D72可分离变量微分方程58396PPT学习教案

1、会计学1D72可分离变量微分方程可分离变量微分方程58396可分离变量的方程求通解的步骤是可分离变量的方程求通解的步骤是: :1.分离变量，的形式；把方程化为xxyyd)(d)(;d)(d)(Cxxyy2.上式两端积分其中其中C为任意常数为任意常数.由上式确定的函数由上式确定的函数),(Cxyy 就是方程的通解（隐式通解）就是方程的通解（隐式通解）这种解方程的方法称为这种解方程的方法称为变量分离法第1页/共16页xxfyygd)(d)(设 y (x) 是方程的解, xxfxxxgd)(d)()(两边积分, 得 yygd)(xxfd)(CxFyG)()(则有恒等式 当G(y)与F(x) 可微且

2、G (y) g(y) 0 时, 的隐函数 y (x) 是的解. 则有称为方程的隐式通解, 或通积分.同样, 当 F (x) = f (x)0 时, 由确定的隐函数 x(y) 也是的解. 设左右两端的原函数分别为 G(y), F(x), 说明由确定第2页/共16页yxxy23dd的通解.解解: 分离变量得xxyyd3d2两边积分xxyyd3d2得13lnCxyCxylnln3即13eCxy31eexC3exCy 1eCC令( C 为任意常数 )或或说明说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形, 因此可能增、减解.( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )第3页/共16页0d)1(d2yxxy

3、x解解: 分离变量得xxxyyd1d2两边积分得Cxyln11lnln2即Cxy12由初始条件得 C = 1,112xy( C 为任意常数 )故所求特解为 1)0(y第4页/共16页) 1(sin2yxy解解: 令 , 1yxu则yu1故有uu2sin1即xuuddsec2Cxutan解得Cxyx) 1tan( C 为任意常数 )所求通解:第5页/共16页.edd的通解求方程yxxy解法解法 1 分离变量xyxydedeCxyee即01e)e(yxC( C 0 )解法解法 2, yxu令yu1则故有uue1积分Cxuue1dCxuu)e1 (ln( C 为任意常数 )所求通解:Cyyx)e1(

4、lnuuuude1e)e1 (积分第6页/共16页子的含量 M 成正比,0M求在衰变过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律. 解解: 根据题意, 有)0(ddMtM00MMt(初始条件)对方程分离变量, MMd,lnlnCtM得即tCMe利用初始条件, 得0MC 故所求铀的变化规律为.e0tMM然后积分:td)(已知 t = 0 时铀的含量为已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原M0MtO第7页/共16页成正比,求解解: 根据牛顿第二定律列方程tvmdd00tv初始条件为对方程分离变量,mtvkmgvdd然后积分 :得Cmtvkgmk)(ln1)0( vkgm此处利用初始条件, 得)

5、(ln1gmkC代入上式后化简, 得特解并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0,)e1 (tmkkgmvmgvk设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度 降落伞下落速度与时间的函数关系. kgmv t 足够大时第8页/共16页m1.cm12S开始时容器内盛满了水,从小孔流出过程中, 容器里水面的高度 h 随时间 t 的变r解解: 由水力学知, 水从孔口流出的流量为tVQddhgSk2即thgSkVd2d求水小孔横截面积化规律.流量系数孔口截面面积重力加速度设在d,ttt内水面高度由 h 降到 ),0d(dhhhhhdhhO第9页/共16页对应流出的体积hrVdd222)1 (1hr

6、22hh 2d(2)dVhhh 因此得微分方程定解问题:22d(2)dkSgh thhh 10th将方程分离变量:3122d(2)d2thhhk Sg m1rhhdhhO第10页/共16页两端积分, 得2tk Sg 2334( h)5225Ch 利用初始条件, 得,1514C则得容10th器内水面高度 h 与时间 t 的关系:(s)737101(10068. 125234hht可见水流完所需时间为(s)10068. 14tm1rhhdhhO 因此352214103(1)77152thhk Sg代入上式，以224sm8 . 9,m10,62. 0gSk第11页/共16页1. 微分方程的概念微分方

7、程;定解条件;2. 可分离变量方程的求解方法:说明说明: 通解不一定是方程的全部解 .0)(yyx有解后者是通解 , 但不包含前一个解 .例如, 方程分离变量后积分; 根据定解条件定常数 .解; 阶;通解; 特解 y = x 及 y = C 第12页/共16页(1) 找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.常用的方法常用的方法:1) 根据几何关系列方程 ( 如: P298 题5(2) ) 2) 根据物理规律列方程3) 根据微量分析平衡关系列方程(2) 利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件.(3) 求通解, 并根据定解条件确定特解. 例4例5例6第13页/共16页 求下列方程的通解 :0d)(d)() 1(22yyyxxyxx提示提示:xxxyyyd1d122)sin()sin()2(yxyxy(1)