(完整版)数列证明题型总结(教师版)附答案

1、、解答题1 在数列an中，ai = 1, an+i=2an+2n.(I )设bn，证明：数列%是等差数列；(n )求数列an的前n项的和Sn.【答案】an+ianan+i 2an 2n(I )因为 bn+1 bn=-2n21 =2= 2n = 1所以数列bn为等差数列(n )因为 bn=b1 + (n1) = n所以 an = n 2n 1所以 Sn= 1 20+2X21+ + nx2n12sl = 1 2；1T +n ；Sn = 1 + 24+ 3+ (n1)斗+n2 两式相减，得：11,1,1, 1 n2Sn = 2+ 22+ 23+2n2n+11212n+12n2n 11 / 18Sn=

2、2一2n2n26 / 183.数列an的各项均为正数，前 n项和为Si,且满足4Sn=(an+l)2? anan i2an2an1 = 0? (an + an i)( an an i) 2 = 0(ne N*).(I)证明：数列an是等差数列，并求出其通项公式an；(n)设 bn = an + 2an(nC N*),求数列bn的前 n 项和 Tn.【答案】(I)n=1 时，4ai = (ai+1)2? a22ai+1 = 0,即 ai = 1nn2时,4an = 4Sn 4Sn 1 = (an + 1)2 (anT + 1)2= an an i + 2an 2an 1? a2 a2 i 2an

3、2an i = 0(an + an i)( an an-1) 2 = 0, an0. anan 1=2故数列an是首项为ai=1,公差为d= 2的等差数列，且 an=2n1(n C N*) (n )由(I )知 bn = an + 2an= (2n- 1)+22n 1 Tn= bi + b2 + + bn =(1 + 21) + (3 + 2, an0 an一an-1=2故数列an是首项为ai=1,公差为d= 2的等差数列，且an= 2n 1(nC N*) + + (2n 1) + 22n 1= 1+3+ + (2n1) +(2 + 23+ 22n1)=n2 +2(1 22n)1-422n+i

4、+ n222n+i+3n2_234.数列an的各项均为正数，前 n项和为Sn,且满足2A/&=an+1(nC N*).(I)证明：数列an是等差数列，并求出其通项公式an；(nbn = an 2n(nCN*),求数列bn的前 n 项和 Tn.【答案】(I )由 2VSn=an+ 1(n N*)可以彳导到 4Sn= (an+ 1)2(n N*)n= 1 时，4ai = (ai+1)2? a2 2ai+ 1 = 0,即 ai= 1n2时，4an = 4Sn 4Sn i = (an+ 1)2 (an-i+ 1)222an ani+ 2an 2an-1(n )由(I )知 bn = an 2n=(2n

5、 1) 2n -Tn= (1 21)+(3 22)+(2n3) 2n 1+(2n1) 2n则 2Tn= (1 22) + (3 23)+ +(2n 3) 2n+(2n- 1) 2n+1两式相减得：-Tn= (1 21)+(2 22)+ (2 2n)-(2n-1) 2n+12 (1 - 2)cn+f=22- (2n- 1) 2n 1= (3 2n) 2n+1 61-Tn= (2n-3) 2n + 1 + 6(或 Tn=(4n 6) 2n+ 6)3 o 7*5.已知数列an,其前n项和为Sn=2n2 + 2n(nC N ).(I )求 a1, a2 ；(n )求数列an的通项公式，并证明数列 an

6、是等差数列；(出)如果数列bn满足an=log2bn,请证明数列bn是等比数列，并求其前n项和Tn.【答案】(I )a1 = S1 = 5,a13一 27- 2+解得a2=8.(n )当 n2时，an = Sn Sn 137= 21n2 (n 1)2 + 2n (n1)= 2(2n 1) + 7= 3n+ 2.又 ai = 5 满足 an = 3n+2, an=3n+2(n N*)., an an-1 = 3n+ 2 3( n - 1) + 2= 3(n nC N*),，数歹U an是以5为首项，3为公差的等差数列.(出)由已知得bn=2an(nC N*),h- onn + 1.?=箕=2an

7、+1 an=23=8(nC N*),bn 2又 bi = 2a1=32,，数列bn是以32为首项，8为公比的等比数列.丁 32 (18n)32 n 八Tn=二8 =引8 T)2x _46.已知函数 f(x)=,数列an?两足：a1 =7, an + 1=f(an).X十231(I)求证：数列 U为等差数列，并求数列 an的通项公式;(II )t己 Sn = a1a2+ a2a3 + + anan+1,求证:8 Sn1=2n1an a12 424an =2n+ 144(II ) . anan+ 1 = 22n+ 1 2n+ 3=8 T7 一 二二2n + 1 2n+3 Sn=a1a2+ a2a3

8、+ anan+1 = 8 3 5+ 57+ +2-2T3= 8 3 2n 2= 2n.等式两边同除以2n,得a齐 =1,an四是等差数列.(II )根据(I )可知多=科+81) M = n,an=n 2n.Sn= 1 X2+ 2X22+ 3X23+- + n2n,电2Sn = 1 22+2X23+ + (n- 1) 2n+n 2n+1.一得：-Sn= 2+ 22+ 23+ + 2nn 2n+12 (1 - 20)n+1n+ 1n+1-n 2n 1= 2n 1 2 n 2n 1,1-2 Sn=(n- 1) 2n+1+2.8.已知数列an的各项为正数，前 n项和为Si,且满足：Sn = j an

9、 + (n C N ). 2an(I)证明：数列S2是等差数列；1 21 21 21 2,(n )设 Tn = 2s1+ 落2+ 2s3+ + 2nS2，求 Tn.【答案】1. 1 一*(I )证明：当 n= 1 时，a1=S1,又 Sn = 2 an+an (n N ),一11一一-, , S1 = 7 Si + m ,斛仔 S1 = 1. 2S1当 n2 时，an=SnSn1,. c1cc,1& = % $一$一1 + q 0n d，2Sn Sn 1一1即 Sn-|- Sn-1 = ,化间付 SnSn-1=1,Sn Sn 1S2是以S2=1为首项，1为公差的等差数列.(n )由(I )知

10、S2 = n,1 2212Tn = 2S2+咨+ +即 Tn= 1 1+ 2+ (n-1)$j + n j.G 1,口11,11,得2Tn= 1 22+1)27+ n 酒.112 1 2n11一2Ln 2n+1 =1 一4一n2n2n + 1 = 1 - ？n+ 1 5.Tn + 22 一 2n9.数列an满足 a1 = 1, an + 14= 1(n C N*),记 Sn=a2+a2+ a2.(I )证明：3是等差数列；(n )对任意的nCN*,如果S2n+1 Snqmj恒成立，求正整数 m的最小值.11 ,c 11,.c 1. C(i)证明：有一瞽=4?#就(nT)4?ar4n3,1 即-

11、12是等差数列.an(n )令 g(n) = S2n+ 1 Sn =4n+ 1 4n+ 51卜+ _!8n+ 1g(n+ 1) g(n)2n =32n则 an+i an= bn2= 32n_ 2,所以 an= ai+ (a2 ai)+ (as a2)+ + (an an 1)= 1 + (3 21-2)+(3 2则 An=(jn,-2)+-+(3 2n-1-2)=1 + 3(2 + 22+ 23+-+ 2n 1)-2(n- 1)an = 3 2n 2n 3,当 n=1 时，ai = 3X21-2X1-3=6-5=1,故也满足上式故数列an的通项为 an=32n-2n-3(n N*).12.在数

12、列an中，ai = , an=、1+；4(n C N*且 n2)1(I)证明：an+或是等比数列；(n )求数列an的通项公式；1(ID )设$为数列 an的前n项和，求证【答案】111 1 , , _JLan + 1+ n+12an 2 3n1 + 3产 1 11(I)由已知，得 an+印 是等比数列.an+ Tnan+ TnoJ11111(n )设 An= an+ 则 Al=ai+1=+ 且 Q= O OO d ZNan + zni= Tn , 可得 an=”- Tn 322311、 ，11、，11、(m)Sn=(21-3r)+(22-32)+ + (2n3n)1-31-2111 1 _

13、1 2 3n2n 12一 ”+ 2 3K 22 6n 2)求数列bn的通项公式.【答案】(I )由 Sn= (1 + 入 A 入 an Sn 1 = (1+ 入)-入 an 1(n 2)相减得： an=一 入anb入an- 1,an= (n 2)an-1 1+八 -1bn 1+ 1,数列an是等比数列(n )f( MLl- bn =bn一？ J 八 1+入1+bn1 bn ，：是首项为，= 2,公差为1的等差数歹U;11;-=2+(n1) = n+1, . bn=bn n+1.16 .在等差数列an中，a10 = 30, a20= 50.(I )求数列an的通项an；(n)令bn = 2an-

14、10,证明：数列bn为等比数列;(出)求数列nbn的前n项和Tn.【答案】(1)由2门=21+51)5 ai0= 30, a20 = 50, ai+9d=30得方程组,解得 a1=i2, d=2.ai+19d=50 -an=12+(n-1) 2=2n+ 10.一一 一bn+1 4n+1(n )由()得 bn = 2an10 = 22n Tn=9 17.已知an是等差数列，其前 n项和为Si,已知a3=11, S9=153, (I )求数列an的通项公式；(n )设an=log2bn,证明bn是等比数列，并求其前n项和Tn.【答案】a1 + 2d = 11(I )9X8解得：d=3, a1 =

15、5,，an=3n + 29a1+d= 153hn + 1 9an+1, 一(n)bn=2an,2an+1 an=23= 8,bn 2bn是公比为8的等比数列又 b1 = 2a1=32, .Tn=32(1，=32(8n-1).1-87 18.在数歹U an中，a1=3, an= 2an 1 + n 2(n2,且 nCN*).(I )求a2, a3的值；(n)证明：数列an+n是等比数列，并求an的通项公式; 10 = 22n=4n, = -n-=4bn4， bn是首项是4,公比q= 4的等比数列.(出)由 nbn=nW得：Tn= 1 4 + 2X42+ +nX4n4Tn= 1 42+ + (n

16、1) 4n+ n X4n+1相减可得:c+“ 4(1 4n)+“-3Tn=4+42+ -+4n-nX4n 1 = 4-nX4n 1一 3(3n1) Mn+ + 4(ID)求数列an的前n项和Si.【答案】(I ) - ai = 3,an= 2an 1+ n 2(n2,且 n N), - 82= 2ai + 2 2 = 6,as= 2a2+3 2= 13.an+ n(2an-1 -|- n - 2) + n(n)证明：= 丁丁=1：an-1+ ( n 1)an 1 + n 12an i+ 2n 2 _=-=2,an i+ n 1，数列an+n是首项为ai+ 1 = 4,公比为2的等比数列.an+

17、n=4 2n-1 = 2n+1,即 an = 2n + l-n,an的通项公式为 an=2n+l-n(n N*).(ID),an的通项公式为 an=2n+l-n(n N*), .Sn= (22 + 23 + 24+ + 2n+l)-(1 +2+3+ -+n)2?x (12)_nx (n+1)1-22_9n+2 -+ n+8=2 -219 .已知数列an满足 ai = 2, an+1 = 3an+ 2(n N ).(I )求证:数列an+ 1是等比数列;(n )求数列an的通项公式.【答案】(I )证明：由 an+i= 3an+2 得 an+1 = 3(an+1), 7 H an + i + 1

18、从而-=3,an+ 1即数列an+1是首项为3,公比为3的等比数列.(n )由(I )知，an + 1 = 3 3n 1 = 3n? an=3n- 1-20 .已知数列an满足ai = 2, an+i = 4an+2n S)为an的前n项和.(I )设bn = an + 2n,证明数列bn是等比数列，并求数列an的通项公式;(n)设 Tn = g, n= 1, 2, 3,，证明： Ti2.【答案】(I )因为 bn +1 = an+i + 2n 1 = (4an+ 2n 1)+ 2n 1 = 4(an + 2n)=4bn,且 bi=ai+2 = 4,所以bn是以4为首项，以q = 4为公比的等

19、比数列.所以 bn=biqn 1 = 4n,所以 an=4n2n.(n )Sn=ai+a2+ + an=(4+42+ +4n)-(2 + 22+ + 2n)= 4(4n-1)- 2(2n-1) = 1(2n+l)2-3 2n+1 + 2= 3(2n+l-1)(2n+l-2) = 3(2n+l-1)(2n-1),2n 3所以 Tn= -= XSn 22n312n一1) (2n1) = 2X 2n- 112n+11，n 3 n 11因此 Ti= 22n_ 1 _ 2口 + 1 1i = 12i = 1 223 _J1 32 21 1 2n+1- 1 2时，Sn 1 = 4an 1 3,所以当 n2

20、时，an= Sn Sn 1 = 4an 4an 1,得 an= qan 1.3Q所以an是首项为1,公比为4的等比数歹U.3(n)因为 an =3 ，由 bn+1= an+ bn(n CN),得 bn+1 bn=3.4 n - 1可得 bn= b1+ (b2 b1)+ (b3 b2) + + (bn-bn 1)= 2+3-4-= 3 -3- 1(n2)1 _ _1 3当n= 1时也满足，所以数列bn的通项公式为bn = 3 4- 1.32 22.在各项均为负数的数列 an中，已知点(an, an+1)(n C N )在函数y=x的图象上，且a2 a527.(I )求证：数列an是等比数列，并求

21、出其通项;(n)若数列bn的前n项和为Sn,且bn = an+n,求3.【答案】(I)证明：因为点(an, an+i)(nCN*)在函数丫 =2*的图象上,3所以an+i = 2an,即史上=2,故数列an是公比q=2的等比数歹U.3an33一.8.8 一 c 2 52 3因为 a2a5=，则 aiq aiq4 =,即 a2 3=3,272733由于数列an的各项均为负数，则 ai = -2 n 一 2(n )由(I )知，an = 3, bn=所以-3 |11 +叱二2.3 23,所以 an 2 n 2 23n 2+ n,23.已知数列an的前n项和为Sn,且Si=3 2n 1 2, bn=

22、an+i.(I )求数列an的通项公式；(n)证明：数列bn是等比数列，并求其前 n项和Tn.【答案】(I ) . Sn = 3 2n 12,当 n2时，an= Sn - Sn 1 = 3 2n 1 23 n 2+2=3 2n 2,当n=1时，a1 = 1不满足上式.1(n= 1),an=n o /、3 2n 2(n2).(n )bn= an+1= 3 Mn 1, b1 = a2=3, nCN .皿=bn 13X23X2n 1n 2 = 2,nC N*, .数列bn是首项为3,公比为2的等比数歹U;由等比数列前n项和公式得Tn=3-L =3n-3.24.设数列an的前 n 项和为 Sn,已知

23、a1 = 5, an+1 = S+3n(n C N*).(I )令bn = Sn-3n,求证：bn是等比数列;(II )令Cn=：-,设Tn是数列Cn的前n项和，求满足不等式 方2 的n的最 llOg2bn+1 lOg2bn + 2,4 026小值.【答案】(I)证明：b1 = S1 3=2WQSn+1Sn=Sn+ 3n,即 Sn+1=2Sn+3n,bn+1 _ Sn+1 3n+1 _ 2Sn3n+1+3nn -n - 2彳 9bnSn 一 3Sn 一 3所以bn是等比数列.则Cn =(n )由(I )知 bn = 2n,log2bn+1 log2bn+2(n+1) ，(n+2)n+1 n+2

24、11Tn = 2-nZ2，112 011Tn = 2-n+2 4 026n2 011,即 nmin=2 012.25 .已知数列an满足：a1 = 1, an+1 = a + 2(nC N ).(I )求证：数列On+ 1是等比数列；(n )若b= =+1,且数列bn是单调递增数列，求实数入的取值范围.n 一 人 an【答案】(I)证明：=1+-, +1=2 -+ 1 , an+1an an+1an11-+ 1 = 2WO,所以数列 L + 1是等比数列.a1an1, 1(n)an+1=2 ,而=2口_-b : + 1 = 2n, bn+1 = 2n(n卜 n入an 八bn=2n 1(n-1-

25、 ?)(n2) b1 = 入适合，所以 bn=2n 1(n-1 -4(nC N*), 由 bn+1bn得 2n+1(n+ 1 g2n(n5，?n+2, 2, nC N ). (I)证明：数列an+1 an是等比数列，并求出数列 an的通项公式；(n)记bn = 2(a： 1),数列bn的前n项和为Sn,求使 02 010的n的最小值. an【答案】(I )an+1=3an-2an 1(n2)(an + 1 一 an)= 2(an an 1)(n 2.), a1 = 2, a2=4, a2 a1=2wq an an-wq故数列an+1an是首项为2,公比为2的等比数列,an+i an= (a2

26、ai)2n 2=2n,，an = (an an-1)+ (an -1 an-2)+ (an -2 an-3)+ +(a2 ai)+ ai =2厂 1 + 2= 2n(n2)又 a1 = 2 满足上式，an = 2n(n C N ).+ 2n-3+ . + 21+22 (1 2L1(n)由(i)知 bn =2an 1)an=2 1 A an= 2-X2n 1. c.1,1,1- Sn=2n- 1+”+22+ + m 1= 2n 1孑 2n-2 1-2n=2n-2 +12n 1.由 Sn2 010 得：一 一 11 .一2n一 2+ 2n12 010 ,即 n+ 2n1 006,因为n为正整数，所

27、以n的最小值为1 006.27 .已知数列an的前n项和为满足$+2n=2an.(I)证明：数列an+2是等比数列，并求数列an的通项公式an；(n)若数列bn满足bn=log2 (an+2),求数列 2的前n项和Tn. bn【答案】(I)证明：由 Sn+2n=2an,得 Sn=2an- 2n,当 nC N*时，Sn=2an-2n,当 n=1 时，S1=2a1 -2,贝U a1=2,当 n2时，Sn-1=2an-1 2 (n1),-，得 an=2an - 2an-1 - 2,即 an=2an 1 +2 , - an+2=2 (an-1+2),an+2=2 , an 1+2an+2是以ai+2为

28、首项,以2为公比的等比数列.an+2=4乎n 1, an=2n+12.(n)解：an =2n+1 2 ,bn=n (n+1), ,1 1_ 11bn n n+1 n n+11+ L b21+bn1, Tn =+b1=1 1+ +Y 22 23 n n+11 =1 一n+1=d n+1【解析】考点：数列的求和；等比数列的通项公式.专题：综合题.分析： (I)由Sn+2n=2an,得Sn=2an- 2n,由此利用构造法能够证明数列an+2是等比数列，并求出数列an的通项公式an.11111(n)由an=2n+1 2,得,二=1 ,由此利用错位相减法能够求出数列,bn n n+1 n n+1bn的前n项和Tn.28.数列an中，a1=1,当n2时，其前n项的和&满足Sn=an(Sn-1).1 .(I )证明：数列 是等差数列；Sn(n )设bn=lOg2；Sn-,数列bn的前n项和为Tn,求满足Tn6的最小正整数n.(I ) . Sn=an(Sn-1),-S2= (S Sni)(Si 1)(n2)11.Sn