行列式的计算方法.doc

1、计算 n 阶行列式的若干方法举例n 阶行列式的计算方法很多， 除非零元素较少时可利用定义计算（按照某一列或某一行展开完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。下面介绍几种常用的方法，并举例说明。1利用行列式定义直接计算0L0100L200例计算行列式 D nMM M Mn 1L0000L00n解Dn 中不为零的项用一般形式表示为a1n 1a2n 2 L an 11annn!.该项列标排列的逆序数 t （n1 n2 1n）等于(n 1)(n 2)，2(n 1)( n 2)故 Dn ( 1) 2 n

2、!.2利用行列式的性质计算例：一个n阶行列式Dnaij的元素满足 aaji,i , j1,2,L , n,n为反对称ij则称 D行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零 .证明：由 aijaji 知 aiiaii ，即 aii0, i1,2,L , n0a12a13La1na120a23La2n故 行 列 式 Dn 可 表 示 为 D na13a230La3n ， 由 行 列 式 的 性 质 AA ，LLLLLa1na2na3 nL00a12a13La1n0a12a13La1na120a23La2 na120a23La2n( 1)n D nDn a13a230La3 n( 1)na13a230La

3、3nLLLLLLLLLLaaaL0a1 na2na3 nL01n2 n3 n当 n 为奇数时，得 Dn =Dn，因而得 Dn = 0.3化为三角形行列式若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。化三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。这是计算行列式的基本方法重要方法之一。因为利用行列式的定义容易求得上（下）三角形行列式或对角形行列式的性质将行列式化为三角形行列式计算。原则上，每个行列式都可利用行列式的性质化为三角形行列式。但对于阶数高的行列式，在一般情况下，计算往往较繁。因此，在许多

4、情况下，总是先利用行列式的性质将其作为某种保值变形，再将其化为三角形行列式。1123133795例 1计算行列式 D204213571464410102解这是一个阶数不高的数值行列式，通常将它化为上（下）三角行列式来计算23 13 2 14 3 15 4 1D11 23 11123 11-12-3 1001 023020410204-102042001 0420-10-21200215 30215 3001-1 20022200222002 2-24311231112310304102041525230102401021 211612 .00000100001000026000061a1a2a

5、3Lana11 a2a3Lan例2计算 n 阶行列式 Da1a21 a3Lan LLLLLa1a2a3L1 an解这个行列式每一列的元素，除了主对角线上的外，都是相同的，且各列的结构相似，因此 n 列之和全同将第2，3， ， n 列都加到第一列上，就可以提出公因子且使第一列的元素全是 11iDi2,L , ni 1i 2,L , n1a1a2L ana2a31a1a2Lan1 a2a31a1a2L ana21 a3LLL1a1a2Lana2a31a2a3Lann010L01ai001L01i 1LLLL L000L1Lan1a2a3LanLan11 a2a3LannLan1ai 1a21 a3

6、LanLLi 1LLLLLL1 an1a2a3L1 annnai g11ai.i1i1abbLbbabLb例 3计算 n 阶行列式DbbaLbLLLLLbbbLa解：这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第2，3， ，n 列都加到第 1 列上，行列式不变，得a (n 1)b b b Lb1b b Lba (n 1)b a bLb1a bLbD a (n 1)b b aLb a (n 1)b 1 b aLbLLLLLLL LLLa (n 1)b b bLa1b bLa1bbLb0ab0L0 a (n1)b( ab) n 1 a ( n 1)b 00ab L0LLLLL0

7、00Lab例 4：浙江大学 2004 年攻读硕士研究生入学考试试题第一大题第2 小题（重庆大学 2004 年攻读硕士研究生入学考试试题第三大题第1 小题）的解答中需要计算如下行列式的值：123Ln1n234Ln1Dn345L12M M MMMn12Ln2n1分析 显然若直接化为三角形行列式，计算很繁，所以我们要充分利用行列式的性质。注意到从第 1 列开始；每一列与它一列中有 n-1 个数是差 1 的，根据行列式的性质， 先从第 n-1 列开始乘以 1 加到第 n 列，第 n-2 列乘以 1 加到第 n-1 列，一直到第一列乘以 1 加到第 2 列。然后把第 1 行乘以 1 加到各行去，再将其化

8、为三角形行列式，计算就简单多了。解：11 1L1111 1L11211L1 1 n10 0 L0nDn3 1 1L( i2,L , n)0 0Ln 01 n 1ri2MMMMMr1M MMMMn 1 n 1L11n 1 n 0L001Ln0L0000L0n10L0n( i 2,L , n)00Ln020Ln0111 n(n1) MMMMr1MMM Mrinn20nL00nn20L00n0L00n1nL001n(n1) (n) n 1( n1)( n2)( 1)2n2(n1)nn 11n (n1)224降阶法（ 按行（列）展开法）降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是

9、用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是根据行列式的特点，先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开。123L181920212L171819例 1、计算 20 阶行列式 D20 321L161718MMMMMM201918L321分析 这个行列式中没有一个零元素，若直接应用按行（列）展开法逐次降阶直至化许许多多个2阶行列式计算， 需进行 20！*20 1 次加减法和乘法运算， 这人根本是无法完成的， 更何况是 n 阶。但若利用行列式的性质将其化为有很多零元素，则很快就可算出结果。注意到此行列式的相邻两列（行）的对应元素仅差1，因此，可按下述方法计算：解：1

10、23L181920212L171819D20321L161718MMMMMM201918L321111L111211L111ci 1ci311L111( i1, L 19)MMMMMM1911L1112011L111111L111302L222(i2,L ,20)400L22220 121821 218MMMMM21(1)rir1M2000L0022100L000a00L010a0L00例 2计算 n 阶行列式 D n00aL00M M MM M000La0100L0aa00L00a0L00a0L000aL0解将 Dn 按第 1 行展开 Dn a 00aL0( 1)n 1 MMMMMMMM00

11、0La000La100L0an(1)n 1 ( 1)n an 2anan 2.a00L010a0L00例3计算 n（n2）阶行列式 D00aL00LLLLLL100L0aa0L000a0L000aL00aL001nLLLL 解 按第一行展开，得D aLLLL1LL000La00L0a100L0再将上式等号右边的第二个行列式按第一列展开，则可得到D an1 1 n1 n 1 1 an 2anan 2an 2 a2 1 5递（逆）推公式法递推法是根据行列式的构造特点，建立起与 的递推关系式，逐步推下去，从而求出的值。有时也可以找到与 ， 的递推关系，最后利用， 得到的值。注意用此方法一定要看行列式

12、是否具有较低阶的相同结构如果没有的话，即很难找出递推关系式，从而不能使用此方法。000100例 1 计算行列式D n0100.0000001解：将行列式按第 n 列展开 ,有 D n() D n 1D n 2 ,DnDn 1(Dn 1Dn 2 ), DnDn 1( Dn 1D n 2 ),得D nD n 12 (D n 2D n 3 )n 2 (D 2D1 )n 。(n 1) n ,;同理得D nD n 1n ,Dnn 1n 1.,axxxyaxx例 2计算 Dn yyaxyyya解ayxxxyxxx0axxyaxxD n0yaxyyax0yyay yya10001a x00( a y) D

13、n 1y 1y xa x01yxyxa x(ay) Dn 1y(ax) n 1同理 Dn( ax)D n 1x(ay) n 1nn联立解得 Dnx(ay）y(ax), (xy)xy当 xy 时 ,Dn(ax)Dn 1x(ax)n1(ax) 2 Dn 22x(ax) n1LLLL(ax) n 2 D2(n2) x( a x)n 1( ax) n 1a (n 1)xx10L000x1L00例 3计算 n 阶行列式Dn00xL00LLLLLL000Lx1anan 1an 2L a2a1 x解首先建立递推关系式按第一列展开，得：x10L00100L000x1L00x10L0000xL 00Dnn 1x

14、Dn 1n 11n 1xLLLLL1 an 0 x 1 L 0 01 anxDn 1 an，LLLLLLL000Lx1000Lx1an 1an 2an 3 L a2a1x这里 Dn 1 与 Dn 有相同的结构，但阶数是n1的行列式现在，利用递推关系式计算结果对此，只需反复进行代换，得：Dn x xDn 2 an 1an x2 Dn 2 an 1x an x2 xDn 3 an 2 an 1x an L L xn 1D1 a2xn 2 L an 2x2 an 1x an ，因 D1 x a1x a1 ，故 Dn xna1 xn 1 L an 1 x an 最后，用数学归纳法证明这样得到的结果是正

15、确的当 n1 时，显然成立设对n1阶的情形结果正确，往证对n 阶的情形也正确由DnxDa x xn 1a xn 2L ax aa xna xn 1L ax a ，、n 1n1n 2n 1n1n 1n可知，对 n 阶的行列式结果也成立根据归纳法原理，对任意的正整数n，结论成立210L000例4121L000证明 n 阶行列式LLLLLD nLLn 1000L121000L012210L000100L000121L000121L000证明按第一列展开，得 D n 2 LLLLLLLLLLLLLL 000L1210 00L121000L0120 00L012其中，等号右边的第一个行列式是与Dn 有相

16、同结构但阶数为 n 1的行列式，记作 D n 1 ；第二个行列式，若将它按第一列展开就得到一个也与Dn 有相同结构但阶数为 n 2 的行列式，记作 D n 2 这样，就有递推关系式： Dn 2Dn 1Dn2 因为已将原行列式的结果给出，我们可根据得到的递推关系式来证明这个结果是正确的当 n 1 时， D1 2 ，结论正确当 n2时， D22113 ，结论正确2设对 k n 1的情形结论正确，往证 kn 时结论也正确由 Dn 2Dn 1 Dn 2 2n n 1 n1可知，对 n 阶行列式结果也成立根据归纳法原理，对任意的正整数n，结论成立例 5、 2003 年福州大学研究生入学考试试题第二大题第

17、10 小题要证如下行列式等式：0L001L00Dn01L00MMMMM000L1n 1n 1证明 ： Dn, 其中（虽然这是一道证明题，但我们可以直接求出其值，从而证之。）分析 此行列式的特点是：除主对角线及其上下两条对角线的元素外，其余的元素都为零，这种行列式称“三对角”行列式 1。从行列式的左上方往右下方看，即知D与Dn具有相同的结n-1构。因此可考虑利用递推关系式计算。证明： Dn 按第 1 列展开，再将展开后的第二项中n-1 阶行列式按第一行展开有：D n （ ） D n1Dn2这是由 Dn-1和 Dn-2 表示 Dn 的递推关系式。 若由上面的递推关系式从n 阶逐阶往低阶递推， 计算

18、较繁，注意到上面的递推关系式是由n-1 阶和 n-2 阶行列式表示 n 阶行列式，因此，可考虑将其变形为：D n Dn1 D n1D n2（ Dn1 Dn 2）或 Dn D n1 Dn1Dn2 （ Dn1 D n2）现可反复用低阶代替高阶，有：D D（D2 D 3D D ）D）（D） （nn 1n 1n 2n 2n 3n 3n 4L n2n 2()2()nLL(1)（D2 D1）=同样有：Dn Dn1 （Dn123Dn 2） （Dn2Dn3） （Dn3 Dn4）L n2n 2()2()nLL(2)（D2 D1）=因此当时n 1n1由（ 1）（2）式可解得： Dn，证毕。6利用范德蒙行列式根据行

19、列式的特点，适当变形（利用行列式的性质如：提取公因式；互换两行（列）；一行乘以适当的数加到另一行（列）去； .) 把所求行列式化成已知的或简单的形式。其中范德蒙行列式就是一种。这种变形法是计算行列式最常用的方法。11L1例 1x11x21Lxn1计算行列式 Dx12x1x22x2Lxn2xnMMMx1n 1x1n 2x2n 1x2n 2Lxnn 1xnn 2解把第 1 行的 1 倍加到第 2 行，把新的第 2 行的 1 倍加到第 3 行，以此类推直到把新的第 n1 行的 1 倍加到第 n 行，便得范德蒙行列式11L1x1x2LxnDx12x22Lxn2(xi x j )MMn ij 1Mx1n

20、 1x2n 1Lxnn 1a1na1n 1b1a1n 2b12La1b1n 1b1n例 2a2na2n 1b2a2n 2b22La2b2n 1b2n其中 a aL a0 计算n1阶行列式 DLLLLLL1 2n 1ann 1ann 11bn 1ann 12bn2 1 Lan 1bnn 11 bnn 1解这个行列式的每一行元素的形状都是ain k bik， k0，1，2， ，n即 ai 按降幂排列， bi按升幂排列，且次数之和都是n，又因 ai0 ，若在第 i 行（ i1， 2， ， n）提出公因子 ain，则D 可化为一个转置的范德蒙行列式，即b1b12b1n1La1a1a1b2b22b2nn

21、nn1Ln 1nbib ja2a 2a 2bi a j ai b j .D a1a2L an 1aiaia jLLLLLi 11 j i n 11 j i n 1bnbn2bnn111L1ananan111xyz例 3计算行列式 Dx2y 2z2.yzxzxy解：(3 ) ( y z)(1)xyzx2y2z2Dxyxzyzy2yzxzyzz2xy(3) x(1)xyzx2y2z2x2xyyzxzy2xyyzxzz2xy yz xz(xyyzxz)( yx)( zx)(zy)111x 1x 2x n例 4x 12x 22x n2计算行列式 D nx 1n 2x 2n 2x nn 2x 1nx 2

22、nx nn解作如下行列式 ,使之配成范德蒙行列式11x 1x 2x 12x 22P ( y )x 1n2x 2n2x 1n1x 2n1x 1nx 2n易 知 D n等 于 P( y) 中 y n 1n11x nyx n2y 2n( y xi )( xi x j )=x nn2y n2i 11j i nx nn1y n1x nny n的 系 数 的 相 反 数 , 而 P( y) 中 y n 1的系数为nx k( x ix j ),因此 , D nx k( xix j )k11jink11jin例 5、 计算 n 阶行列式(an1)n 1(an2)n 1L(a1)n 1an 1(an1)n 2(

23、an2)n 2L(a1)n 2an 2DnMMMMan1an2La1a11L11解：显然该题与范德蒙行列式很相似，但还是有所不同， 所以先利用行列式的性质把它化为范德蒙行列式的类型。先将的第 n 行依次与第 n-1 行， n-2行， ,2 行， 1 行对换，再将得到到的新的行列式的第 n行与第 n-1 行， n-2 行， ,2 行对换，继续仿此作法，直到最后将第n 行与第 n-1 行对换，这样，共经过（ n-1）+（n-2）+ +2+1=n（n-1）/2 次行对换后，得到11L11n( n 1)a n 1a n 2La 1aDn ( 1) 2MMMM(a n 1)n 2(a n 2)n 2L(

24、 a 1)n 2an 2(a n 1)n 1(a n 2)n 1L( a 1)n 1a n 1上式右端的行列式已是范德蒙行列式，故利用范德蒙行列式的结果得：n (n 1)n ( n 1)Dn ( 1) 2( a n i) (a n j ) ( 1) 2(i j )1 ji n1 j i n7加边法（升阶法）加边法（又称升阶法）是在原行列式中增加一行一列，且保持原行列式不变的方法。它要求： 1 保持原行列式的值不变；2 新行列式的值容易计算。根据需要和原行列式的特点选取所加的行和列。加边法适用于某一行（列）有一个相同的字母外，也可用于其第 列（行）的元素分别为 n-1 个元素的倍数的情况。xa1

25、a2Lana1xa2Lan例 1计算 n 阶行列式 D na1a2LanLLLLa1a2Lxan1 a La1a1a 2La n01n1x0L0第 i 行减第1行解： DnDni2, L, n 1 10xL0MLLLLL0100Lx1na ja1a2Lanj 1xna jxn10x0L0x00xL0j1000Lx1a111L111 a21L1例 2计算 n（ n 2）阶行列式 Dn111 a3L1，其中 a1a2 L an 0 LLLLL111L1 an解先将 Dn 添上一行一列，变成下面的n1阶行列式：111L101 a11L1显然， Dn 1 Dn D n 1011 a2L1LLLLL01

26、1L1an将 D n 1 的 第 一 行 乘 以 1 后 加 到 其 余 各 行 ， 得111L11a10L0D n 11 01 a 2L0LLLLL100La n因 ai0 ，将上面这个行列式第一列加第i（ i2， ， n1）列的1 倍，得：ai1111L1n11L1111a10L0i 1ai0a10L0Dn Dn 11 0 a2L000a2L0LLLLLLLLLL100Lan000Lana10L0n 10a2L0a1a2 L ann 1n1L LL L1i 1 aii 1 ai00Lan8数学归纳法当 与 是同型的行列式时，可考虑用数学归纳法求之。 一般是利用不完全归纳法寻找出行列式的猜想

27、值，再用数学归纳法给出猜想的证明。因此，数学归纳法一般是用来证明行列式等式。因为给定一个行列式，要猜想其值是比较难的，所以是先给定其值，然后再去证明。（数学归纳法的步骤大家都比较熟悉，这里就不再说了）x10L000x1L00例 1计算 n 阶行列式 Dn LLLLLL000Lx1anan 1an 2L a2a1 x解：用数学归纳法 . 当 n = 2 时， D2xx1x(xa1 ) a2x2a1 xa2a2a1假设 n = k 时，有Dkxka1 xk 1a2 xk 2Lak 1 x ak则当 n = k+1 时，把 Dk+1 按第一列展开，得D k 1xDk ak 1x( xka1 xk 1

28、L ak 1x ak ) ak 1xk 1a1xkL ak 1 x2ak x ak 1由此，对任意的正整数n，有 Dnxna1 xn 1Lan 2 x2an 1xancos1000例 212 cos100计算行列式012 cos00 .Dn0002cos100012cos解： D1cos,D 2cos 2,于是猜想D ncos n.证明：对级数用第二数学归纳法证明.n 1时,结论成立 .假设对级数小于 n 时，结论成立 .将 n 级行列式按第 n 行展开，有cos100012 cos100Dn 2 cos Dn 1 ( 1) 2 n 1012 cos000002 cos000011n 12 cosD n 1(1) 2n 1