线性代数第四章答案.doc

1、.第四章向量组的线性相关性1设 v1(110)Tv2(011)Tv3(340)T求 v1v2 及3v1 2v2v3解v1v2 (1 1 0)T(0 11)T(101101)T(101)T32v33(110)T2(011)T(340)Tv1v2(312033121430210)T(012)T2设 3(a1a) 2(a2a) 5(a3a)求 a其中 a1 (2 5 1 3)Ta2 (101 510)Ta3(4111)T解由 3()2()5()整理得a1aa2aa3aa 1(3a1 2a2 5a3)61TTT 3(2, 5,1, 3) 2(10,1, 5,10) 5(4,1, 1, 1) (1234

2、)T3 已知向量组A a1(01 23)Ta2(3012)Ta3(2301)TB b1(21 12)Tb2(0211)Tb3 (4 4 1 3)T证明 B 组能由 A 组线性表示但 A 组不能由 B 组线性表示证明 由03220 4r1 0312410312 40 32204(A, B)21011 10 1615 732121 30 28179精选文档.r1 03 124r1 031240 161570 1 615700205 15250 0413 50 041350 00000知 R(A)R(AB)3所以 B 组能由 A 组线性表示由20 4r102r1 0212 40220 1 1B11

3、10110 0021 30110 00知 R(B) 2因为 R(B) R(BA)所以 A 组不能由B 组线性表示4 已知向量组A a1(0 1 1)Ta2(1 1 0)TB b1(101)Tb2 (1 2 1)T b3 (3 21)T证明 A组与 B组等价证明由1 13 0 1 r11301r11301(B, A)0 22 1102211022111 11 1 00221100000知 R(B)R(B A)2显然在 A 中有二阶非零子式故 R(A) 2又 R(A) R(BA) 2所以 R(A)2 从而 R(A) R(B)R(A B) 因此 A 组与 B 组等价5已知 R(a1a2a3)2R(a

4、2a3a4)3证明(1) a1 能由 a2 a3 线性表示(2) a4 不能由 a1 a2a3 线性表示证明(1)由 R(a2a3a4) 3 知 a2a3 a4 线性无关故 a2 a3 也线性无关又由R(a1 a2a3) 2 知 a1a2a3 线性相关故 a1 能由 a2 a3 线性表示(2)假如 a4 能由 a1a2a3 线性表示则因为 a1 能由 a2a3 线性表示故 a4 能由 a2a3 线性表示从而 a2a3a4 线性相关矛盾因此 a4 不能由 a1 a2a3 线性表示6 判定下列向量组是线性相关还是线性无关精选文档.(1)(13 1)T(210)T(141)T(2)(230)T( 1

5、40)T(002)T解(1)以所给向量为列向量的矩阵记为A因为1 2 1 r1 2 1 r1 2 1A3140770 1 11 0 10 2 20 0 0所以()2 小于向量的个数从而所给向量组线性相关R A(2)以所给向量为列向量的矩阵记为B因为21 0|B| 340 22000 2所以()3 等于向量的个数从而所给向量组线性相无关R B7 问 a取什么值时下列向量组线性相关？a1 (a 1 1)Ta2 (1 a1)Ta3 (11 a)T解以所给向量为列向量的矩阵记为A由a11|A| 1a111a如能使行列式等于0，则此时向量组线性相关（具体看书后相应答案）8设 a1a2 线性无关a1ba2

6、b 线性相关求向量 b 用 a1a2 线性表示的表示式解因为 a1ba2b 线性相关故存在不全为零的数12 使1(a1b)2(a2b)0由此得 b1 a12a21a1 (11)a212121212设 c1则12bca1 (1c)a2cR精选文档.9设 a1a2 线性相关b1b2 也线性相关问 a1b1a2b2 是否一定线性相关？试举例说明之（也可看书后答案）解不一定例如当 a1(12)T, a2(24)T, b1( 11)T, b2(00)T 时有a1 b1(12)Tb1(01)T, a2b2 (24)T (00)T(24)T而 a1 b1a2 b2 的对应分量不成比例是线性无关的10 举例说

7、明下列各命题是错误的(1)若向量组 a1a2am 是线性相关的则 a1 可由 a2am 线性表示解 设 a1e1(1 000)a2 a3am0 则 a1 a2am 线性相关但 a1 不能由 a2am 线性表示(2)若有不全为0 的数12m 使1a1mam1b1mbm0成立则 a1a2am 线性相关 , b1b2bm 亦线性相关解有不全为零的数12m使1a1mam1b1mbm0原式可化为1(a1b1)m(ambm) 0取 a1 e1b1 a2e2b2amembm 其中 e1e2em 为单位坐标向量则上式成立而 a1a2am 和 b1b2bm均线性无关(3)若只有当12m 全为 0 时等式1a1m

8、am1b1mbm0才能成立则 a1a2am 线性无关 , b1b2bm 亦线性无关解由于只有当12m 全为 0 时等式由1 a1mam1b1mbm0成立所以只有当12m 全为 0 时等式1 (a1b1)2(a2b2)m(am bm)0成立因此 a1b1a2b2ambm 线性无关精选文档.取 a1a2am0取 b1bm 为线性无关组则它们满足以上条件但 a1a2am 线性相关(4)若 a1a2am 线性相关 , b1b2bm 亦线性相关则有不全为0的数12m 使1a1mam01b1mbm 0同时成立解a1(10)T a2 (2 0)Tb1(03)Tb2(04)T1 a12a201221 b12b

9、201(3/4)2120与题设矛盾11设 b1a1a2b2a2a3b3a3a4b4a4a1证明向量组b1b2b3b4 线性相关证明由已知条件得a1b1 a2a2b2a3 a3 b3 a4 a4 b4 a1于是a1b1b2a3b1b2b3a4b1b2b3b4a1从而b1b2b3b40这说明向量组 b1b2b3b4 线性相关12设 b1 a1 b2a1 a2br a1 a2ar 且向量组 a1a2ar 线性无关证明向量组 b1b2br 线性无关证明已知的 r 个等式可以写成111(b , b , b ) (a , a , a ) 0111 2r1 2r001上式记为 BAK 因为|K|1 0K 可

10、逆所以 R(B)R(A) r 从而向量组 b1b2br 线性无关精选文档.13 求下列向量组的秩 , 并求一个最大无关组 :(1)a1(1 21 4)Ta2 (9 100 10 4)Ta3 ( 24 28)T解由1921921 92(a1, a2, a3)2 1004r0820r0 101 10201900 0044803200 00知 R(a1a2 a3)2因为向量 a1 与 a2 的分量不成比例故 a1a2 线性无关所以 a1a2 是一个最大无关组(2)a1T(1213) a2T(4156) a3T (1347)解由141r141r141(a1, a2, a3)2 1 30950951 5

11、 409500036701810000TTT)T与 a2T的分量不成比例TT知 R(a1a2a3R(a1 a2 a3) 2 因为向量 a1故 a1a2线性无关所以a1Ta2T 是一个最大无关组14 利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组25 31 17 4375 94 53 132(1) 75 94 54 13425 32 20 48解因为25 31 1743r23r125 31 17 43r4r325 31 17 4375 9453 132r33r10123012375 9454 134r4r10135r3r2001325 32204801350000所以第 1、 2、 3 列构

12、成一个最大无关组.精选文档.1 1 221(2)0 2 1512 0 3131 1 041解因为1 1 221r32r111221r3r21 1221021 510 21510 2 1512 0 31 3r4r102 15 1r3r40 02 221 1 041002220 0000所以第 1、 2、 3 列构成一个最大无关组（关于 14 的说明： 14 题和书上的14 题有些不同，答案看书后的那个）15 设向量组(a3 1)T(2b 3)T(121)T(231)T的秩为 2求 a b解 设 a1 (a 31)Ta2 (2b 3)Ta3(121)Ta4(2 3 1)T因为1 2 a 2 r1

13、113 r1 113(a3, a4, a1, a2) 2 3 3 b 0 1 a 1101a 1111130 11 b 60 0 2 a b 5而 R(a1 a2a3 a4 ) 2 所以 a 2 b 516设 a1a2an 是一组 n 维向量已知 n 维单位坐标向量e1e2en 能由它们线性表示证明 a1a2an 线性无关证法一记 A(a1a2an)E(e1e2en)由已知条件知存在矩阵 K使EAK两边取行列式得| E| A| K|可见|A| 0所以 R(A) n从而 a1 a2an 线性无关证法二因为 e1e2en 能由 a1a2an 线性表示所以R(e1e2en)R(a1a2an)精选文档

14、.而 R(e1e2en)n R(a1 a2an) n 所以 R(a1 a2n)n从而a1 a2n 线性无关aa17设 a1 a2an 是一组 n 维向量 , 证明它们线性无关的充分必要条件是任一 n 维向量都可由它们线性表示证明必要性设 a 为任一 n 维向量因为 a1 a2an 线性无关而a1 a2ana 是 n1 个 n 维向量是线性相关的所以 a 能由 a1a2an 线性表示且表示式是唯一的充分性已知任一 n 维向量都可由 a1a2an 线性表示 , 故单位坐标向量组 e1e2en 能由 a1a2an 线性表示 , 于是有(e2en)(a2an)nn R e1R a1即 R(a1a2an

15、) n所以 a1a2an 线性无关18设向量组 a1 a2am 线性相关且 a10证明存在某个向量ak(2k m)使 ak 能由 a1a2ak 1 线性表示证明因为 a1 a2am 线性相关所以存在不全为零的数12m使1a12a2mam0而且23m 不全为零这是因为如若不然则1 a10由10 知10 矛盾因此存在k(2k)使amk0k 1k2m0于是1 a12a2kak0ak(1/ k)(1a12a2k1ak 1)即 ak 能由 a1a2ak 1 线性表示19设向量组 Bb1br 能由向量组Aa1as线性表示为(b1br )(a1as)K其中 K 为 sr 矩阵 , 且 A 组线性无关 . 证

16、明 B组线性无关的充分必要条件是矩阵K 的秩 R(K )r证明令 B(b1br )A(a1as)则有 BAK必要性设向量组 B 线性无关 .精选文档.由向量组 B 线性无关及矩阵秩的性质有rR(B)R(AK )min R(A)R(K )R(K )及R(K)min rsr因此 R(K)r充分性因为 R(K)r 所以存在可逆矩阵C 使KCEr为K 的标准形O于是(b1br)C ( a1as)KC (a1ar)因为C可逆所以(br)(r)r从而b1R b1R a1abr 线性无关20设123n213nn123n 1证明向量组12n 与向量组12n 等价证明将已知关系写成01111011(1, 2,

17、n) ( 1, 2, n ) 1 1 011110将上式记为 B AK因为0111|K |1011( 1)n 1(n 1) 01 1 011110所以K可逆故有 ABK 1由 BAK和A BK1 可知向量组12n 与向量组12n 可相互线性表示因此向量组12n 与向量组12n 等价精选文档.21已知 3 阶矩阵A与 3 维列向量x满足332且向量组2Ax Ax A xx Ax A x线性无关(1)记 P(xAxA2x)求 3阶矩阵 B使 APPB解因为APA(xAxA2 x)(AxA2xA3 x)(Ax A2x 3Ax A2 x)0 00(x, Ax, A2 x) 1 030 110 00所以

18、 B1 030 11(2)求| A|解由 A3x3AxA2 x得 A(3xAxA2x) 0因为 xAxA2x 线性无关故3x AxA2x0即方程 Ax0 有非零解所以 R(A)3 |A|0（从 22 题开始，凡涉及到基础解系问题的，答案都不是唯一的，可以参考本文答案，也可以看书后的答案，不过以书后的答案为主。每一题不再一一说明）22 求下列齐次线性方程组的基础解系x18x210x32x40(1) 2x1 4x2 5x3 x4 03x18x26x32x40解对系数矩阵进行初等行变换有18 102r1 040A 2451 0 13/4 1/438620 000精选文档.于是得x14x3x2(3/

19、4)x3(1/4) x4取 (x3x4 )T(4 0)T得 (x1x2)T( 163)T取 (x3x4 )T(0 4)T得 (x1x2)T(0 1)T因此方程组的基础解系为1(16340)T2(0 10 4)T2x1 3x22x3x40(2) 3x1 5x2 4x3 2x4 08x1 7x2 6x3 3x4 0解对系数矩阵进行初等行变换, 有2321r1 02/191/19A35420 1 14/197/1987630 000于是得x1(2/19)x3 (1/19)x4x2(14/19)x3 (7/19) x4取 (x3x4 )T(190)T得 (x1x2)T(2 14)T取 (x3x4)T(

20、019)T得 ()T(17)Tx1x2因此方程组的基础解系为1(214190)T2(17 019)T(3)nx1 (n1)x22xn1xn0.解原方程组即为xnnx1 (n1)x22xn 1取 x11x2x3xn10 得 xnn取 x21x1x3x4xn 10 得 xn(n 1)n 1取 xn 11x1x2xn 20得 xn2因此方程组的基础解系为精选文档12.(1000n)T(0100n 1)Tn1(00012)T23设 A22 1 3,求一个 42矩阵 B, 使 AB0, 且95 2 8R(B) 2.解显然 B 的两个列向量应是方程组AB0 的两个线性无关的解因为22 1 3r1 01/8

21、1/8A95 2 80 15/811/8所以与方程组AB 0 同解方程组为x1(1/8) x3(1/8)x4x2 (5/8)x3(11/8)x4取 (x3x4 )T(80)T得 (x1x2)T(15)T取 (x3x4 )T(08)T得 (x1x2)T( 111)T方程组 AB0 的基础解系为1(1580)T2(11108)T11因此所求矩阵为B5 11800824 求一个齐次线性方程组 , 使它的基础解系为1(0123)T2(3210)T解显然原方程组的通解为x103x13k2x212x2k12k2x3k1 2k2 1, 即x32k1k2(k1 k2 R)x430x43k1消去 k1k2 得精

22、选文档.2x1 3x2x40x1 3x32x40此即所求的齐次线性方程组.25 设四元齐次线性方程组Ix1 x2 0IIx1 x2 x3 0x2 x4 0x2 x3 x4 0求(1)方程 I 与 II 的基础解系(2) I 与 II 的公共解解 (1)由方程 I 得 x1x4x2x4取 (x3x4 )T(10)T得 (x1x2)T(00)T取 (x3x4 )T(01)T得 (x1x2)T( 11)T因此方程 I 的基础解系为1(0010)T2(1101)T由方程 II 得x1x4xxx234取 (x3x4 )T(10)T得 (x1x2)T(01)T取 (x3x4 )T(01)T得 (x1x2)

23、T( 11)T因此方程 II的基础解系为1(0110)T2( 1101)T(2) I 与 II 的公共解就是方程x1x20IIIx2x400x1x2x3x2x3x40的解因为方程组III 的系数矩阵1100r1 001A01010 1 0111100 01201110 000所以与方程组III 同解的方程组为精选文档.x1x4x2x4x32x4取 x4 1得 (x1x2x3)T(112)T方程组 III 的基础解系为(1 121)T因此 I 与 II 的公共解为 xc(112 1)Tc R26 设 n 阶矩阵 A 满足 A2A E 为 n 阶单位矩阵 , 证明R(A) R(AE) n证明 因为

24、(A E)A2A A A0所以()()nARARAE又 R(A E) R(E A) 可知R(A)R(A E) R(A) R(E A) R(A E A) R(E) n由此 ()(E)nR AR A27设 A 为 n 阶矩阵 (n2)A* 为 A 的伴随阵证明n当R(A)nR(A*)1当R(A)n10当R(A)n2证明 当 R(A) n 时 | A|0 故有|AA*| A| E| A|0| A*|0所以 R(A*)n当 R(A)n 1 时 | A|0故有AA *|A|E0即A*的列向量都是方程组Ax0 的解因为( )n1所以方程组Ax0 的基础解R A系中只含一个解向量即基础解系的秩为1因此 R(

25、A*)1当 R(A)n 2 时A 中每个元素的代数余子式都为0故A* O从而 R(A*) 028求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系:x1x25(1) 2x1 x2 x3 2x4 15x1 3x2 2x3 2x4 3精选文档.解对增广矩阵进行初等行变换, 有1 1 0 0 5 r1010 8B 21121 01 1013532230 0012与所给方程组同解的方程为x1x38x2x313x42当 x3 0 时得所给方程组的一个解(81302)T与对应的齐次方程组同解的方程为x1x3x2x3x40当 x31 时得对应的齐次方程组的基础解系(1110)Tx15x22x33x4

26、11(2) 5x1 3x2 6x3 x4 12x14x22x3x46解对增广矩阵进行初等行变换, 有15 23 11r 1 09/7 1/2 1B 53611 0 11/7 1/2 2242160 0000与所给方程组同解的方程为x1(9/7)x3(1/ 2)x41x2(1/7) x3(1/ 2)x42当 x3x40 时得所给方程组的一个解(1200)T与对应的齐次方程组同解的方程为x1(9/7)x3(1/ 2)x4x2(1/7) x3(1/ 2)x4精选文档.分别取 (x3 x4)T(10)T(0 1)T得对应的齐次方程组的基础解系1(9170)T2(1102)T29设四元非齐次线性方程组的

27、系数矩阵的秩为3, 已知123 是它的三个解向量.且1(2345)T23(1234)T求该方程组的通解.解 由于方程组中未知数的个数是组的基础解系含有一个向量 , 且由于组解的结构性质得4 系数矩阵的秩为 3, 所以对应的齐次线性方程123 均为方程组的解, 由非齐次线性方程21(23)(12)(13)(3456)T为其基础解系向量, 故此方程组的通解:xk(3456)T(2345)T, (kR)30设有向量组 Aa1 (210) T a2 ( 21 5)T a3 ( 1 1 4) T及 b (11)T问为何值时(1)向量 b 不能由向量组A 线性表示(2)向量 b 能由向量组 A 线性表示且

28、表示式唯一(3)向量 b 能由向量组 A 线性表示且表示式不唯一并求一般表示式121r121解 (a3, a2, a1, b)1 1 21 01 1145100043(1)当40 时R(A)R(Ab)此时向量 b 不能由向量组A 线性表示(2)当4 时R(A)R(A b)3此时向量组 a1 a2a3 线性无关而向量组a1 a2 a3b 线性相关故向量 b 能由向量组 A 线性表示且表示式唯一(3)当40 时R(A)R(Ab)2此时向量 b 能由向量组 A 线性表示且表示式不唯一当40 时1241r1 021(a3, a2, a1, b)1120013 1451010 000精选文档.方程组 (

29、a3a2a1 )xb 的解为x1212c1x2c 313c1 c Rx310c因此b (2c1)a3(3c1)a2ca1即b ca1( 3c 1)a2(2c 1)a3cR31设 a(a1a2a3)Tb(b1b2b3)Tc (c1 c2 c3)T 证明三直线l1a1x b1y c10l2a2x b2y c20(ai2bi20 i 1 2 3)l3a3x b3y c30相交于一点的充分必要条件为向量组 ab 线性无关且向量组 abc 线性相关证明三直线相交于一点的充分必要条件为方程组a1x b1y c1 0a1x b1y c1a x b y c 0即 a x b y c222222a3x b3 y c3 0a3x b3 y c3有唯一解上述方程组可写为xaybc因此三直线相交于一点的充分必要条件为c能由 ab 唯一线性表示而 c 能由 a