圆中最值问题的求解方法

1、圆中最值问题的求解方法有关圆的最值问题，往往知识面广、综合性大、应用性强，而且情境新颖，能很好地 考查学生的创新能力和潜在的数学素质，本文按知识点分类，以近几年中考题为例，归纳 总结此类试题的解题方法.一、直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段最短例 1 2021 宁波如图 1 , ABC 中，/ BAC= 60,/ ABC= 45, AB= 2 2 , D是线段BC上的一个动点，以 AD为直径画O O分别交AB, AC于点E, F,连结EF,那么线段 EF长度的最小值为.分析 由垂线段的性质可知，当ABC的边BC上的高时，直径 AD最短.图图2解 如图2,连结OE OF,过O点作OHL EF

2、,垂足为H./在 Rt ADB中，/ ABC= 45, AB= 2 2 ,AD= BD= 2,即此时圆的直径为 2.由圆周角定理，可知1/ EOH= / EOF=/ BAC= 60,2在 Rt EOH中,EH= OE- sin / EOH=1 二乜.2 2由垂径定理，可知 EF= 2EH= .3点评 此题是一道融垂径定理、圆周角定理、解直角三角形于一体的综合应用题关上取点翻，连结AP键是根据运动变化，找出满足条件的最小圆.二、两点之间线段最短例 2 2021 三明如图 3,在 Rt ABC中，/ ACB= 90,AC= BC= 2,以BC为直径的半圆交 AB于点D, P是Cd CD上的一个动点

3、，连结 AP,贝U AP的最小值是 .分析 如图4，取BC的中点E,连结AE,交半圆于点P2,在半圆EP,可得，AP+ EPAE即AP是AP的最小值.再根据勾股定理求出AE的长，然后减掉半径即可.解 如图4 ,取BC的中点E,连结AE交半圆于点EP,可得,AR+ ERAE AE.22125 , P2E= 1. AF2连结AF,即AP2是AP的最小值.点评 此题考查了勾股定理、最短路径问题，利用两点之间线段最短是解题的关键. 三、利用轴对称，求直线上一点到直线同侧两点的线段之和最短例3 2021张家界如图5, AB CD是半径为5的O O的两条弦，是直径，AB丄MN于点E, CDL MN于点F,

4、P为EF上的任意一点，AB= 8, CD= 6, MN那么PA+ PC的最小值为.即当B、C F在一条直线上时,H.分析A B两点关于MN对称，因而PA+ FC= FB+ PC, PA+ PC的最小，即 BC的值就是PA+ PC的最小值.解 如图6,连接OA OB, OC作CH垂直于AB于点 根据垂径定理，得到BE =-扌*H = 4-其OE =丿血-.刁可=/53 -4: = 3.OF = /O? -CA4 =-3】=4.CH = QE + QF = 3+4 =4+3 土人在Rt BCH中，根据勾股定理得到BC =7 2 ,那么PA+ PC的最小值为 7 2 .点评 正确理解BC的长是PA+

5、 PC的最小值，是解决此题的关键.例4 2021东营如图 7,在O O中，AB是O O的直径，AB= 8cm, Ac Cd Bd ,M是AB上一动点，贝U CW DM的最小值是 cm.解析 如图8，作点C关于AB的对称点C，连结CD与AB相交于点M根据轴对称 确定最短路线问题，点 M为CMF DM的最小值时的位置，根据垂径定理可得Ac AC，然后求出CD为直径，从而得解. CMF DM的最小值是 8cm.点评 此题考查了轴对称确定最短路线问题，垂径定理，熟记定理并作出图形，判断 出CMF DM的最小值等于圆的直径的长度是解题的关键.四、利用切线的性质求最小值例5 2021苏州如图9,A、B两点

6、的坐标分别为2 , 0、0, 2 , O C的圆心 坐标为一1, 0,半径为1.假设D是O C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E,那么厶ABE 面积的最小值是(A)2(B)1(C)2(D)2解析 根据三角形的面积公式， ABE底边BE上的高AO不变，BE越小，那么面积越小, 可以判断当AD与O C相切时，BE的值最小.根据勾股定理求出 AD的值，然后根据相似三 角形求出OE的长度，代入三角形的面积公式进行计算即可求解.如图10,由题意知道当 DA是圆C的切线时，OE最短，此时 ABE面积最小.AC= 2+ 1 = 3. CD= 1.由勾股龙理得丸心二-V = rfL可以证明AAOE 5 乂二

7、A.4BE的面枳为匕应选c.点评 此题考查了坐标与图形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，根据相 似三角形对应边成比例列式求出0E的长度是解题的关键.五、立体图形上两点之间最短距离例6 2021兰州如图11,有一个圆锥形的粮堆，其主视图是边长为6cm的正三角形，母线的中点 P处有一老鼠正在偷吃粮食，小猫从B处沿圆锥外表去偷袭老鼠，求小猫经过的最短路程.解析 如图12,先确定扇形的圆心角，根据两点之间线段最短，再确定起点和终点, 从而求解， ABC为正三角形. BC= 6.I = 2 nX 3= 6 n.根据底面积圆的周长等于展开后扇形的弧长，得n 6180故 n = 180，那么/ BAC= 90, BP =36一93、5 米.答：小猫所经过的最短路程是=3.5米.点评 此题考查平面展开最短路径问题，关键知道两点之间线段最短，根据勾股定理 求解.以圆为载体的最值问题在中考试题中通常