概率论教学课件3.1

1、3.1 3.1 二维随机向量及其分布函数二维随机向量及其分布函数是是向量向量 (x, y) 称为称为二维随机向量。二维随机向量。 1、定义、定义1：设设(x, y)为二维随机向量，称为二维随机向量，称.,), ,() ,(yxyyxxpyxf为为(x, y)的分布函数。的分布函数。设试验设试验e的样本空间为的样本空间为，x=x( )与与y= y( )定义在定义在上的两个随机变量上的两个随机变量, 由它们构成的由它们构成的2 2、几何意义：、几何意义：取定取定x0 0, ,y0 0 r =(-=(-, ,), , f( (x0 0, ,y0 0) )就是点就是点( (x,y) )落在平面上，以落

2、在平面上，以( (x0 0, ,y0 0) )为顶点，且位于该点为顶点，且位于该点左下方无限矩形区域上的概率。左下方无限矩形区域上的概率。px1xx2 , y1yy23 3、二维分布函数、二维分布函数 f(x, y)的三条基本性质：的三条基本性质：(2).(2). x, y r, , 有有 00f f( (x, y)1)1；(1).(1).f(x, y)是变量是变量 x, ,y 的非减函数；的非减函数； (3).(3). y r, f(- -, y)=0， x r, f(x, - -)=0， f(- -, - -)=0，f(, )=1.3.2 3.2 二维离散型随机向量二维离散型随机向量 二维

3、离散型随机向量二维离散型随机向量 (x, y) 所有可能取所有可能取 1、如果随机向量、如果随机向量 (x, y) 的每个分量都是的每个分量都是 离散型随机变量，则称离散型随机变量，则称 (x, y) 是是二维离散型二维离散型随机向量。随机向量。的值也是有限个，或可列无穷个。的值也是有限个，或可列无穷个。2 2、定义：、定义：设二维离散型随机变量设二维离散型随机变量(x, y) 所所( ,),1,2,1,2,ijx yij有可能取的值为有可能取的值为(,) ,1,2, .ijijp xx yypi j，称为称为(x, y) 的的概率分布概率分布或或分布律分布律。yxy1y2yjx1p11p12

4、p1jx2p21p22p2jxipi1pi2pij3ijp、的性质：的性质：101,2,;1,2,ijpij（），(2)1ijijp (3)( , )ijijxx yyf x yp例例1：设有设有1010件产品，其中件产品，其中7 7件正品，件正品，3 3件次品。件次品。现从中任取两次，每次取一件，取后不放回。现从中任取两次，每次取一件，取后不放回。 令令: : x=1=1：若第一次取到的产品是次品，：若第一次取到的产品是次品， x=0=0：若第一次取到的产品是正品，：若第一次取到的产品是正品， y=1=1：若第二次取到的产品是次品，：若第二次取到的产品是次品， y=0=0：若第二次取到的产品

5、是正品。：若第二次取到的产品是正品。求求: : 二维随机向量二维随机向量( (x, y) )的概率分布。的概率分布。例例2 2：随机抽取随机抽取50005000名考生名考生x=1=1男男x=0=0女女y=1=1通过通过y=0=0未通过未通过1 1、 概率密度概率密度f(x, y) )，如果存在一个非负函数，如果存在一个非负函数f( (x, ,y),),使得使得则称则称( (x, ,y) )为连续型随机向量为连续型随机向量, ,f( (x, ,y) )为为(x,y)的的, ),(),(yxdudvvufyxf3.3 二维连续型随机向量二维连续型随机向量设二维随机向量设二维随机向量( (x, y)

6、 )的联合分布函数为的联合分布函数为对任意实数对任意实数 x, ,y, , 有有概率密度函数概率密度函数, , 简称概率密度。简称概率密度。. .2( , )f x y、的性质：(1)( , )0,f x yxy (2)( , )1f x y dxdy 2( , )(3)( , ),f x yf x yx y 在在 f (x, y)的连续点；的连续点； (4) ( , )( , ).dpx ydf x y dxdy例例 1：设设(x,y)(x,y)的联合概率密度为的联合概率密度为其中其中a是常数。是常数。(1).(1).求常数求常数a；(2).(2).求求( (x, ,y) )的分布函数；的分

7、布函数；(3).(3).计算计算 pp0x4, 0y5 。,)25)(16(),(222ryxyxayxf3 3、 均匀均匀分布分布d, ,若二维随机向量若二维随机向量( (x, y) )的联合概率密度为的联合概率密度为: :则称则称( (x, ,y) )为服从为服从 d上的均匀分布。上的均匀分布。 .),( ,0 ,),( ,/1),(dyxdyxdyxfa 的面积成正比，而与的面积成正比，而与a的位置和形状无关。的位置和形状无关。p(p(x, y) ) a=a的面积的面积/ /d. .定义定义: 设设d d是平面上的有界区域是平面上的有界区域, ,其面积为其面积为在在 d中某一区域中某一区域a内内的概率的概率 p(p(x, ,y) ) a,与与( (x, ,y) )落落例例2：设设( (x, y) )服从圆域服从圆域 x2 2+ +y2 244上的均匀分布，上的均匀分布，计算计算p(p(x, ,y) ) a ，这里，这里a是中阴影部分的区域。是中阴影部分的区域。 若二维随机向量若二维随机向量(x,y)有联合概率密度有联合概率密度, 2 )1 ( 21exp121),(22222112112221 yyxxyxf4 4、 二维二维正态分布正