隐函数存在定理.PPT

1、6-8 隐函数存在定理隐函数存在定理. 0),(, 0),(vuxGvuxF y=f(x)形式的函数称为显函数.由方程F(x,y)=0所确定的函数y=f(x)称为隐函数. 由方程F(x,y,z)=0所确定的二元函数z=f(x,y)称为隐函数.由方程组. 0),;,(, 0),;,(vuyxGvuyxF.),(),(uu称为隐函数确定的一组二元函数yxvvyx可确定隐函数u=u(x),v=v(x)?由方程组本节讨论 :1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 .例如, 方程02Cyx当 C 0 时, 不能确定隐函数;2) 在方程能确定隐函数时, 研究其连续性、可微性 及求导方法问题 .1. 一个方程

2、的情况一个方程的情况定理定理1 设设 在一点在一点 的邻域内有定的邻域内有定义义.且满足下列条件且满足下列条件: ,F x y000,P xy 001,0;F xy 00,F x fxxxx0, ,则在则在 的某个邻域的某个邻域 内存在一个内存在一个函数函数y=f(x) , 使得使得 且且 0 x00,xx 00yf x并且并且 内有连续的导内有连续的导函数函数 00,yf xxx 在 ,.,xyFx yfxyfxFx y , 0),(),(),(F)2(00 xyxFyxFyxyy连续，且及定理证明从略，仅就求导公式推导如下：0)(,(xfxF两边对 x 求导0ddxyyFxFyxFFxyd

3、d0yF,0),()(所确定的隐函数为方程设yxFxfy在),(00yx的某邻域内则例例1. 验证方程01sinyxeyx在点(0,0)某邻域可确定一个单值可导隐函数, )(xfy .0ddxxy解解 令, 1sin),(yxeyyxFx,0)0 , 0(F, yeFxx连续 ,由 定理1 可知,1)0 , 0(yF0, )(xfy 导的隐函数 则xyFy cos在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可且并求0ddxxy0 xFFyx 1xy cosyex0, 0yx定理定理2设设 在点在点 的某邻域的某邻域内有连续的偏导数内有连续的偏导数, 且且 , ,F x y z0000,Mxy z00

4、0000,0;,0,zF xyzFxyz 00, ,F x y z x yz xy00, =z ,且且 有连续偏导数有连续偏导数:,z x y则在点则在点 的某个邻域内的某个邻域内,方程方程 唯一确定一个隐函数唯一确定一个隐函数 满足满足00,x y,zz x y, ,0F x y z ,.yxzzFFzzxFyF 定理证明从略, 仅就求导公式推导如下:0),(,(yxfyxF两边对 x 求偏导xFzxFFxzzyFFyz同样可得,0),(),(所确定的隐函数是方程设zyxFyxfz则zFxz00),(000zFzyx的某邻域内在例例2确定的隐函数求方程3xzeyzxy.,),(yxzzyxz

5、z的偏导数解法解法1利用公式. 令令. 3),(xzeyzxyzyxF则则,xzxzeyF, zxFy,xzzxeyFzxFFxz,xzxzxeyzeyzyFFyz.xzxeyzx解法解法2 利用隐函数求导中，在方程03 xzeyzxy).,(:,yxzzyxz的函数视作将方程两端关于方程两端关于x求偏导，得求偏导，得, 0)(xxzxxzzeyzyxz,xzxzxeyzey方程两端关于方程两端关于y求偏导，得求偏导，得, 0)(yxzyxzeyzzxyz.xzxeyzx说明：利用公式法求偏导时，将方程说明：利用公式法求偏导时，将方程F(x,y,z)=0中中x,y,z视作独立变量；利用隐函数求

6、偏导时，将视作独立变量；利用隐函数求偏导时，将z视作视作x,y的的函数：函数：z=z(x,y).例例3 求由方程0),(zyyxF.,),(yzxzyxzz的偏导数确定的隐函数解解设u=x-y,v=y-z.为了方便起见,引入记号.,21FFFFvu11 FFx02 F,1F) 1(1 FFy12 F1F,2F01 FFz) 1(2 F.2F,21FFFFxzzx.221FFFFFyzzy2. 方程组的情况方程组的情况方程在什么条件下，由两个. 0),(, 0),(vuxGvuxF可确定隐函数u=u(x),v=v(x)?, 0F0),(Fy的函数，要有条件解为将由方程xyyx0Fy现在的情况下相

7、当于的条件是什么？先介绍线性代数中的克莱姆法则克莱姆法则二元一次方程组,fdycxebyax.,为常数其中fedcba当其系数行列式dcbabcad 0且其解为时，方程组有惟一解，1xdcbadfbe2ydcbafcea;bcadbfed.bcadecaf,fdycxebyax克莱姆法则克莱姆法则告诉我们：告诉我们：二元一次方程组有惟一二元一次方程组有惟一解解. 0,),(Fbvauexvux设,),(Gdvcufxvux. 0),(, 0),(vuxGvuxFu=u(x),v=v(x) 我们的问题相当于解方程组.,fxdvcuexbvau方程组有惟一解方程组有惟一解dcbabcad 0,Fu

8、a注意到,Fvb,Guc.Gvd当F及G 是一般函数时，需要下列条件),(),(vuDGFDJ vuvuGGFF行列式称作F,G的雅可比行列式雅可比行列式. 0定理定理3000000000, , , , ,0, ,0,F x u vG x u vx u vF x u vG x u v 设及在一点的某个邻域内有连续的一阶偏导数,且 ,0,0,F x u x v xG x u x v x 在点在点 的一个邻域内存在唯一的一对可微函数的一个邻域内存在唯一的一对可微函数 使得使得 且满足方程组且满足方程组0 x u u x0000,uu xvv x及 v v x及 u u xv v x及 的导函数的导

9、函数由下列方程组求出由下列方程组求出 0,0,FF duF dvxu dxv dxGG duG dvxu dxv dx 证明略,F G又设的雅可比行列式,uvuvFFD F GJGGD u v000, ,0,x u v在点处不等于 则定理定理3的推广的推广考虑方程组：0),(0),(vuyxGvuyxF),(),(yxvvyxuu时，当0),(),(vuvuGGFFvuGFJ,xu求,xv.yv,yu0),(),(,(0),(),(,(yxvyxuyxGyxvyxuyxF,的线性方程组这是关于xvxu0),(0),(vuyxGvuyxF有隐函数组则两边对 x 求导得,),(),(yxvvyxu

10、u设方程组,0vuvuGGFFJ在点P 的某邻域内xuxvxuxvxFuFvF0 xGuGvG0故得系数行列式同样可得),(),(1vyGFJyuvuvuvxvxGGFFGGFFxu),(),(1yuGFJyvvuvuxuxuGGFFGGFFxvxuxvxuxvuFvFxFxGuGvG),(),(1vxDGFDJ),(),(1xuDGFDJ 例例4 由方程组0, 02222vuxyuvyx 能否确定u,v为x与y的函数，在能确定隐函数的条件下，求.,yyxxvuvu解解),(),(vuDGFDJ vuuv22).(222vu 也就有不同时为零时满足上述方程组的当,)0 , 0(),(vuyx，

11、0J).,(),(),(yxvvyxuuyx的邻域内能确定隐函数从而在方程组两边对 x 求导，并移项得.22,2yvvuuxuvvuxxxx方程组两边对 x 求导，并移项得.22,2yvvuuxuvvuxxxx0, 02222vuxyuvyx用克莱姆法则解方程组xuvuuvvyux2222,)(2422vuyuxvxvvuuvyuxv2222,)(2422vuyvxu. 022vu方程组两边对 y 求导，并移项得.22,2xvvuuyuvvuyyyy解得yu,)(2422vuxuyvyv.)(2422vuxvyuxvvygxugxvxvfuxxufxu2) 1()( 2121解以 为未知数的方

12、程组，得xvxu,122111112211221121) 1() 12)(1() 12( gfyvgxfufxfgxvgfyvgxfgfyvgufxu, )vx,-g(uvy)vf(ux,u 2具有一阶连续偏导数其中设gfy补例补例.,xu xv求解解 注意：明确哪些是自变量，哪些是因变量，是几元的.内容小结内容小结1. 隐函数( 组) 存在定理2. 隐函数 ( 组) 求导方法方法1. 利用复合函数求导法则直接计算 ;方法2. 利用微分形式不变性 ;方法3. 代公式思考与练习思考与练习设, ),(zyxzyxfz求.,yxzxxzzx 提示提示:),(zyxzyxfzxz1f xz 12f xzyxzyxz21fzyf211fyxf 11f 1zx2f yxzxzy