2019年普通高等学校招生全国统一考试1

1、2019年普通高等学校招生全国统一考试1数 学(理科 )一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 设集合Ax | 1x3， Bx | log2x1 ，则下列运算正确的是（）AAIBAB A U BACAIBD A U BR2 如图所示是一个长方形，其内部阴影部分为两个半圆，在此圆形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A 3B 3C1 3D1 38168163已知条件p ： xx1）2 1 2x 0 ，条件 q ：0 ，则 p 是 q 成立的（x1A充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件4已知数列 an

2、 是公比为 q 的等比数列，且a1 ， a3 ， a2 成等差数列，则公比 q 的值为（）1B 211AC 1或D 1或2225若 ( x2 y)6 的展开式中的二项式系数和为S ， x2 y4 的系数为 P ，则 P 为（）A 15B15SC 120D240246如果一个几何体的三视图如图所示（单位长度：cm ），在此几何体的表面积是（）A (2042)cm 2B 21cm2C (2442)cm 2D 24cm 27已知函数f ( x) 是定义在 R 内的奇函数，且f ( x1) 是偶函数，若 f ( 1)2 ，则 f (2017) 为（）A 1B 1C 2D 28 如图是一个算法的流程图，

3、则输出S 的值是（）A 15B 31C 63D 1279 设函数 f ( x)2cos( x ) 对任意的 xR ，都有 f (x) f (x) ，若函数33g (x)3 sin(x)cos(x) 2 ，则 g() 的值是（）3A 2B 0C 2或4D1或310若 0 c1 ， ab1，则下列不等式成立的是（）A cacbB acbcCac bbD log a clog b cac11抛物线 x24 y 的焦点为 F ，过 F 作斜率为3的直线 l 与抛物线在 y 轴右侧的部分相交于点A ，过3点 A 作抛物线准线的垂线，垂足为H ，则AHF 的面积是（）A 4B3 3C4 3D 812已知递

4、增数列 an 对任意 nN *均满足 anN * ， aan3n，记 bn a2 3n 1 （ n N *），则数列 bn 的前 n 项和等于（）A 2nnB 2n 1 1C 3n 13nD 3n 1322二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分uuur(1,uuuruuur(m, n) ，则 m n13已知向量 AB4)， BD(2,1) ， ADy2 x20,14设实数 x, y 满足 xy20,则 xy2 的取值范围是x20,x 315已知x2y21(a0, b0) 的一个焦点， O 为坐标原点， M 是双曲线 C 上一点，F是双曲线 C ：b2a2若MOF 是等边三角形，则双曲线C

5、的离心率等于16如图， 在三棱锥 ABCD 中， BC DCABAD2 ， BD 2，平面 ABD平面 BCD ，O为 BD 的中点， P ， Q 分别为线段 AO ， BC 上的动点 （不含端点），且 APCQ ，则三棱锥 PQCO 体积的最大值为三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17 已知在ABC 中， A, B, C 所对的边分别为a,b, c ，且有 a cos Bb cos A2c cosC0 （ 1 ）求角 C 的大小；（ 2 ）当 c 2 时，求 S ABC 的最大值18 如图，底面 ABCD 是边长为3 的正方形， DE平面 ABCD， AF DE ，DE3AF

6、 ， BE 与平面 ABCD 所成角为 60o （ 1 ）求证： AC 平面 BDE ；（ 2 ）求二面角 F BE D 的余弦值19 为了解学生对“两个一百年”奋斗目标、实现中华民族伟大复兴中国梦的“关注度”（单位：天），某中学团委组织学生在十字路口采用随机抽样的方法抽取了80 名青年学生（其中男女人数各占一半）进行问卷调查， 并进行了统计， 按男女分为两组，再将每组青年学生的月“关注度” 分为 6 组： 0,5) ，5,10) ，10,15) ， 15,20) ， 20,25) ， 25,30 ，得到如图所示的频率分布直方图（ 1 ）求 a 的值；（ 2 ）现从“关注度”在25,30 的男

7、生与女生中选取3 人，设这3 人来自男生的人数为，求的分布列与期望；（ 3 ）在抽取的80 名青年学生中，从月“关注度”不少于25 天的人中随机抽取2 人，求至少抽取到1名女生的概率x2y21(a b0) 的焦点分别为 F1 (c,0)， F2 (c,0) ，离心率 e120 已知椭圆b2，过左焦点的直线a22与椭圆交于 M ,N 两点， |MN |8，且 2sin MF 2 NsinMNF2 sin NMF 2 3（ 1 ）求椭圆的标准方程；（ 2）过点 D (4,0) 的直线 l 与椭圆有两个不同的交点A, B ，且点 A 在点 D, B 之间，试求AOD 和 BOD面积之比的取值范围（其

8、中O 为坐标原点） 21 已知函数f (x) ln xa (aR ) x（ 1）判断函数f ( x) 在区间 e 2 ,) 上零点的个数；（ 2）当 a1 时，若在 1,e （ e2.71828 ）上存在一点 x0 ，使得 x01mf (x0 ) 成立，求实数 mx0的取值范围请考生在第 22 、 23 题中任选一题做答如果多做，则按所做的第一题计分做答时请写清题号 22 （本小题满分 10 分） 选修 4 4 ：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C ： x3 cos, （ 为参数），以原点 O 为极点， x 轴的正半轴ysin为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2

9、)1 cos(24（ 1）求曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程；（ 2）过点 M ( 1,0) ，且与直线 l 平行的直线 l1 交曲线 C 于 A, B 两点，求点 M 到 A, B 两点的距离之积23 （本小题满分 10分） 选修 4 5 ：不等式选讲已知函数 f ( x) 2x1x 2 （ 1）在给出的平面直角坐标系中作出函数f (x) 的图象， 并写出不等式 f ( x)3 的解集（不要求写出解题过程）；（ 2）若不等式 f ( x)11 (m 0, n0) 对任意的 xR 恒成立，mn求 mn 的最小值2019年普通高等学校招生全国统一考试1数 学(理科 ) 答案一、选择

10、题：本大题共12小题，每小题5 分题号123456789101112答案BBACBADCDDCD1【解析】 Bx | 0x 2 ， A U BA (3)232【解析】 P24316x2013【解析】x212x 0 ， 12x0，1x2x212xx11x1，故选 A 0 ，x14【解析】 2a3a1a2 ， 2q21q 2q2q10， q1 或 q125【解析】二项式( x2 y)6 的展开通项 Tr 1C6r x6r (2 y)r， 令 6r2 ，解得 r4 展开式中 x2 y4 的系数为 P C64 (2)42415 P241515S2646 【解析】该几何体为一个正方体和一个四棱锥组成，此

11、几何体的表面积是52241222042 27 【解析】 f ( x)f ( x) ， f ( x1)f ( x1) ， f ( x 4)f (x) ，函数 f ( x) 的周期为 4 f (2017) f (1)f (1)2 8 【解析】由程序框图可知：S137153163n123459 【解析】f()f()，f ( x)关于x对称f () 2cos()2，x3x3333 cos(3)1， sin(3)0 g( )3 sin(3)cos()2cos() 2 g ()的值是 2或 4333310 【解析】 log a clog b c11log c blog c a0， log a clog b

12、 c log c alogc blog c a log c b11 【解析】直线 l 的方程为 y3 x1，由y3 x1x0x2 33，且，解得，3x24 yy3 AH3 14， S AHF1AH43 xA212 【解析】 anN * ， aan3n ， aa13数列 an 单调递增， a11， a1aa1若 a11，则 a1aa131，矛盾；若 a1 2 ，则 a2 aa13，成立；若 a13，则 a3aa13a1 ，矛盾；综上，a12 ，则 a23当 aa3aaa3n ， a3n3aan bnan 1an 23an 2bn 1 ，bn3 ann2 33 2 32 3bn 1数列 bn 是以

13、 b1a23为首项，3为公比的等比数列， bn3(13n )3(3n 1) 的前 n 项和等于312二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分130144,2153116 254813 【解析】 (m,n)uuuruuuruuur(3,3) ， m 3, n3 ， m n0 ADABBD14 【解析】由约束条件作出可行域如图，从图可知 A(2,0)y2x20B(2,6)由2，解得xxy2x3y 11y1x3x3x，3y1 的几何意义为可行域内的动点与定点(3,1) 连线的斜率x31 , kPB1, y11 ,1 ， x y2的取值范围是 4 , 2 kPA35x35x515 【解析】MOF 是

14、等边三角形，M ( c ,3 c) 代入 x2y21，22a2b2得 e48e240 ，解得 e31 16 【解析】易证AO 平面 BCD ， AO211设 APx(0x1) S QCO1 OCCQsin2 x ， VP QCO1 SQCO OP2 x(1x)2 (x1 )21 2244312122448三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17 【解析】（ 1 ）由 a cos Bb cos A2c cosC0 及正弦定理，得 sin A cos B sin B cos A2 sin C cosC0 ，即 sin( AB)2 sin C cosC0 ，即 sin C2 sin C

15、 cosC0 在ABC 中， 0A， 0C， sin A2，得 C0 ， cosC42（ 2 ）由余弦定理，得c2a2b22ab cosCa2b22ab ，即 4a2b22ab (22) ab ，故 ab42(22) ，当且仅当 ab42 2时，取等号22SABC1 ab sin C12(22)212 ，即 S ABC 的最大值为 12 22218 （ 1 ）证明： DE平面 ABCD ， AC平面 ABCD ， DEAC ，又底面 ABCD 是正方形，ACBD BDI DED， AC平面 BDE （ 2 ） DA ， DC ， DE 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz ， BE

16、 与平面 ABCD 所成角为 60，即DBE60，ED3 ，DB由 AD3，可知 BD32，DE36，AF6 则 A(3,0,0)， F (3,0,6)， E(0,0,36) ， B(3,3,0) ， C (0,3,0) ，uuur(0,3,uuur(3,0,26) BF6)，EF设平面 BEF 的一个法向量为 n( x, y, z) ，nuuur0,3 y6z0,BF令 z6 ，则 n(4, 2, 6) 则uuur即3x26z0,nEF0, ACuuuruuur(3,3,0) ，平面 BDE ， CA 为平面 BDE 的一个法向量，CAuuuruuur613 cos| n CA |n, CA

17、uuur3226| n | | CA |13二面角 F BED 为锐角，二面角FBE D 的余弦值为13 1319 【解析】（ 1 ）a1(0.010.010.030.080.02)510.155550.05 （ 2 ）从频率分布直方图可知在25,30 内的男生人数为0.02 5404人，女生人数为 0.015402 人，男女生共6 人，因此的取值可以为1,2,3 ，故 P(C41C221， P(2)C42C213C43C2011)5C63， P(3)C63C6355 的分布列为123P131555数学期望 E( )131163123552 55（ 3 ）记“在抽取的 80名青年学生中，从月“

18、关注度”不少于25 天的人中随机抽取2 人，至少抽到 1名女生”为事件A ，在抽取的女生中，月“关注度”不少于25 天即在在抽取的男生中，月“关注度”不少于25 天即在25,3025,30内的人数为2 ，内的人数为4 ，则在抽取的 80名学生中，共有6人月“关注度”不少于25天，从中随机抽取2 人，所有可能的结果有C6215种，而事件A 包含的结果有 C21 C41C229种， P( A)9315520 【解析】（ 1 ）在MF2 N 中，由正弦定理，得2|MN | |MF2 | NF2 |，由椭圆定义，得 | MN |MF2 |NF2|4a ， 4a3| MN | 8 ，故 a 2又 e1，

19、 c1， b2a2c23，椭圆的标准方程为x2y21 2l 的斜率存在且不为43（ 2 ）依题意，知直线0 ，故设直线 l 的方程为 xmy4 ，与椭圆方程x2y21 联立，43消去 x 整理，得 (3m24) y224my360 ，由0 ，解得 m24 y1y224m,设 A( x1 , y1 ) ， B(x2 , y2 ) ，则3m24可知 y1 ， y2 同号，y1y236,3m241| y1 |S AOD|OD |y1令，则2，且 01S BOD1y2| y2 |OD |2(1) y224m,将 y1y2 代入韦达定理，得3m24236y2,3m24消去 y2 ，得1)216m2，即

20、m24(1)23m2410323由2，得(1)21 ，即4(1)20 ，m410321032331，且 321030 ，解得11 或 13 1， 13又 01，3(1 ,1)故AOD 和BOD 面积之比的取值范围为321 【解析】（ 1 ）令 f ( x)ln xa0 ， x e2,) ，得a x ln x e 2 ,x记 H ( x)x ln x ， x) ，则 H ( x) 1ln x ，由此可知 H (x) 在区间e 2 , e 1上单调递减，在区间( e 1,) 上单调递增，且 H (e 2 )2e 20 ， H (e 1)e 10 又 H (e)e0 ，故当 a1 时， f (x) 在区间 e2 ,) 上无零点12 时，e当 a或 af ( x) 在区间 e2 ,) 上恰有一个零点2e1e2当a时， f( x) 在区间 e 2 ,) 上有两个零点e2e1（ 2 ）在区间 1, e （ e2.71828 ）上存在一点x0，使得 x0mf ( x0 ) 成立等价于函数x0h(x)x1mf (x)x1m1,e 上的最小值小于零xm ln x在区间xxh (x)1