2021年人教版高中数学选择性必修第一册基础练习1.4.2《用空间向量研究距离、夹角问题(2)》（解析版）

1、1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题(2) -A基础练一、选择题1.若平面的一个法向量为n1=(1,0,1),平面的一个法向量是n2=(-3,1,3),则平面与所成的角等于()A.30B.45C.60D.90【答案】D【解析】因为n1n2=(1,0,1)(-3,1,3)=0,所以,即平面与所成的角等于90.2.已知A(0,1,1),B(2,-1,0),C(3,5,7),D(1,2,4),则直线AB和直线CD所成角的余弦值为()A.52266B.-52266 C.52222D.-52222【答案】A【解析】AB=(2,-2,-1),CD=(-2,-3,-3),而cosAB,CD=ABCD|A

2、B|CD|=5322=52266,故直线AB和CD所成角的余弦值为52266.3.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1底面ABC,AA1=3,AB=AC=BC=2,则AA1与平面AB1C1所成角的大小为()A.30B.45C.60D.90【答案】A【解析】取AB的中点D,连接CD,分别以DA,DC,DE所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,可得A(1,0,0),A1(1,0,3),故AA1=(0,0,3),而B1(-1,0,3),C1(0,3,3),设平面AB1C1的法向量为m=(a,b,c),根据mAB1=0,mAC1=0,解得m=(3,-3,2),cos=mAA1|m|AA

3、1|=12.故AA1与平面AB1C1所成角的大小为30,故选A.4（2020浙江省高二期末）在底面为锐角三角形的直三棱柱中，是棱的中点，记直线与直线所成角为，直线与平面所成角为，二面角的平面角为，则（ ）ABCD【答案】A【解析】由题可知，直三棱柱的底面为锐角三角形，是棱的中点，设三棱柱是棱长为的正三棱柱，以为原点，在平面中，过作的垂线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，直线与直线所成的角为，直线与平面所成的角为，平面的法向量，设平面的法向量，则，取，得，二面角的平面角为，由图可知，为锐角，即，由于在区间上单调递减，则.故选：A.5（多选题）（2020江西宜春二中高二月考）正三棱柱中，则

4、（ ）A与底面的成角的正弦值为B与底面的成角的正弦值为C与侧面的成角的正弦值为D与侧面的成角的正弦值为【答案】BC【解析】如图，取中点，中点，并连接，则，三条直线两两垂直，则分别以这三条直线为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系；设；则；，1，1，；，0，底面的其中一个法向量为：，与底面的成角的正弦值为，；错对的中点的坐标为，；侧面的其中一个法向量为：；与侧面的成角的正弦值为：，；故对错；故选：6（多选题）（2020江苏镇江二中高二期末）如图，已知四棱锥中，平面，底面为矩形，.若在直线上存在两个不同点，使得直线与平面所成角都为.则实数的值为（ ）ABCD【答案】ABC【解析】假设在直线BC上有

5、一点Q，使得直线PQ与平面ABCD所成角为，此时，易得，在中，由于，可得.所以，在直线BC上存在两个不同点Q，使得直线PQ与平面ABCD所成角都为，等价于在直线BC上有两个点到点A的距离为，由此可得.故选：ABC二、填空题7（2020全国高二课时练）在直三棱柱中,若 ，则异面直线与所成的角等于_.【答案】【解析】三棱柱为直三棱柱,且 以点 为坐标原点，分别以，为 轴建立空间直角坐标系设，则 , ,，又 异面直线所成的角在 异面直线与所成的角等于 8.已知正方形ABCD所在平面外一点P,PA平面ABCD,若PA=PB,则平面PAB与平面PCD的夹角为_.【答案】【解析】如图所示,建立空间直角坐标

6、系.设PA=AB=1,则A(0,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),AD=(0,1,0).取PD的中点E,则E0,12,12,AE=0,12,12,易知AD是平面PAB的一个法向量,AE是平面PCD的一个法向量,所以cos=22,故平面PAB与平面PCD的夹角为45.9（2020浙江省绍兴市阳明中学高二期中）如图，在底面边长均为2，高为1的长方体中，E、F分别为、的中点，则异面直线、所成角的大小为_；平面与平面所成锐二面角的余弦值为_.【答案】； 【解析】以D为原点建立如图所示空间之间坐标系：则，所以，设异面直线、所成角的大小为，所以，因为，所以.又，设平面的一个法向量为：，则，即，

7、令，则，平面一个法向量为：，设平面与平面所成锐二面角为，所以.故答案为：；10（2020河北正定三中学校高二月考（理）设动点在棱长为1的正方体的对角线上，记.当为锐角时，的取值范围是_【答案】【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则，由得，则，因为为锐角，所以，解得或，又因为动点在棱长为1的正方体的对角线上，所以的取值范围为.三、解答题11.如图所示,四边形ABCD是直角梯形,ABC=BAD=90,SA平面ABCD,SA=AB=BC=2,AD=1.(1)求SC与平面ASD所成角的余弦值;(2)求平面SAB和平面SCD夹角的余弦值.【解析】 (1)建立如图所示的空间直角坐标系,S(0,0,2),

8、C(2,2,0),D(1,0,0),SC=(2,2,-2),AB平面SAD,故平面ASD的一个法向量为AB=(0,2,0),设SC与平面ASD所成的角为,则sin =|cos|=|SCAB|SC|AB|=33,故cos =63,即SC与平面ASD所成角的余弦值为63.(2)平面SAB的一个法向量为m=(1,0,0),SC=(2,2,-2),SD=(1,0,-2),设平面SCD的一个法向量为n=(x,y,z),由SCn=0,SDn=0x+y-z=0,x-2z=0,令z=1可得平面SCD的一个法向量为n=(2,-1,1),设平面SAB和平面SCD的夹角为,则cos =|mn|m|n|=63,即平面

9、SAB和平面SCD夹角的余弦值为63.12.（2020四川南充一中高二月考）如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PBC平面ABCD,底面ABCD是平行四边形,且BCD=4,PDBC.(1)求证:PC=PD;(2)若底面ABCD是菱形,PA与平面ABCD所成的角为6,求平面PAD与平面PBC夹角的余弦值.【解析】(1)如图,过P作PEBC,垂足为E,连接DE.图因为平面PBC平面ABCD,所以PE平面ABCD.因为PDBC,所以BC平面PDE,所以DEBC.因为BCD=4,所以DE=CE.在PED和PEC中,PE=PE,PED=PEC=90,DE=CE,所以PEDPEC,所以PD=PC.(2)因为BC平面PDE,PE平面ABCD,所以PAE是直线PA与平面ABCD所成的角,即PAE=6,且DEBC,DEPE.设PE=a,则AE=3a,PA=2a.在DEC中,设DE=m,则EC=m,DC=2m,所以在RtEDA中,(3a)2=m2+(2m)2,所以m=a.以E为坐标原点,ED,EB,EP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,图则D(a,0,0),A(a,2a,0),P(0,0,a),则平面PBC的一个法向量为a=(1,0,