2021年高中数学人教版必修第一册：4.5.3《函数模型的应用》教案设计

1、【新教材】4.5.3 函数模型的应用（人教A版）本节通过一些函数模型的实例，让学生感受建立函数模型的过程和方法，体会函数在数学和其他学科中的广泛应用，进一步认识到函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，能初步运用函数思想解决一些生活中的简单问题。课程目标1.能利用已知函数模型求解实际问题.2.能自建确定性函数模型解决实际问题.数学学科素养1.数学抽象：建立函数模型,把实际应用问题转化为数学问题；2.逻辑推理：通过数据分析，确定合适的函数模型；3.数学运算：解答数学问题,求得结果；4.数据分析：把数学结果转译成具体问题的结论,做出解答；5.数学建模：借助函数模型，利用函数的思想解决现实生活中的

2、实际问题.重点：利用函数模型解决实际问题；难点：数模型的构造与对数据的处理教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。教学工具：多媒体。一、 情景导入我们知道，函数是描述客观世界变化规律的数学模型，不用的变化规律需要用不同的函数模型来刻画.请学生们思考：常见的函数模型都有哪些？面临一个实际问题，该如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本148-150页，思考并完成以下问题1. 常见的数学模型有哪些？其中待定系数有哪些限制条件？2. 解决实际问题的基本过程是什么？要求：学生独立完成，以小组为单位，

3、组内可商量，最终选出代表回答问题。三、新知探究1.常见的数学模型有哪些?(1)一次函数模型:f(x)=kx+b(k,b为常数,k0);(2)反比例函数模型:f(x)=kx+b(k,b为常数,k0);(3)二次函数模型:f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a0);注意:二次函数模型是高中阶段应用最为广泛的模型,在高考的应用题考查中最为常见.(4)指数函数模型:f(x)=abx+c(a,b,c为常数,a0,b0,且b1);(5)对数函数模型:f(x)=mlogax+n(m,n,a为常数,m0,a0,且a1);(6)幂函数模型:f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a0,n1);(7)分

4、段函数模型:这个模型实则是以上两种或多种模型的综合,因此应用也十分广泛.2.解答函数实际应用问题时,一般要分哪四步进行?(1)审题弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；(2)建模将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型；(3)求模求解数学模型，得出数学模型；(4)还原将数学结论还原为实际问题四、典例分析、举一反三题型一 一次函数与二次函数模型的应用例1 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果,假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元.市场调查发现,若每箱以50元的价格销售,平均每天销售90箱.价格每提高1元,平均每天少销售3箱.求平均

5、每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式;求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式;当每箱苹果的售价为多少元时,可以获得最大利润?最大利润是多少?【答案】y=-3x+240(50x55,xN).w=-3x2+360x-9 600(50x55,xN).当每箱苹果的售价为55元时,可以获得最大利润,且最大利润为1 125元.【解析】根据题意,得y=90-3(x-50),化简,得y=-3x+240(50x55,xN).因为该批发商平均每天的销售利润=平均每天的销售量每箱销售利润.所以w=(x-40)(-3x+240)=-3x2+360x-9 600

6、(50x55,xN).因为w=-3x2+360x-9 600=-3(x-60)2+1 200,所以当x60时,w随x的增大而增大.又50x55,xN,所以当x=55时,w有最大值,最大值为1 125.所以当每箱苹果的售价为55元时,可以获得最大利润,且最大利润为1 125元.解题技巧：（一次、二次函数模型的应用）1.一次函数模型的应用利用一次函数求最值,常转化为求解不等式ax+b0(或0).解答时,注意系数a的正负,也可以结合函数图象或其单调性来求最值.2.二次函数模型的应用构建二次函数模型解决最优问题时,可以利用配方法、判别式法、换元法、讨论函数的单调性等方法求最值,也可以根据函数图象的对称

7、轴与函数定义域的对应区间之间的位置关系讨论求解,但一定要注意自变量的取值范围.跟踪训练一1、 商店出售茶壶和茶杯,茶壶定价为每个20元,茶杯每个5元,该商店推出两种优惠办法:买一个茶壶赠一个茶杯;按总价的92%付款.某顾客需购买茶壶4个,茶杯若干个(不少于4个),若购买茶杯x(个),付款y(元),试分别建立两种优惠办法中y与x之间的函数解析式,并讨论该顾客买同样多的茶杯时,两种办法哪一种更优惠?【答案】当4x34时,y134时,y1y2,优惠办法更省钱.【解析】由优惠办法可得函数解析式为y1=204+5(x-4)=5x+60(x4,且xN).优惠办法可得y2=(5x+204)92%=4.6x+

8、73.6(x4,且xN).y1-y2=0.4x-13.6(x4,且xN),令y1-y2=0,得x=34.所以,当购买34个茶杯时,两种优惠办法付款相同;当4x34时,y134时,y1y2,优惠办法更省钱.题型二 分段函数模型的应用例2 某公司生产一种产品,每年投入固定成本0.5万元,此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元,经预测可知,市场对这种产品的年需求量为500件,当出售的这种产品的数量为t(单位:百件)时,销售所得的收入约为5t-t2(万元).(1)若该公司的年产量为x(单位:百件),试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量x的函数;(2)当这种产品的年产量为多

9、少时,当年所得利润最大?【答案】(1)f(x)=-12x2+4.75x-0.5(05).(2)当年产量为475件时,当年所得利润最大.【解析】(1)当05时,产品只能售出500件.所以,f(x)=5x-12x2-(0.5+0.25x)(05),即f(x)=-12x2+4.75x-0.5(05).(2)当05时,f(x)5. (2)当工厂生产4百台时,可使盈利最大为3.6万元.【解析】解:(1)由题意得G(x)=2.8+x. f(x)=R(x)-G(x)=-0.4x2+3.2x-2.8,0x5,8.2-x,x5.(2)当x5时,函数f(x)单调递减,f(x)8.2-5=3.2(万元).当0x5时

10、,函数f(x)=-0.4(x-4)2+3.6,当x=4时,f(x)有最大值为3.6万元.故当工厂生产4百台时,可使盈利最大为3.6万元.题型三 指数或对数函数模型的应用例3 一片森林原来的面积为a,计划每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百分比相等,当砍伐到面积的一半时,所用时间是10年,为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的14,已知到今年为止,森林剩余面积为原来的22.(1)求每年砍伐面积的百分比;(2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年?(3)今后最多还能砍伐多少年?【答案】(1)1-12110.(2)到今年为止,已砍伐了5年.(3)今后最多还能砍伐15年.【解析】(1)设每年砍伐面积的百

11、分比为x(0x1),则a(1-x)10=12a,即(1-x)10=12,解得x=1-12110.(2)设经过m年剩余面积为原来的22,则a(1-x)m=22a,即12m10=1212,m10=12,解得m=5,故到今年为止,已砍伐了5年.(3)设从今年开始,最多还能砍伐n年,则n年后剩余面积为22a(1-x)n.令22a(1-x)n14a,即(1-x)n24,12n101232,n1032,解得n15.故今后最多还能砍伐15年.解题技巧：（指数或对数函数模型注意事项）1.本题涉及平均增长率的问题,求解可用指数型函数模型表示,通常可以表示为y=N(1+p)x(其中N为原来的基础数,p为增长率,x

12、为时间)的形式.2.在实际问题中,有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题,都常用到指数型函数模型.跟踪训练三1.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回产地产卵.记鲑鱼的游速为v(单位:m/s),鲑鱼的耗氧量的单位数为Q,研究中发现v与log3 成正比,且当Q=900时,v=1.(1)求出v关于Q的函数解析式;(2)计算一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时耗氧量的单位数;(3)一条鲑鱼要想把游速提高1 m/s,其耗氧量的单位数应怎样变化?【答案】(1)v关于Q的函数解析式为v=12log3Q100.(2)一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时的耗氧量为2 700个单位.(3)鲑鱼要想把游速提高1 m/s,其耗氧量单位数应变为原来的9倍.【解析】(1)设v=klog3Q100,当Q=900时,v=1,1=klog3900100,k=12.故v关于Q的函数解析式为v=12log3Q100.(2)令v=1.5,则1.5=12log3Q100,解得Q=2 700.故一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时的耗氧量为2 700个单位.(3)设鲑鱼耗氧量为Q1,Q2时,游速分别为v1,v