高等数学电子课件同济第六版05第一章第5节极限运算法则

1、1极限运算法则第五节一、极限运算法则一、极限运算法则二、复合函数的极限运算法则二、复合函数的极限运算法则三、求极限方法举例三、求极限方法举例四、小结四、小结2一、极限运算法则定理定理. 0,)()(lim)3(;)()(lim)2(;)()(lim)1(,)(lim,)(lim bbaxgxfbaxgxfbaxgxfbxgaxf其中其中则则设设证证.)(lim,)(limbxgaxf . 0, 0.)(,)( 其中其中bxgaxf由无穷小运算法则由无穷小运算法则,得得)2(仅证仅证3)()()(baxgxf abba )( )(ba. 0.)2(成立成立推论推论1 1).(lim)(lim,)

2、(limxfcxcfcxf 则则为常数为常数而而存在存在如果如果推论推论2 2.)(lim)(lim,)(limnnxfxfnxf 则则是正整数是正整数而而存在存在如果如果推论推论3 3,)(lim,)(limbxgaxf设设且,)()(xgxf则.ba ，利用保号定理。，利用保号定理。作作)()()(xgxfx 提提示示：4. .二、复合函数的极限运算法则二、复合函数的极限运算法则,)(lim0axxx 设设且对满足xxx的的100 ,)(ax ,)(limaufau又又 )(lim0 xfxx ,)(limaufau则有：则有：证证要证要证时，时，使得当使得当 00, 0, 0 xx.)(

3、)( aufaxf恒有恒有,0时时当当 au,)(limaufau, 0 , 0 存在存在,)( auf恒有恒有5,)(lim0axxx 又又, 0 对上面的对上面的,02时，时，当当200 xx恒有恒有;)( ax,min21 取取时，时，则当则当 00 xxax )(0 恒有恒有, au故af )(xauf)(,0lim ( )xxfx即,)(limaufau6三、求极限方法举例例例1 1.531lim232 xxxx求求解解)53(lim22 xxx5lim3limlim2222 xxxxx5limlim3)lim(2222 xxxxx52322 , 03 531lim232 xxxx)

4、53(lim1limlim22232 xxxxxx.37 3123 7则有则有且且设设, 0)(,)()()(0 xqxqxpxf)(lim)(lim)(lim000 xqxpxfxxxxxx )()(00 xqxp ).(0 xf .,0)(0则则商商的的法法则则不不能能应应用用若若 xq一般：一般：8解解)32(lim21 xxx, 0 商的法则不能用商的法则不能用)14(lim1 xx又又, 03 1432lim21 xxxx. 030 由无穷小与无穷大的关系由无穷小与无穷大的关系,得得例例2 2.3214lim21 xxxx求求.3214lim21 xxxx9解解例例3 3.321li

5、m221 xxxx求求.,1分母的极限都是零分母的极限都是零分子分子时时x.1后再求极限后再求极限因子因子先约去不为零的无穷小先约去不为零的无穷小 x)1)(3()1)(1(lim321lim1221 xxxxxxxxx31lim1 xxx.21 )00(型型(消去零因子法消去零因子法)10例例4 4.147532lim2323 xxxxx求求解解.,分母的极限都是无穷大分母的极限都是无穷大分子分子时时 x)(型型 .,3再求极限再求极限分出无穷小分出无穷小去除分子分母去除分子分母先用先用x332323147532lim147532limxxxxxxxxxx .72 (无穷小因子分出法无穷小因

6、子分出法)11小结小结: :为非负整数时有为非负整数时有和和当当nmba, 0, 000 , 0,lim00110110mnmnmnbabxbxbaxaxannnmmmx当当当当当当12例例5 5).21(lim222nnnnn 求求解解是无穷小之和是无穷小之和时时, n222221lim)21(limnnnnnnnn 2)1(21limnnnn )11(21limnn .21 先变形再求极限先变形再求极限.13例例6 6.sinlimxxx 求求解解,1,为无穷小为无穷小时时当当xx .sin 是有界函数是有界函数而而x. 0sinlim xxxxxysin 14例例7 7).(lim,0,

7、 10,1)(02xfxxxxxfx 求求设设yox1xy 112 xy解解两个单侧极限为两个单侧极限为是函数的分段点是函数的分段点,0 x)1(lim)(lim00 xxfxx , 1 )1(lim)(lim200 xxfxx, 1 左右极限存在且相等左右极限存在且相等,. 1)(lim0 xfx故故15例例8 8)1(lim2xxxx求求解法解法 1 :原式=xxxx12lim11112xxlim21解法解法 2 :,1xt 令令 0t则原式=tttt1111lim2022011limttt111lim20tt21169例例3301111xxxxxlim21213231232011111)

8、()()()()(limxxxxxx2317例例1010使下式成立和试确定常数ba0)1(lim236baxxx解解 因为 )1(lim236baxxx)1(lim2362bxaxxx所以所以 0)1(lim236bxaxx)1(lim236bxxax1)1(lim236axxbx)1(lim236xxx43623261)1 (1limxxxxx018四、小结1.极限的四则运算法则及其推论极限的四则运算法则及其推论;2.极限求法极限求法;a.多项式与分式函数代入法求极限多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限无穷小因子分出法求极限;d.

9、利用无穷小运算性质求极限利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限利用左右极限求分段函数极限.19作业作业4951p习题. 3)3 , 1 (2),14,11,10, 9 , 8 , 6 , 5 , 4( 120思考题思考题 在某个过程中，若在某个过程中，若 有极限，有极限， 无极限，那么无极限，那么 是否有极限？为是否有极限？为什么？什么？)(xf)(xg)()(xgxf 21思考题解答思考题解答没有极限没有极限假设假设 有极限，有极限，)()(xgxf )(xf有极限，有极限，由极限运算法则可知：由极限运算法则可知：)()()()(xfxgxfxg必有极限，必有极限，与已知矛

10、盾，与已知矛盾，故假设错误故假设错误22._1sinlim520 xxx、._33lim132 xxx、一、填空题一、填空题:._11lim231 xxx、._)112)(11(lim32 xxxx、._5)3)(2)(1(lim43 nnnnn、._coslim6 xxxeex、练练 习习 题题23._2324lim72240 xxxxxx、._)12()23()32(lim8503020 xxxx、二、求下列各极限二、求下列各极限:)21.41211(lim1nn 、hxhxh220)(lim2 、)1311(lim331xxx 、2438231lim4xxx 、)(lim5xxxxx 、1412lim6 xxx、2lim71 nmnmxxxxx、25一一、1