinsinlim = =axaxaax1sinsinsin1lim = =aaaaaxaxaaxaxsincoscossin1sin2sin2cos21lim = =aaaxaaaxaaxasincos)(cossinsin2sincos21lim = =ctgaaxaaaxaaxa)(cossinsin2sincos21lim = = ctgae22sinaxax7

10、 7、利用无穷小量与无穷大量的关系。、利用无穷小量与无穷大量的关系。 （I I）若：）若： 则则 )(limxf0)(1limxf(II)(II) 若若: : 且且 f(x)0f(x)0 则则 0)(limxf)(1limxf例例: : 求下列极限求下列极限 51limxx11lim1xx解解: : 由由 故故 )5(lim xx051limxx推荐精选由由 故故 = =0) 1(lim1xx11lim1xx8.8. 变量替换变量替换例例 求极限求极限 . . 分析分析 当当 时时, ,分子、分母都趋于分子、分母都趋于 , ,不能直接应用法则不能直接应用法则, ,注意到注意到 , ,故可作变量

11、替换故可作变量替换. . 解解 原式原式 = = = = ( (令令 , ,引进新的变量引进新的变量, ,将原来的关将原来的关于于 的极限转化为的极限转化为 的极限的极限.).) = = . . ( ( 型型, ,最高次幂在分母上最高次幂在分母上) ) 9.9. 分段函数的极限分段函数的极限例例 设设 讨论讨论 在点在点 处的极限是否存在处的极限是否存在. . 分析分析 所给函数是分段函数所给函数是分段函数, , 是分段点是分段点, , 要知要知 是否是否存在存在, ,必须从极限存在的充要条件入手必须从极限存在的充要条件入手. . 解解 因为因为 推荐精选 所以所以 不存在不存在. . 注注

12、1 1 因为因为 从从 的左边趋于的左边趋于 , ,则则 , ,故故 . . 注注 2 2 因为因为 从从 的右边趋于的右边趋于 , ,则则 , ,故故 . .1010、利用函数的连续性（适用于求函数在连续点处的极限）、利用函数的连续性（适用于求函数在连续点处的极限） 。)()(lim)(lim)()(lim)()()()(lim)()(000000afxfxfauufaxxfiixfxfxxxfixxxxxxxx处连续，则在且是复合函数，又若处连续，则在若例：求下列函数的极限例：求下列函数的极限 （2 2） )1ln(15coslim) 1 (20 xxxexx、xxx)1ln(lim0 1

13、ln)1 (limln()1ln(lim)1ln(lim)1 ()1ln()1ln()2(6)0()1ln(15coslim)1ln(15cos)(01010011202exxxxxxxxxfxxxexxxexfxxxxxxxxxxx故有：令、由有：故由函数的连续性定义的定义域之内。属于初等函数解：由于1111、洛必达法则（适用于未定式极限）、洛必达法则（适用于未定式极限）定理：若定理：若推荐精选AxgxfxgxfAAxgxfiiixgxuxgfiixgxfixxxxxxxxxx)()(lim)()(lim()()(lim)(0)()()(0)(lim, 0)(lim)(00000000），则

14、或可为实数，也可为内可导，且的某空心邻域在与此定理是对此定理是对型而言，对于函数极限的其它类型，均有类似的型而言，对于函数极限的其它类型，均有类似的00法则。法则。注：运用洛必达法则求极限应注意以下几点：注：运用洛必达法则求极限应注意以下几点：1、要注意条件，也就是说，在没有化为要注意条件，也就是说，在没有化为时不可求导。时不可求导。,002、应用洛必达法则，要分别的求分子、分母的导数，而不是应用洛必达法则，要分别的求分子、分母的导数，而不是求整个分式的导数。求整个分式的导数。3、要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是否仍要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是否仍是未定式，若遇

15、到不是未定式，应立即停止使用洛必达法则，是未定式，若遇到不是未定式，应立即停止使用洛必达法则，否则会引起错误。否则会引起错误。4 4、当、当 不存在时，本法则失效，但并不是说极限不存在，不存在时，本法则失效，但并不是说极限不存在，)()(limxgxfax此时求极限须用另外方法。此时求极限须用另外方法。例：例： 求下列函数的极限求下列函数的极限 )1ln()21 (lim2210 xxexx)0, 0(lnlimxaxxax解：解：令令 f(x)=f(x)= , , g(x)=g(x)= l l21)21 (xex)1n(2x, , 21)21 ()(xexfx212)(xxxg22223)1

16、 ()1 (2)(,)21 ()(xxxgxexfx由于由于0)0()0(, 0)0()0(ggff推荐精选但但2)0(, 2)0(gf从而运用洛必达法则两次后得到从而运用洛必达法则两次后得到122)1 ()1 (2)21 (lim12)21 (lim)1ln()21 (lim22223022102210 xxxexxxexxexxxxxx 由由 故此例属于故此例属于型，由洛必达法则型，由洛必达法则axxxxlim,lnlim有：有：)0, 0(01lim1limlnlim1xaaxaxxxxaxaxax= = 222220sincossinlimxxxxxx21注注: :此法采用洛必达法则配

17、合使用两个重要极限法。此法采用洛必达法则配合使用两个重要极限法。 解法二解法二: = =2220sincos1limxxxx21222sinsin122sinlimsin2sin2lim222222022220 xxxxxxxxxxx注：此解法利用注：此解法利用“三角和差化积法三角和差化积法”配合使用两个重要极限法。配合使用两个重要极限法。 解法三解法三:21sin42lim4sin2limcos1limsincos1lim22032022202220 xxxxxxxxxxxxxxxxx注注: :此解法利用了两个重要极限法配合使用无穷小代换法以及洛此解法利用了两个重要极限法配合使用无穷小代换法

18、以及洛必达法则必达法则推荐精选 解法四解法四:21sin2)(limsincos1limsincos1lim224220224202220 xxxxxxxxxxxxxx注注: :此解法利用了无穷小代换法配合使用两个重要极限的方法。此解法利用了无穷小代换法配合使用两个重要极限的方法。 解法五解法五:2121lim)()2(2limsin2sin2limsincos1lim44022220222202220 xxxxxxxxxxxxxxx注注: :此解法利用此解法利用“三角和差化积法三角和差化积法”配合使用无穷小代换法。配合使用无穷小代换法。 解法六解法六 ：令令2xu 21sincoscosco

19、slimcossinsinlimsincos1limsincos1lim0002220uuuuuuuuuuuuxxxuuux注：此解法利用变量代换法配合使用洛必达法则。注：此解法利用变量代换法配合使用洛必达法则。 解法七解法七:2111limsincossinlimsincos1lim220222202220tgxxxxxxxxxxxx注注: :此解法利用了洛必达法则配合使用两个重要极限。此解法利用了洛必达法则配合使用两个重要极限。1212、 利用函数极限的存在性定理（夹逼准则）利用函数极限的存在性定理（夹逼准则） 定理定理: : 设在设在的某空心邻域内恒有的某空心邻域内恒有 g(x)f(x)

20、h(x)g(x)f(x)h(x) 且有且有: :0 x Axhxgxxxx)(lim)(lim00推荐精选 则极限则极限 存在存在, , 且有且有)(lim0 xfxx Axfxx)(lim0例例: : 求求 (a1,n0)(a1,n0)xnxaxlim解解: : 当当 x1x1 时时, ,存在唯一的正整数存在唯一的正整数 k,k,使使 k k xk+1xk+1于是当于是当 n0n0 时有时有: : knxnakax) 1( 及及 aakakaxknknxn11又又 当当 x x时时,k,k 有有 knkak) 1(lim00) 1(lim1aaakknk及及 1limknkak0101lim

21、aaakknk=0=0 xnxaxlim1313、用左右极限与极限关系、用左右极限与极限关系( (适用于分段函数求分段点处的极限，以适用于分段函数求分段点处的极限，以及用定义求极限等情形及用定义求极限等情形) )。定理：函数极限定理：函数极限存在且等于存在且等于 A A 的充分必要条件是左极限的充分必要条件是左极限)(lim0 xfxx及右极限及右极限都存在且都等于都存在且都等于 A A。即有：。即有：)(lim0 xfxx)(lim0 xfxx= =A=AAxfxx)(lim0)(lim0 xfxx)(lim0 xfxx推荐精选例：设例：设= = 求求及及)(xf1,10 ,0,212xxx

22、xxxxex)(lim0 xfx)(lim1xfx1) 1(lim)(lim)(lim1)21 (lim)(lim00000 xxxxxfexfxxxxxx解：由由1)(lim)(lim00 xfxfxx1)(lim0 xfx不存在由（又)(lim)01 ()01 (1lim)(lim0) 1limlim)(lim1211111xfffxxfxxxxxfxxxxxx1414、约去零因式（此法适用于、约去零因式（此法适用于）型时00,0 xx 例例: : 求求121672016lim23232xxxxxxx解解: :原式原式= =)12102(65)2062(103lim2232232xxxxx

23、xxxxxx = = )65)(2()103)(2(lim222xxxxxxx= = =)65()103(lim222xxxxx)3)(2()2)(5(lim2xxxxx= =2limx735xx1515、利用化简来求极限、利用化简来求极限( (分子有理化、分母有理化、分解、恒等变形分子有理化、分母有理化、分解、恒等变形) )比如比如 求求2132lim2xxxx推荐精选此题要用到两个知识点此题要用到两个知识点将分子有理化将分子有理化分母分解因式分母分解因式解：解：= =2132lim2xxxx1(32)(32)lim(1)(2)(32)xxxxxx111lim12(2)(32)xxx通分法（

24、适用于通分法（适用于型）型）1616、利用泰勒公式、利用泰勒公式对于求某些不定式的极限来说，应用泰勒公式比使用洛必达法则对于求某些不定式的极限来说，应用泰勒公式比使用洛必达法则更为方便，下列为常用的展开式：更为方便，下列为常用的展开式：1 1、)(! 212nnxxonxxxe2 2、)()!12() 1(! 5! 3sin212153nnnxonxxxxx3 3、)()!2() 1(! 4! 21cos12242nnnxonxxxx4 4、)() 1(2)1ln(12nnnxonxxxx5 5、)(!) 1() 1(! 2) 1(1)1 (2nnxoxnnxxx6 6、)(xx1 112nn

25、xoxx上述展开式中的符号上述展开式中的符号都有都有: :)(nxo0)(lim0nnxxxo例例: :求求)0(2lim0axxaxax解解: :利用泰勒公式，当利用泰勒公式，当 有有0 x)(211xoxx推荐精选于是于是 xxaxax2lim0= =xaxaxax)121(lim0= =xxoaxxoaxax)(211)()2(211lim0= =axxoxaxxoaxaxx21)(21lim)(2lim001717、利用拉格朗日中值定理、利用拉格朗日中值定理定理定理: :若函数若函数 f f 满足如下条件：满足如下条件： (I)(I) f f 在闭区间上连续在闭区间上连续 (II)f(

26、II)f 在在(a(a ,b),b)内可导内可导则在则在(a(a ,b),b)内至少存在一点内至少存在一点 , ,使得使得abafbff)()()(此式变形可为此式变形可为: : ) 10( )()()(abafabafbf例例: : 求求 xxeexxxsinlimsin0解解: :令令 对它应用中值定理得对它应用中值定理得xexf)(即即: : ) 1(0 )sin(sin)sin()(sin)(sinxxxfxxxfxfeexx1)(0 )sin(sinsinsinxxxfxxeexx连续连续xexf)(1)0()sin(sinlim0fxxxfx推荐精选从而有从而有: : 1sinli

27、msin0 xxeexxx18.18.利用定积分和积分中值定理求极限利用定积分和积分中值定理求极限比如设比如设= =，求，求nx(1)(2)()nnnnn(1,2,)n limnnx解因为解因为11lnln(1)nniixnn所以所以= =11limlimln(1)nnnniixnn10ln(1)2ln2 1x dx1919、求代数函数的极限方法、求代数函数的极限方法(1)(1)有理式的情况，即若有理式的情况，即若: :)0, 0(a )()()(00110110bbxbxbaxaxaxQxPxRnnnmmm(I)(I)当当时，有时，有 x nm nm 0 lim)()(lim00110110

28、nmbabxbxbaxaxaxQxPnnnmmmxx(II)(II)当当 时有时有: :0 x若若 则则 0)(0 xQ)()()()(lim000 xQxPxQxPx若若 而而 则则0)(0 xQ0)(0 xP)()(lim0 xQxPx若若, , ,则分别考虑若则分别考虑若为为的的 s s 重根重根, ,即即: :0)(0 xQ0)(0 xP0 x0)(xP 也为也为的的 r r 重根重根, ,即即: :)()()(10 xPxxxPs0)(xQ 可得结论如下：可得结论如下：)()()(10 xQxxxQr推荐精选rs , rs , )()(Prs , 0)()()(lim)()(lim0

29、10111000 xQxxQxPxxxQxPrsxxxx例：求下列函数的极限例：求下列函数的极限 503020) 12()23()32(limxxxx3423lim431xxxxx 解解: : 分子，分母的最高次方相同，故分子，分母的最高次方相同，故 = = 503020) 12()23()32(limxxxx30503020)23(232 0) 1 (, 23)(3PxxxP 0) 1 (, 34)(4QxxxQ必含有（必含有（x-1x-1）之因子，即有）之因子，即有 1 1 的重根的重根 故有故有: :)(),(xQxP21322lim)32() 1()2() 1(lim3423lim212221431xxxxxxxxxxxxxxx(2)(2)无理式的情况。虽然无理式情况不同于有理式，但求极限方无理式的情况。虽然无理式情况不同于有理式，但求极限方法完全类同，这里就不再一一详述法完全类同，这里就不再一一详述. .在这里我主要举例说明有理化的在这里我主要举例说明有理化的方法求极限。方法求极限。 例：求例：求)(limxxxxx解解: : )(limxxxxx推荐精选 21111111limlimlim3xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx20.2