线性离散系统与Z变换

1、第第6章章 离散控制系统与离散控制系统与Z变换变换n前面讨论的均为连续控制系统，而在工程中前面讨论的均为连续控制系统，而在工程中还存在包含离散信号的离散控制系统。还存在包含离散信号的离散控制系统。n对于连续系统，用微分方程来描述对于连续系统，用微分方程来描述,采用拉普采用拉普拉斯变换方法进行分析；对于离散系统，采拉斯变换方法进行分析；对于离散系统，采用用差分方程差分方程描述，用描述，用Z变换方法进行分析变换方法进行分析。n本章在介绍信号采样与保持的数学描述及本章在介绍信号采样与保持的数学描述及Z变换理论的基础上，主要讨论线性离散系统变换理论的基础上，主要讨论线性离散系统的分析与校正方法。的分析

2、与校正方法。第第6章章 离散控制系统与离散控制系统与Z变换变换6.1 概述概述6.2 采样过程与采样定理采样过程与采样定理6.3 Z变换和变换和Z反变换反变换6.4 脉冲传递函数脉冲传递函数6.5 离散系统的稳定性分析离散系统的稳定性分析6.6 数字控制器与离散数字控制器与离散PID控制控制6.1 概述概述n在连续控制系统中，所有传递的信号（控制在连续控制系统中，所有传递的信号（控制信号、反馈信号、偏差信号）都是时间的连信号、反馈信号、偏差信号）都是时间的连续函数；而在离散控制系统中，续函数；而在离散控制系统中，上述信号不上述信号不是时间变量的连续函数，而是时间上离散的是时间变量的连续函数，而

3、是时间上离散的脉冲序列或数码脉冲序列或数码，即离散信号。，即离散信号。n离散信号通常是按照一定的时间间隔对连续离散信号通常是按照一定的时间间隔对连续的模拟信号进行的模拟信号进行采样采样而得到的，这样的信号而得到的，这样的信号又称为又称为采样信号采样信号。n通常把用采样开关（采样器）将连续信通常把用采样开关（采样器）将连续信号转换为脉冲序列形式的离散系统称为号转换为脉冲序列形式的离散系统称为采样控制系统采样控制系统或或脉冲控制系统脉冲控制系统。n把用模把用模-数转换器（数转换器（A/D）将连续信号转）将连续信号转换为数字序列形式并用数字计算机或控换为数字序列形式并用数字计算机或控制器进行控制的离

4、散系统称为制器进行控制的离散系统称为数字控制数字控制系统系统或或计算机控制系统计算机控制系统。图6-1 为典型的闭环采样控制系统原理图连续偏差信号瞬时脉冲幅值实现脉冲序列转换为连续信号图图6-16-1典型的闭环采样控制系统原理图典型的闭环采样控制系统原理图图6-2 为典型的计算机控制系统原理图图图6-2 6-2 典型计算机控制系统原理图典型计算机控制系统原理图图6-3 为计算机控制系统结构图理想采样开关图图6-3 6-3 计算机控制系统结构图计算机控制系统结构图离散控制系统广泛应用的主要原因离散控制系统广泛应用的主要原因：（1）由数字计算机构成的数字校正装置易于通过）由数字计算机构成的数字校正

5、装置易于通过改变计算程序而灵活地实现控制规律的改变改变计算程序而灵活地实现控制规律的改变 （如自适应、最优化、智能控制等），从而可以（如自适应、最优化、智能控制等），从而可以大大地提高控制系统的性能；大大地提高控制系统的性能；（2）采用高灵敏度的控制元件，可以）采用高灵敏度的控制元件，可以提高系统的提高系统的控制精度控制精度；（3）离散信号的传递可以有效地）离散信号的传递可以有效地抑制噪声抑制噪声，提高，提高系统的抗干扰能力；系统的抗干扰能力；（4）用一台计算机分时控制若干个被控对象，以）用一台计算机分时控制若干个被控对象，以提高设备的利用率提高设备的利用率。6.2 6.2 采样过程与采样定理

6、采样过程与采样定理一、采样过程一、采样过程二、采样定理二、采样定理 采样信号的拉氏变换采样信号的拉氏变换 采样信号的频谱采样信号的频谱 采样定理采样定理三、信号保持三、信号保持一、采样过程一、采样过程n采样过程采样过程，即按照一定的时间间隔对连续信号，即按照一定的时间间隔对连续信号进行采样，将其变换为在时间上离散的脉冲序进行采样，将其变换为在时间上离散的脉冲序列的过程。列的过程。n把连续信号转换为脉冲序列的装置称为把连续信号转换为脉冲序列的装置称为采样器采样器，又称又称采样开关采样开关。图6-4 采样过程采样器每隔时间采样器每隔时间T T瞬时闭合一下立即瞬时闭合一下立即打开，闭合的时间为打开，

7、闭合的时间为，当信号，当信号x(t)加加在输入端时，在输出端得到的是开关闭在输入端时，在输出端得到的是开关闭合瞬时输入信号合瞬时输入信号x(t)的幅值，在开关打的幅值，在开关打开的时间内，输出端没有信号。开的时间内，输出端没有信号。图图6-4 6-4 采样过程采样过程图6-5 采样信号的调制过程图图6-5 6-5 采样信号的调制过程采样信号的调制过程实际脉冲序列数学表达式实际脉冲序列数学表达式: :)0.()()(00*httnTtn当实际脉冲持续时间当实际脉冲持续时间h h远远小于采样周期远远小于采样周期T T0 0时，实际脉时，实际脉冲序列可近似用冲序列可近似用平顶脉冲序列平顶脉冲序列表示

8、。表示。)( 1)( 1 1)()(0000hnTtnTthnTtn其中其中)( 1)( 1 100hnTtnTth表示发生在表示发生在nTnT0 0时刻单位强度脉冲时刻单位强度脉冲 )( 1)( 1 1)(000hnTtnTthnT表示发生在表示发生在nTnT0 0时刻强度为时刻强度为(nT(nT0 0) )脉冲脉冲 当脉冲持续时间当脉冲持续时间h远远小于小于周期远远小于小于周期T0，同时也远远，同时也远远小于用以描述数字控制系统中具有连续工作状态部分小于用以描述数字控制系统中具有连续工作状态部分惯性的时间常数时，惯性的时间常数时，)()()(000*nTtnTtn式中式中)(0nTt表示发

9、生在表示发生在t=nTt=nT0 0时刻的具有单位强度的理时刻的具有单位强度的理想脉冲，即想脉冲，即 1)(, 0,)(0000dtnTtnTtnTtnTt从物理意义上讲，上述采样过程可以理解为脉冲调制过从物理意义上讲，上述采样过程可以理解为脉冲调制过程。采样器是一种理想脉冲发生器，通过它将连续函数程。采样器是一种理想脉冲发生器，通过它将连续函数调制成理想脉冲序列。调制成理想脉冲序列。二、采样定理二、采样定理1 1、采样信号的拉氏变换、采样信号的拉氏变换2 2、采样信号的频谱、采样信号的频谱3 3、采样定理、采样定理1、采样信号的拉氏变换、采样信号的拉氏变换2 2、采样信号的频谱、采样信号的频

10、谱n由于采样信号由于采样信号x x* *(t)(t)只描述了只描述了x(t)x(t)在采样瞬时的在采样瞬时的数值，所以数值，所以X X* *(s)(s)不能给出连续函数不能给出连续函数x(t)x(t)在采样在采样间隔之间的信息。因此，采样信号的频谱与连间隔之间的信息。因此，采样信号的频谱与连续信号的频谱相比要发生变化。续信号的频谱相比要发生变化。n研究采样信号的频谱，目的是找出研究采样信号的频谱，目的是找出X X* *(s)(s)与与X(s)X(s)之间的相互联系。之间的相互联系。 图 6-7连续信号的频谱连续信号的频谱通常连续信号通常连续信号x(t)x(t)的频谱的频谱|X(j)|X(j)|

11、是单一的连续频谱，如是单一的连续频谱，如图图6-76-7所示。其中所示。其中maxmax为连续频谱的最大截止频率；为连续频谱的最大截止频率； nsjnsXTtxLsX)()()(* 1离散信号离散信号x x* *(t)(t)的频谱则是以采样角频率的频谱则是以采样角频率s s为周期的为周期的无穷多个频谱之和，如图无穷多个频谱之和，如图6-86-8所示，其中所示，其中n=0n=0时，时，|X(j)|X(j)|为采样频谱的主频谱，其余频谱为采样频谱的主频谱，其余频谱（n=n=1,1,2,2,）都是由于采样而引起的高频频谱）都是由于采样而引起的高频频谱。图6-8 离散信号的频谱根据采样角频率根据采样角

12、频率s s的大小，采样频谱可能有两种情况：一种是采样角频率的大小，采样频谱可能有两种情况：一种是采样角频率s s大大于两倍的连续频谱的最大截止频率于两倍的连续频谱的最大截止频率maxmax，即，即s s22maxmax，此时，采样信号的频谱，此时，采样信号的频谱不会发生重迭，如图不会发生重迭，如图6-8(a)6-8(a)所示；另一种情况是当所示；另一种情况是当s s22maxmax时，采样信号的频时，采样信号的频谱相互发生重迭，如图谱相互发生重迭，如图6-8(b)6-8(b)所示。所示。图图6-8 6-8 离散信号的频谱离散信号的频谱图7-7 离散信号的频谱当当s2max时，如果用一个如图时，

13、如果用一个如图6-8（a）虚线所示的低通滤波器滤掉）虚线所示的低通滤波器滤掉|max的高频分量，那么在滤波器输出端便可得到的高频分量，那么在滤波器输出端便可得到|X(j)|的连续频谱，的连续频谱，除了幅值变化除了幅值变化1/T倍外，频谱形状没有畸变，从而可以将原信号恢复出来。当倍外，频谱形状没有畸变，从而可以将原信号恢复出来。当s2max,，而不取恰好等于2max的情形。三、信号保持（三、信号保持（1）n在离散控制系统中，把离散脉冲序列较准确的转变为连续信号的过程称为信号复现过程。实现复现过程的装置称为保持器。n从数学上说，保持器的任务是解决各采样点之间的插值问题。三、信号保持（三、信号保持（

14、2）n在满足采样定理的条件下，采用理想滤波器滤去各高频分量，保留主频谱，就可以无失真的复现采样器的输入信号。n理想滤波器实际上是不存在的。工程上，通常只能采用接近于理想滤波器的低通滤波器来近似代替。图6-9 零阶保持器的输出特性 零阶保持（滞后）图图6-9 6-9 零阶保持器的输出特性零阶保持器的输出特性图6-10 零阶保持器的频率特性 图图6-10 6-10 零阶保持器的频率特性图零阶保持器的频率特性图图6-10 零阶保持器的频率特性 幅频特性的幅值随频率值的增大而迅速衰减，具有明显的低通滤波器的作用，但不是理想的滤波器，因为它除了允许主频谱分量通过外，还允许部分高频分量通过，从而造成数字控

15、制系统的输出存在纹波。另外，零阶保持器的相角产生滞后，且随着的增大而加大，对闭环系统的稳定性不利。6.3 Z变换和Z反变换nZ变换是从拉氏变换引伸出来的一种变换变换是从拉氏变换引伸出来的一种变换方法。方法。利用利用Z变换可将描述离散系统动态变换可将描述离散系统动态过程的差分方程转换为代数方程过程的差分方程转换为代数方程，使求解，使求解过程大为简化。因此，过程大为简化。因此，Z变换成为分析离变换成为分析离散控制系统的重要数学工具。散控制系统的重要数学工具。6.3 Z变换和Z反变换一、一、Z变换的定义变换的定义二、二、Z变换的基本定理变换的基本定理 1、线性定理、线性定理 2、滞后定理、滞后定理

16、3、超前定理、超前定理 4、初值定理、初值定理 5、终值定理、终值定理 6、位移定理、位移定理三、三、Z反变换反变换一、一、Z变换的定义变换的定义(1)n由连续函数x(t)得拉氏变换为设x(t)的采样信号为x*(t)，则其拉氏变换式为一、一、Z变换的定义变换的定义(2)n在上式中，e-Ts是s的超越函数，不便直接运算。为了便于应用，令变量 z=eTs （6-16）将式（6-16）代入式（6-15）中，则采样信号x*(t)的Z变换定义为一、一、Z变换的定义变换的定义(3)nZ变换是拉氏变换的一种变形。Z变换只是表示了连续信号在采样时刻的特性，并不能反映采样时刻之间的特性。n上式中Zx(t)是为了

17、书写方便，并不意味着对连续信号x(t)取Z变换，而是仍指采样信号x*(t)的Z变换。例例6-1 求单位阶跃函数l(t)的Z变换。解解单位阶跃函数在各个采样时刻的值均为 1，即 l(nT)=1, n=0,1,2 ， 则Zl(t)=0)( 1nnTz-n=1+z-1+z-2+z-n+ =111 z=1zz例例6-2 求指数函数e-t的Z变换。例例6-3求 G(s)=)(bssb 的 Z 变换。解 G (s)=)(bssb=s1-bs 1上 式 中 ，s1所 对 应 的 时 间 函 数 为 l(t),bs 1所 对 应 的 时 间 函 数 为 e-bt。n对于任意对于任意G(s)G(s)，只要它为，

18、只要它为s s的有理函数，且分的有理函数，且分母多项式能够分解因式时，都可以通过部分分母多项式能够分解因式时，都可以通过部分分式法，将其分解为部分分式，然后求出相应的式法，将其分解为部分分式，然后求出相应的Z Z变换式。变换式。n附录中列出了常用时间函数的附录中列出了常用时间函数的Z Z变换和拉普拉变换和拉普拉斯变换式，利用此表可以根据给定的时间函数斯变换式，利用此表可以根据给定的时间函数或拉普拉斯变换式直接查出对应的或拉普拉斯变换式直接查出对应的Z Z变换。变换。二、二、Z Z变换的基本定理变换的基本定理1、线性定理、线性定理2、滞后定理、滞后定理3、超前定理、超前定理 4、初值定理、初值定

19、理5、终值定理、终值定理6、位移定理、位移定理1 1、线性定理、线性定理nZ变换也遵从线性函数的齐次性和迭加性。2 2、滞后定理、滞后定理( (平移定理平移定理) )n若函数x(t-mT)比函数x(t)右移（滞后）m个采样周期，且x(t)的Z变换为X(z),则有滞后定理说明，原函数在时域中滞后滞后定理说明，原函数在时域中滞后m m个采样个采样周期，相当于其周期，相当于其Z Z变换乘以变换乘以z z-m-m。 显然，算子显然，算子z z-m-m有明确的物理意义：有明确的物理意义：z z-m-m代表时域中的滞后环节代表时域中的滞后环节，它将采样信号滞后，它将采样信号滞后m m个采样周期。个采样周期

20、。3、超前定理、超前定理(正偏移定理正偏移定理)n若函数x(t+mT)比函数x(t)左移（超前）m个采样周期，且x(t) 的Z变换为X(z)，则超前定理说明，原函数在时域中超前超前定理说明，原函数在时域中超前m m个个采样周期，相当于其采样周期，相当于其Z Z变换乘以变换乘以z zm m。4、初值定理、初值定理5、终值定理、终值定理Z 变换的终值定理形式亦可以表示为)()1 (lim)(lim)(11zXznTxxzn在离散系统分析中，常利用终值定理来求取系统输出序列的稳态误差。6、复数位移定理、复数位移定理三、三、Z Z变换方法变换方法1、级数求和法、级数求和法2、部分分式法、部分分式法3、

21、留数计算法、留数计算法 2.2.部分分式法部分分式法设连续时间函数x(t)的拉氏变换X(s)为有理函数，即将X(s)展成部分分式形式可得由拉氏反变换可知, 的时间函数为可得, (s)的Z变换为 的Z变换为例例6.36.3、6.46.43.3.留数计算法留数计算法设连续时间函数x(t)的拉氏变换X(s)及其全部极点pi（i=1,2,3)为已知，则连续时间函数x(t)的Z变换可由留数计算法求得例例6.56.5、6.66.6四、四、Z Z反变换反变换2.2.部分分式法部分分式法与应用部分分式法求拉氏反变换相似。与它对应的时间函数为式中Z变换为所以x(t)的变换为可得例例6.116.11、6.126.

22、123. 3. 留数计算法留数计算法 1 -0)()(nzzXresnTx 由反演积分法推导出，参见胡寿松（第四版）教材。由反演积分法推导出，参见胡寿松（第四版）教材。 例例6.136.13、6.146.14、6.156.15根据根据 的极点分布情况，的极点分布情况， )()()(zDzMzX （1 1）极点不同时，）极点不同时，五、连续系统的离散化方程差分方程五、连续系统的离散化方程差分方程差分方程是用来描述离散化系统的一种数学模型。对于一般的离散系统，如果它的Z变换可以写成则根据Z反变换，它的差分方程可以写成如下例例 6.166.16、6.176.17六、用六、用Z变换法求解差分方程变换法

23、求解差分方程 用用Z Z变换法求解差分方程，与用拉氏变换法变换法求解差分方程，与用拉氏变换法求解微分方程类似。求解微分方程类似。 采用采用Z Z变换法求解差分方程的实质是将差分变换法求解差分方程的实质是将差分方程变换成以方程变换成以z z为变量的代数方程，通过该代数为变量的代数方程，通过该代数方程，获得差分方程的解。方程，获得差分方程的解。六、用六、用Z变换法求解差分方程变换法求解差分方程设设x(k)的的Z变换为变换为Zx(k)=X(z)，则，则x(k+1)的的Z变换变换为为同样，当同样，当mm为正整数时，则有为正整数时，则有例例 6.186.18、6.196.196.4 6.4 脉冲传递函数

24、脉冲传递函数1 1、脉冲传递函数的定义、脉冲传递函数的定义2 2、开环系统的脉冲传递函数、开环系统的脉冲传递函数 （串联时的脉冲传递函数）（串联时的脉冲传递函数）3 3、闭环系统的脉冲传递函数、闭环系统的脉冲传递函数1 1、脉冲传递函数定义、脉冲传递函数定义1、脉冲传递函数定义系统输出采样信号的Z变换与输入采样信号的Z变换之比。脉冲传递函数求解步骤：1）求出系统的传递函数G(s).2）根据拉氏变换，求脉冲响应函数g(t).3）计算例6.202、开环系统的脉冲传递函数n（串联时的Z传递函数）G1G2(z)G1(z)G2(z)3 3、闭环系统的脉冲传递函数、闭环系统的脉冲传递函数E(s)=Xi(s

25、)-H(s)Xo(s)Xo(s)=G(s)E*(s)上两式合并得 E(s)=Xi(s)-G(s)H(s)E*(s)对上式进行 Z 变换，得 E(z)=Xi(z)-GH(z)E(z)考虑到 X0(z)=G(z)E(z)3 3、闭环系统的脉冲传递函数、闭环系统的脉冲传递函数对于单位反馈系统，即 H(s)=1,则有 GB(z)= )()(zXzXio=)(1)(zGzG GBe(z)=)()(zXzEi=)(11zG3 3、闭环系统的脉冲传递函数、闭环系统的脉冲传递函数需 要 指 出 ， 闭 环 离 散 系 统 Z 传 递 函 数 不 能 从 GB(s)和GBe(s)求 Z 变 换 得 来 ， 因

26、为 采 样 开 关 在 闭 环 系 统 中 位置 不 同 ， 其 闭 环 Z 传 递 函 数 的 结 果 也 是 不 一 样 的 。例例 7-7 设闭环离散系统结构图如图 7-14 所示，试证其输出采样信号的 Z 变换函数为 Xo(z)=)(1)(ZGHZGXi证证明明 由图 7-14 得 Xo(s)=G(s)E(s) E(s)=Xi(s)-H(s)Xo*(s) 将上两式整理得 Xo(s)=Xi(s)G(s)-G(s)H(s)Xo*(s)对上式进行 Z 变换得 Xo(z)=XiG(z)-GH(z)Xo(z)证得 Xo(z)=)(1)(zGHzGXi由于从上式中解不出)()(zXzXio，因此求

27、不出闭环传递函数，只能求出输出信号的Z变换函数Xo(z)。这是因为偏差信号E(s)处没有采样开关，输入采样信号Xi(s)（包括虚构的Xi*(s)）便不存在。3 3、闭环系统的、闭环系统的Z Z传递函数传递函数3 3、闭环系统的、闭环系统的Z Z传递函数传递函数3、闭环系统的Z传递函数6.5 6.5 离散系统的稳定性分析离散系统的稳定性分析一、一、ss平面到平面到zz平面之间的映射平面之间的映射二、线性离散系统稳定性的充要条件二、线性离散系统稳定性的充要条件三、线性离散系统稳定性的判别方法三、线性离散系统稳定性的判别方法一、ss平面到平面到zz平面之间的映射平面之间的映射由 Z 变换的定义得 s

28、 平面与 z 平面的映射关系为 z=eTS上 式 是 复 变 量 z 的 极 坐 标 表 达 式 ， 其 中 |z|=e T ， TZ一、ss平面到平面到zz平面之间的映射平面之间的映射当0，即s位于s平面虚轴的左半部分，|z|0时，即s位于s平面虚轴的右半部分，|z|1，对应于z平面的单位圆外。由此可见，s平面虚轴左半部分在z平面上映象为以原点为圆心的单位圆的内部区域。上 式 是 复 变 量 z 的 极 坐 标 表 达 式 ， 其 中 |z|=e T ， TZ二、线性离散系统稳定性充要条件二、线性离散系统稳定性充要条件在 z 域中，线性定常离散系统稳定的充分必要条件是：系统特征方程的所有根均位于z 平面以原点为圆心的单位圆之内。单位圆是稳定边界。例例 7-8 判断如图 7-16 所示离散系统的稳定性。解解 开环传递函数为 G(s)=) 1(50ss则开环 Z 传递函