良级范文一篇

1、变式在中学数学教学中的应用研究数学与计算机科学学院 数学与应用数学专业2009031111 洪彩联 指导教师：秦松喜 【摘要】根据中学数学课程标准的要求，本文对中学数学基本知识变式教学，课堂教学变式教学，习题课变式教学等方法和原则进行应用研究，通过对数学问题多角度、多方位、多层次的讨论和思考，能帮助学生打通关节，从“变”的现象中发现“不变”的本质，从不变的本质中探究变的规律，使所学知识点融会贯通。以期达到提高数学课堂教学效率的目的。 【关键词】中学教学；变式教学；方法；变式训练1.引言 用继承和发展的观点进行反思，我们传统的数学确实存在着缺乏培养创新精神和探究能力的现象。近几年来，全国数学竞赛

2、卷和各地的中、高考卷都在不断地变化和发展，但无论怎样改革，都离不开历史的继承。数学基础知识、基本技能、思想方法总是“万变不离其中”。本文从数学变式和训练这两个方面的方式方法进行研究讨论，力求在教学设计中增加学生的新奇感和参与感，提高学生参与数学活动的兴趣和热情，取得较好的教学效益。2.变式教学概述2.1数学变式理解 变式是通过变更对象的非本质特征而形成的表现形式1。变式具有以下特点：变更人们观察事物的角度或方法，以突出对象的本质特征，突出那些隐蔽的本质要素。数学教学中的变式就是指教师有目的、有计划地对命题进行合理的转化。2.2变式教学 数学变式教学一直是对数学中的问题进行不同方向、不同层次、不

3、同情形、不同背景的变式，以暴露问题的本质特征，揭示不同知识点间的内在联系的一种教学设计方法2。通过变式教学，在教学过程中，一题多用往往给人一种新鲜感，重组之后能唤起学生的好奇心和求知欲，从而能够产生积极参与的力量，以维持其参与的兴趣和热情。在平时的学习中，同学们若能重视对老师讲过的例题、做过的习题等进行变式训练，不但可以抓好双基，便于搞清问题的内涵和外延，而且还可以提高同学们分析问题和解决问题的能力。变式训练是变式教学的主要方法，是学生的发散性思维能力、思维的灵活性和迁移、化归能力提升的有效方法之一。2.3变式在学习及教学中的重要性 对学生：变式教学作为一种传统的、典型的数学教学方式，它不仅有

4、着广泛的理论基础，而且也经过了实践的检验(青浦实验等)。学生在平时复习过程中,接触到的往往只是变式的某一类型,如果教师没有及时对变式的其它类型进行比较,学生往往知其一而不知其二,当碰到变式的其它类型时,原有的解题思路就会对新的变式产生干扰,解题过程中由于思维定势,造成误解。诸多课堂实践证明：基本在每一年的中学升学考试中都有以教材中结论、例题、习题为原型的变式题，可见其绝对是有效的教学策略之一。所以，教学中必须足够重视变式，并要科学地、恰当地运用，只有这样才能最大可能地发挥其应有的作用。 对教师：广大中学数学教师在工作中总结出来的变式训练，既是数学教育方式的创造，也是数学教学的有效手段。利用变式

5、训练，可以向外扩散从不同方位思考同一个独立的问题，并可以帮助学生形成一个规律系统。从而，类似问题的思路、方法都可以在思考解决的过程中被运用。为把能力培养真正落到实处，需在教学的全过程中让学生积极主动地参与，并把学习的积极性充分调动，以此培养独立分析、解决问题和创新、探索精神等多方面的能力。充分性：变式的训练可以提高数学训练内容的利用率，提高教学效果，发挥知识的综合运用，有效的训练学生的思维能力，充分认识数学本质属性的作用。这也符合新课程标准的基本理念。 必要性：在寒暑假实习期间及与在职教师的交流探讨中，我发现中学数学教学过程中，老师常常感觉课堂时间不够用，尤其对习题内容需要讲解的地方特别多的基

6、础不够扎实的学生，常常出现四、五个例题只能讲了其中两到三个的情形。这方面很大原因，在于学生还难于将同类习题联系起来解决。由此，提高课堂短短45分钟的利用率及课堂教学的效率、改善学生思维品质这些，就成了重要的问题。这就是变式教学有着举足轻重地位的原因。所以，要有效的提高课堂教学效率，采用习题变式教学是比较有效的途径3。3.变式教学基本原则与方法3.1原则3.1.1模式 著名的瑞士心理学家让皮亚杰是发生认识论的创始人，其新认知结构框图:图 3-1 认知结构图由此，我们在学习及教学中可以体会到：在认识新知识中不断构建同化和顺应的认知结构的过程，即为学生认知结构的发展。它是在新认知领域内对旧知识进行上

7、、下位迁移、变式改组的新系统。有部分问题着实可以在实际教学过程中进行多种变换，可也同样面临需要考虑的一些问题：变式是有意义的？变式对于题目本身有什么价值？此种变式有助于提升学生思维能力？据以观之，变式模式可定为：特定内容 - 变式探究 - 总结升华。 在实际教学中变式教学遵循的教学原则主要有五个:针对性原则，循序渐进原则，启迪思维原则，主动参与原则，探索创新原则。3.1.2. 针对性原则 通常的数学课包括：新授课、巩固课（练习课）和复习课4。概念和习题的变式在教学中遇到的是最多的。变教学服务对象在不同授课中也应有所不同。例如，新的教学授课中练习或概念的变式需为本节课的教学目的服务；练习课上的的

8、变式应该围绕本节中需要掌握的知识点主要内容，进行纵向、横向两方面的迁移联系，并适当渗透数学思想和数学方法。（参见例3-1）3.1.3循序渐进原则 数学知识的逻辑结构与学生的认知能力一样，有从低到高的这样一个序列必须遵循。根据教学内容和学生的实际情况，简单地从低到高顺序变化，给学生创造一个渐进的问题的情况是在变式教学中需要时刻注意的地方。（参见例4-2）3.1.4启迪思维原则 提高学生思维品质一直是变式教学的根本目的，而非节省时间。把问题处于学生思维水品的最近发展区5，引导学生逐步发现问题，提出问题，分析问题，解决问题，以这些作为教学出发点，需要教师对问题情境进行精心设计。（参见例3-3）3.1

9、.5主动参与原则 教学不应该是授课老师自己的事情，课标中一直强调体现学生在教学活动中的主体地位。教学中教师要做到让学生主动积极参与，注重自己思考，交流探究，动手操作，让学生主动获取知识，形成在实践中观察、探索、发现问题并解决问题的能力。（参见例4-5）3.1.6探索创新原则 挖掘教材中的新思路和方法，以激发学生的学习动机和学习兴趣。精心设计创新问题，指导学生探索创新的灵感。同时，鼓励那些已具备基本探究能力的学生自主创新、自主变式。（参见例4-7）3.2方法3.2.1 变换条件或结论 变换条件或结论是将原题的条件或结论进行变动或加深，但所用的知识不离开原题的范围。通过接触到同一类型题的不同情况可

10、以让学生们更全面的掌握所学知识。例3-1.两圆内切于点，大圆的弦切于小圆于点，求证：。图3-2 证明：如图3-2,作两圆公切线,设与小圆交于点,连结. 即.变式3-11.如图3-3，题设不变，设大圆弦、交小圆于点、，求证： （1）; （2）连结，则. （3）延长,有.图3-3证明：（1）过点作两圆公切线，连结. . . （2）而、分别为的角平分线， . （3）连结， .小结：两圆相内切（外切）是基本图形，其中蕴含许多规律和结论，通过对若干条件的变化，可产生一些列新的问题，有利于培养发散性思维。3.2.2 条件一般化 条件一般化是指将原题中特殊条件，改为具有普遍性的条件，使题目具有一般性，这是设

11、计变式题经常考虑的一种方法6。这种变式将特殊的条件变得更一般，符合由特殊到一般的认识规律，学生容易接受。例3-2.如图3-4，正方形中，点是边上的中点，点是边上的一点，且.求证：平分.图3-4证明：延长交延长线于点. 变式3-21.如图3-5，正方形中，点是边上的中点，点是边上的一点，且,求证：平分.图3-5证明：延长交延长线于点. 设，则 由上题可知 而 ,而, .平分.小结：“角平分线加平行线构成等腰三角形”是常见的解题思路。将题设中的和一定条件换成某边定长的条件，更利于学生在解答中分析问题的着入点。3.2.3 联系实际 联系实际要求教师兼具丰富生活经验与数学应用意识，则可创设情境在教学过

12、程中，或引导学生思考想象，体会数学与生活联系的紧密，在生活中找到数学问题的模型，将数学问题与日常生活联系起来，也即建模的思想。通过与实际结合的变式练习提高学生对于数学应用的意识及学习的兴趣，与实际联系也有助于更好达到教学目的。例3-3.药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体实验，测得成人服用后血液中药物浓度（微克/毫升）与服药后时间（时）之间的函数关系如图3-6所示，请你根据图像：图3-6（1） 说出服药后多少时间后血液中药物浓度最高？（2） 分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段的函数关系式。解：（1）服药3小时后血液中药物浓度最高。 （2）当时， 当时，.变式3-31.

13、通过实验研究，专家们发现：初中学生听课的注意力指标数随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散，学生注意力指标数随时间(分钟）变化的函数如图3-7所示（越大表示学生注意力越集中），当时，图像是抛物线的一部分；当和时，图像是线段。图3-7（1） 当时，求注意力指标数与时间的函数关系式；（2） 一道数学竞赛题需要讲解24分钟。问老师能否经过适当安排，使学生在听这道题时，注意力的指数都不低于36？解：（1）由题意可设. （2）设线段的直线方程为有题意可得解得 所以老师可在上课4分钟后讲解此题。小结：分段函数的求法是：先根据题意或图像

14、确定其函数定义域的取值范围，然后在各自范围内用待定系数法求出函数解析式。初中阶段最常见的是一次函数、反比例函数和二次函数。联系实际创设情境，激发学习兴趣，引导学生利用课内知识解决实际生活问题，形成建模思想。4.变式在数学教学中的几种形式及应用举例4.1习题课中的变式教学 “教师讲例题，学生仿例题”是现在教师授课时采用的类似于公式化的教学方式，这种生硬的形式限制了学生思维发展，也局限了解题能力的培养空间。所以，及时对知识点进行变式训练、理解巩固、融汇变通、应用归纳，将极大程度扩宽学生对知识深度及广度的掌握能力，对学习能力的提高和思维能力的发展大有益处。4.1.1.关于基本图形的变式 作为图形变式

15、出发点的基本图形，或称为原型决定了教学的基本走向。图形在运动和构造过程的基础上揭示知识过程以及其自身之间的联系。变式教学通过学生的操作实践，观察体会到图形变式的过程，领会形变而质同的奇妙之处，深层次挖掘教学意义，避免数学几何问题变式华而不实，杂而无用的现象，避免为“变”而变的机械操作。例4-1. 下列四个图有何共同特征？图4-1 柱体给出的四个图形，形状不一样，但侧棱都与底面垂直，是变化的图形，有共同本质。变式4-11. 下图中是棱柱吗？图4-2 图示这个例子是通过非概念变式明确了概念的外延。通过非概念变式和概念图形的比较，可以直观地理解概念的本质。例4-2.如图4-3，在密度均匀的铁片中挖去

16、一圆形铁片，现要将这一铁片分成重量相等的两块，请问你有怎样的分法？并说明作图的道理。图4-3解：确定一条直线就是确定两个点，由于直径能把圆面积两等分，所以取圆心，又由于过矩形两对角线交点的直线也能把矩形的面积两等分，所以又取点，过、的直线即为所求.变式4-21.一个矩形内有任意一个圆.请你用一条直线同时将圆和矩形的周长等分；并说明作图的道理.解法同上.变式4-22.现有如图4-4所示的方角铁片，工人师傅想用一条直线将其分割成面积相等的两部分，请你帮助工人师傅设计三种不同的分割方案.图4-4解：如图4-4，分割思路同上.变式4-23.如图4-6所示，请将一直角梯形形状的地块，分成面积相等的两块，

17、问如何分.图4-6解：作梯形的中位线的中点，过点作直线交于点即为所求.注：梯形的面积为.变式4-24.如图4-7所示的一块空地，现要在这一空地上砌一堵墙(要求墙最短），将这块地分成面积相等的两块.图 4-7解：过点作垂足为，作梯形中位线的中点，再作矩形对角线交点，直线分别交于点，过中点作,垂足分别为,结段即为所求.变式4-25.如何把任意四边形面积两等分？图4-8解：如图4-8，过点作对角线的平行线交的延长线于点，则,四边形转化为与它等积的，取的中点作直线，直线把分成面积相等的两部分，也把四边形面积两等分了.小结：将三角形、梯形、圆等图形进行不同的组合，将会产生一连串新的问题，但基本解题思路仍

18、不变，即分割不规则图形时，可把它分割或组合成规则图形，问题就可化难为易. 总的说，图形的变式应精妙在这些地方：举一反三，触类旁通，对学生学习兴趣和积极性起到激发作用：语言直观与教具直观相结合，循序渐进，加深印象并深化概念的理解：巧用变形，学以致用，引导学生灵活应用知识，自主探究，创新学习。 世界上万事万物都处在运动状态之中，变是绝对的，不变是相对的。图形多样化的呈现，便于把握本质的，不变的性质，避免非本质的泛化：同时，多渠道的输入，以便于应用时多通道的提取7。4.1.2.关于教学示例的变式例4-3.等腰三角形腰长为 4，它的底为 6；求其周长。这是一道初中基础例题，现对其进行不同变式转换。变式

19、4-31.已知等腰三角形的一条腰长为 4，它的周长为 14，求它的底边长。 （考查思维逆向能力）变式4-32.已等腰三角形的一条边长为 4；它的另一条边长为 6，求它的周长。 （比较前两题，必须改变思维策略，选用分类讨论）变式4-33.已知等腰三角形的一条边长为 3，它的另一条边长为 6，求它的周长。 （显然“只能选3为底”否则与三角形两边之和大于第三边相矛盾，此变式 利于培养学生严密性思维） 变式4-34.已知一个等腰三角形的腰为 ，求底边长 取值范围。变式4-35.已知一个等腰三角形的腰为 ，底边长为 ，周长是 14。写出他们之间存在的函数关系式并画出图像在平面直角坐标内。（与之前相比要求

20、提高了，其中对条件 的理解运用成为解决问题的关键）小结：经过不同层次的变式训练，可使学生进一步加深对三角形三条边的认识，也可引导学生从一般到特殊、从具体到抽象的解题思路和技巧应用；一题多解、一题多变有助于学生思维变通性和灵活性的培养，可使学生形成思维定势中又能打破思维定势。4.1.3.关于方法变式方法变式，即是一题多解，就是同一道题目的不同解法。学生在学习中常常会遇到一些用常规方法无法解答的题目，引导学生换个角度，换个思路解题往往可以让学生有意外收获。学生能从多角度分析观察比较问题，并寻得解决问题的最终方法，这也是一种学习实践的创新，有利于创新能力的形成，是培养创新性人才意识的源泉8。例4-4

21、.已知是方程的根，求的值.解：是方程的根， ，即 .变式4-41.，则的值为多少？解： .变式4-42.若的值为多少？解： 变式4-43.若解： 两边平方可得，原式分母 原式分子 所求分式的值为5.变式4-44.如果的值.解：由 而 所求分式的值为.小结：在解决一些与高次方程和复杂代数式有关的问题中，往往应用降次、消元、整体代入的思想方法。由题可见，平时学习时对典型考题应培养、训练学生对不同角度进行正问、反问、纵变、横变适当变式的解答技能技巧，切实把问题“吃透”，则可真正起到做一题、会一类、通一片、带一串的作用，有利于培养思维的开阔性和深刻性。4.2概念定义的变式训练数学概念中对概念本身的内涵

22、和外延的理解是数学思维能力发展所必不可少的。因此，利用多样化的变式提高学习积极性，培养学生观察、分析及概括能力需要贯穿学生参与形成概念的全过程9。 例如双曲线概念及其标准方程的的教学。之前椭圆的教学中，概念:平面内与两个顶点F1 , F2的距离之和等于常数(大于F1,F2)的点的轨迹叫做椭圆。然后根据定义推导得出标准方程。接下来双曲线的定义:平面内与两个定点F1,F2，的距离的差的绝对值等于常数(小于F1, F2)的点的轨迹叫做双曲线。当学生掌握了椭圆标准方程的推导方法，双曲线的标准方程推到方法就可以当成是它的变式了。这样变式，学生可以进一步掌握曲线推导方法及两者之间的共同和本质区别之处，更好

23、理解两条曲线的本质特征。例4-5.求证：顺次连结平行四边形各边中点所得的四边形是平行四边形.变式4-51.求证：顺次连结矩形各边中点所得的四边形是菱形.变式4-52.求证：顺次连结菱形各边中点所得的四边形是矩形.变式4-53.求证：顺次连结正方形各边中点所得的四边形是正方形.变式4-54.顺次连结什么四边形中点可以得到平行四边形？变式4-55.顺次连结什么四边形中点可以得到矩形？变式4-56.顺次连结什么四边形中点可以得到菱形？小结：通过这样一系列变式训练，使学生充分掌握了四边形这一章节所有基础知识和基本概念，强化沟通了常见特殊四边形的性质定理、判定定理、三角形中位线定理等，极大地拓展了学生的

24、解题思路，活跃了思维。激发了兴趣。4.3定理公式的变式训练发展数学思维能力需要依靠对定力公式的熟练掌握，并应用于推理、论证、演算之中。定理公式皆是概念之间本质联系的概括，故而深刻理解定理公式中的概念联系成了关键。如果只是机械的记忆，则无法灵活应用，就更谈不上对它的变通了。为了解决这个根源问题，在定力公式的教学中，要将相关的定理公式展示给学生，利用变式推到，是学生知其然而又知其所以然，形成对定理公式的深层次理解，形成对定理公式的有关判断、运用。如在新教授的定理“（当且仅当时取“”号）”的应用时，给出如下的例题及变式：例4-6.已知，求的最小值。变式4-61.，函数有最小值吗？为什么？变式4-62

25、.已知，求的最小值。变式4-63.函数的最小值为2吗？本例题及几种变式旨在使学生掌握不等式的三个要点：一正、二定、三相等的理解与掌握,为定理的正确使用打下坚实基础。例4-7.如图4-9，在（勾股定理）图4-9变式4-71.当时，仍成立吗？如不能成立，三边又成何关系呢？图4-10解：如图4-10，设过点作的垂线，垂足为.则根据勾股定理可得： 这即是解斜三角形所需要的余弦定理.从而，我们可以发现，勾股定理亦可视为余弦定理的特殊情况，即变式4-72.已知所有符合的正整数解即为一组勾股数，如：3、4、5,5、12、13,9、40、41，那么是否存在正整数使呢？变式4-73.当幂时，是否存在正整数，使也

26、成立呢？这就是有名的数学难题-费马最后定理.小结：由以上几例可知，教材中一些常见定理，反映着相关数学理论的本质属性，蕴含着丰富的数学思维方法和思想精髓，这就是学生创新思维的生长点。5.变式教学的几点反思5.1习题变式教学应注意的问题 根据教师们的课堂经验，在中学数学习题变式教学中，应注意四个问题。5.1.1源于课本，高于课本中学数学的教学以课本习题为主，相应的变式就要求老师深度挖掘教材，进行变式-题型多变-方法多解-套路多用的教学，提高学生对知识的灵活运用度，不断加深对变式教学的本质理解。教师要先明确：变式的本质是哪些？变式对数学而言，应该变的是什么？如何变？ 如何变，即变式基本方式和途径有哪

27、些？数学中的变式主要有：（1）变解法，即一题多解，多解一题，会解一类问题等；（2）对教材练习中的题型变化引申，如改变条件或结论、互换条件，问题一般化或特殊化等等；(3）改变问题形式，如改变问题背景，将求某个条件下的结论改为分类讨论的开放题等；（4）改变符号或数值，如解二元一次方程题型皆是对的形式进行符号或数值的变换。 明确了这些，教师在变式教学的针对性与有效性上将大大增强。5.1.2循序渐进，有的放矢 在中学数学习题变式教学中，对习题的变式要循序渐进，有的放矢。深度挖掘教材，以学生熟知的教材内容为例作为变式的训练素材，但忌使用高深莫测的材料。让学生充分理解掌握教材知识、辨析知识之间的联系及本质

28、区别才是变式的目的，而非让学生接受新知识。一旦素材高深莫测，学生会产生恐惧心理，难以提起学习兴趣，相反，若运用学生所熟知的素材进行变式训练，举一反三，更有意义。5.1.3纵向联系，温故知新纵向联系也是中学数学习题变式教学所需要注意的，变式意在巩固就知识，加深掌握程度。温故而知新，是提高学习效率的有效方法之一。5.1.4师生共建,切忌唱独角戏 学生的热情参与度是变式训练能否达到预期目标的关键。学生如果没有参与到教学过程中，没有成为学习的主体，那么，不管教师个人口才如何出众，讲解多么精彩，都只是一场徒劳，无法取得教学效果。学习的过程应是老师指导，学生主动学习的过程，不能一味老师提问、学生回答的机械

29、重复，这样的变式训练也失去了教学意义。新课标指出，教师应是学生的引导者应体现引导作用，而非只是一个单纯讲解的教书匠。学生在教学活动中的主体地位是否充分发挥，是决定课堂成功与否的关键所在,才是教学任务的关键所在，否则，教学效果将大打折扣。5.1.5紧扣考试说明，万变不离其宗 中学对于学生来讲最重要的就是升学考试，所以平时的习题变式要围绕考纲进行“变”，紧扣考试说明的内容，不可脱离考纲，否则只会浪费学生宝贵时间，挫伤学习积极性。5.2变式教学的几点认识5.2.1运用变式教学有效提高了课堂教学效率 在教学过程中，尤其是在初、高三的教学中，变式教学更是尤为需要。升学压力大，时间紧，内容多，一节课的利用

30、率极其重要。变式教学可以在有限的时间内解决很多问题。5.2.2运用变式教学有效改善了学生的思维品质 学生的发展存在个体差异性，部分学生通过自主学习，亦可掌握课本基础知识。课堂的受众是大多数学生，不能直接提出难度较大的问题。借由变式教学，普通基础的学生在由易到难的过程中容易接受，符合思维有序性和逻辑性，基础较好的学生思维量和知识点的理解也到了一定程度。学生们都得到了思维品质的有效改善。5.2.3变式教学中需要注意的几个问题 1. 变式绝非为“变”而“变”，其根本目的是为了突出本质特征排除无关特征。教师在教学中的主导作用即避免教学目标的偏离，由此变式教学才能有助于数学知识本质的掌握。 2. 变式选

31、择具有代表性。教学的成效注重的不是数量，其精髓在于质量，选择和评价标准在于例题的运用在广泛意义上的典型性、对改善学生思维的贡献性。3. 变式要与比较相结合，思维发展的途径之一便是比较归类，经历异同的对比才能更好掌握其共同的本质特征，达到变式教学目的。4.提高学生的智力参与程度。变式不是教师的“专利”，变式不一定都由教师给出，可以让学生自己提。让学生主动探索，围绕“源题”进行相关的变化，自己创新习题，让“冰冷的美丽变成火热的思考”10。5.2.4总结 变式训练为学生的思维发展提供了一个阶梯，重复但不呆板，有利于学生构建完整、合理的知识体系。每一个变式，具有创新的意味，但是又能夯实基础，实现“在坚

32、实的基础上有所发展”的教学理念。将变式教学模式运用到教学中，仅仅在习题变式方面运用得较多。但是怎样的变化是真正适合学生身心发展的。这个问题研究得还不够，还需要在以后的实践过程中继续探究。6. 致谢语本设计的完成是在我的导师秦松喜教授悉心指导下完成的。我的论文做了多次的修改，从开始的很多问题，诸如结构不成熟，论点错漏等，是秦老师在每次遇到问题是都不辞辛苦的讲解和指导才使得设计的顺利进行。秦老师花费了很多的精力和宝贵时间，从开始设计的选题老师就进行了多次的指导建议，在资料的搜集过程中秦老师更是提供了大量有价值的参考文献，直至最后设计的修改的整个过程中，老师一直细心指导，及时批评指正。在此向导师表示

33、衷心地感谢！秦教授治学的严谨态度，开拓进取的精神和高度的责任心都将使学生受益终生！同时还感谢四年来帮助和教育过我老师、领导以及同学给我很多的鼓励和帮助，一路走来，从你们的身上我收获无数，谨此一并表达我的真挚谢意参考文献1 文宁.运用学习迁移理论探索创新现实教学J.企业家天地（下旬刊）,2011,第十一期.2 贾淑梅.谈新课程理念下的数学开放式教学J.素质教育论坛（下半月）,2011,第七期：54页.3 夏代忠.运用变式训练 培养学生创造性思维A.扬州教育学院学，2008，第26卷第3期.4 Barbara Gross Davis.教学方法手册M.杭州：杭州大学出版社，2006，107.5 李志忠.变革课堂教学方式M.广东：广东教育出版社，2010，87.6 张宏江.改善学生数学思维品质的初步研究J.延边教育学