(完整版)纳维-斯托克斯存在性与光滑性

1、纳维-斯托克斯存在性与光滑性纳维-斯托克斯存在性与光滑性 是有关纳维-斯托克斯方程 其解的数学性质有关的数学问题,是 美国克雷数学研究所 在2000年提出的7个千禧年大奖难题 中的一个问题。纳维-斯托克斯方程是 流体力学的重要方程,可以描述空间中 流隹（液体或气体）的运动。纳维-斯托克斯方程的解可以用到许多实务应用的领域中。不过对于纳维-斯托克斯方程解的理论研究仍然不足，尤其纳维-斯托克斯方程的解常会包括 重述。虽然紊流在科学及工程中非常的重要，不过紊 流仍是未解决的物理学问题 之一。许多纳维-斯托克斯方程解的基本性质都尚未被证明。例如数学家就尚未证明在三维坐标，特定 的初始条件下，纳维-斯托

2、克斯方程是否有符合光滑性的解。也尚未证明若这棣的解存在时，其动能有其上下界，这就是“纳维-斯托克斯存在性与光滑性”问题。由于了解纳维-斯托克斯方程被视为是了解难以捉摸的紊流现象的第一步，克雷数学研究所 在2000年5月提供了美金一百万的奖金给第一个提供紊流现象相关资讯的人，而不是给第一个创建紊流 理论的人。基于上述的想法，克雷数学研究所设定了以下具体的数学问题：证明或反证以下的叙述：在三维的空间及时间下，给定一起始的速度场，存在一矢量的速度场及标量的压强场，为纳维-斯托克斯 方程的解，其中速度场及压强场需满足光滑及全局定义的特性。目录? 1纳维-斯托克斯方程? 2二种条件：无边界及周期性的空间

3、? 3在整个空间下问题的说明o 3.1假设及无穷远处特性o 3.2在整个空间中的千禧年大奖难题描述? 4周期性问题的说明o 4.1假设o 4.2周期性的千禧年大奖难题描述? 5部分结果? 6脚汴? 7参考资料? 8外部链接1纳维-斯托克斯方程以数学的观点来看，纳维-斯托克斯方程是一个针对任意维度矢量场的 非线性偏微分方程在物理及工程的观点看，纳维-斯托克斯方程是一个用连续介质力学描述液体或非稀疏气体运动 的方程组。此方程是以 牛顿第二运动定律 为基础,考虑一黏滞性牛顿流体 的所有受力,包括压强、黏 滞力及外界的体积力。由于克雷数学研究所提出的问题是以三维空间下， 不可压缩的匀质流体为准，以下也

4、只考虑此条 件下的纳维-斯托克斯方程。令为描述流体速度的三维矢量场，且为流体压强 4o纳维斯托克斯方程为：+ (v - V)v = Vp+ pAv + f(5 土)其中1为动黏滞度f （电土）为外力为梯度运算子为拉普拉斯算子,也可写为V V上述方程是矢量方程，可以分解为三个标量的方程，将速度及外力分解为三个坐标下的分量：=（心1（方为见工）电。=53,用叫。巴力则纳维-斯托克斯方程可写成以下的形式， =j=l/2=1 J其中的未知数有速度V（国f）及压强由于只考虑三维空间，因此有三个方程及四个未知数， 分别是速度的三个分量及压强，还需要一个方程才能解出所有的未知数。这个新增的方程是描述流体 不

5、可压缩性的连续性方程：V v = 0.由于最后一个方程，纳维-斯托克斯方程解的速度会是无 散度的矢量函数。对于在均匀介质中的无散 度流，其密度及动黏滞度为定值。2二种条件：无边界及周期性的空间克雷数学研究所提出的纳维-斯托克斯问题，有二种不同的条件。原始问题是在整个空间 股,中， 需要有关初始条件及解随位置变化的额外资讯。 为了不要考虑初始条件及解在无穷远处的特性，纳维-斯托克斯方程也可以设定在一个周期性的空间中，因此不需考虑方程在整个空间腰只需考虑方程在一个3维环面T3 =下的特性。以下会分别处理这二种条件下的问题。3在整个空间下问题的说明3.1假设及无穷远处特性初始条件丫0（1假设是迄及无

6、散度的函数，使得对于每一个 多重指标口及K,存在一常数 （此常数会依及K而变化）使得|vo（x）| t（1+国产对于所有工瞪.外力f （不）假设也是一个光滑函数，满足一个非常类似的不等式（此时多重指标也包括时间的导数）：C川产奴一考虑其实际的物理意义，此条件下的解需是光滑函数，当 住I T0时不会快速增加。更精准地说，有 以下的假设：1 . vCM） Rx 03）广P”） 解 X 巴8）I |v（即0.条件1表示此函数为光滑、全局定义的函数，条件 2表示此解的动能在全局中有上下界。3 .2在整个空间中的千禧年大奖难题描述令f (跖t) w 0。对于所有符合上述假设的初始条件V0(H),纳维-斯

7、托克斯方程存在一光滑及全局 定义的解，就是存在一速度矢量羽9及压强P(1N)满足上述的条件1及2。(B) R下纳维-斯托克斯方程解存在性的反证存在一初始条件V。(工)及外力f(匹。使得纳维-斯托克斯方程不存在一解满足上述条件1及2。4周期性问题的说明4.1假设此处的函数需满足对于位置变量的周期性，其周期为1。更精准地说，令监为j方向的单位矢量:ei = (1.0,0), s = (0/，0)3 仃= (0,0,1)则寸位置变量有周期性也就表示对于任何的I = 1,2,3,以下的式子均成立：v(x + %。= for aB eR3 x 0, g).因此方程不是在整个空间，而是在一商空间咫/欧,也

8、就是一个3维环面：炉=% 岛)：0W仇2开，t= 1,2,3).有上述的说明后，可以说明需要的假设。初始条件 v0(q)假设是一个光滑及无散度的函数，外力也是 一个光滑函数。满足以下的条件：3 .X。.日忆丁 T认I4 .存在一常数匕 出,刈使得人对于所有t之0和之前的条件类似，条件3表示函数是光滑及全局定义，条件 4表示此解的动能在全局中有上下界。4.2周期性的千禧年大奖难题描述令对于任何满足上述假设的初始条件 皈工）,纳维-斯托克斯方程存在一光滑及全局 定义的解，就是存在一速度矢量羽9及压强P（1N）满足上述的条件3及条件4。（D） 1P下纳维-斯托克斯方程解存在性的反证存在一初始条件V。及外力f （跖力使得纳维-斯托克斯方程不存在一解满足上述条件3及条件4。5部分结果1 .二维空间下的纳维-斯托克斯问题已在I960年代得证：存在光滑及全局定义解的解。2 .在初速相当小时此问题也已得证：存在光滑及全局定义解的解。3 .若给定一初速曲）,且存在一有限、依V”幻而变动白W问T,使得在X 一的范围内,纳维-斯托克斯方程有平滑的解，