薄透镜测焦距的改进与讨论

1、基础物理实验研究性报告薄透镜测焦距Thin Lens Focal Length Measurement第一作者：陈志良 学号12051251 第二作者：王倩倩 学号12051238第三作者：姜里京 学号11051219 所在院系 航空科学与工程学院2013年12月8日 目录摘要31、实验目的32、实验原理32.1 物距像距法测焦距32.2 逐步逼近法42.3 对称测量法52.4 分辨区间53.实验仪器63.1 实验仪器63.2 仪器介绍64、实验内容74.1 光学系统的共轴调节74.2 物距像距法测焦距84.3 特殊数据的测量与记录84.3.1 光源修正值84.3.2 透镜托架尺寸105、实验

2、数据处理115.1 原始数据记录115.2 焦距及分辨区间的计算与列表135.2.1 实验组1145.2.2 实验组2145.2.3 实验组3155.2.4 实验组4155.2.5 实验组5165.3 实验对照组数据175.3.1 对照组1175.3.2 对照组2185.3.3 对照组3196、误差分析196.1 制造误差196.2 人眼分辨率196.3 球差206.4 主点间距离l导致的系统偏差216.5 透镜厚度227、实验分析257.1 逐步逼近法的分析257.2 基于分辨区间的分析277.3 其他方面的分析288、实验反思与总结28参考文献29摘要本文以物距像距法测焦距为主要内容，提出

3、了逐步逼近法以期对测度法进行改进，同时提出了分辨区间的概念，在优化逐步逼近法的同时，提出减小实验误差的建议。关键词： 物距像距法测焦距、逐步逼近法、分辨区间1、实验目的1. 验证本文提出的新的测量方法逐步逼近法的准确性和可靠性。探索逐步逼近法法是否更加高效，是否更加精确，为物理实验的发展和讨论提供经验。2. 讨论不同焦距的透镜，不同形状光源对判断成像清晰位置的影响；讨论不同物距的大小对像屏分辨区间的影响，进而讨论这些因素对焦距测量准确性的影响，对实验透镜、光源和推荐物距的选取提出改进意见。3. 从各个角度，尽量全面而系统地进行误差分析。培养严谨治学、一丝不苟的的态度提高全面分析问题的能力。2、

4、实验原理2.1 物距像距法测焦距 薄透镜是指其厚度比两球面的曲率半径小得多的透镜。透镜分为两大类：一类是凸透镜（也称为正透镜或会聚透镜），对光线起会聚作用。焦距越短，会聚本领越大。在近轴光束（靠近光轴并且与光轴的家教很小的光线）的条件下，薄透镜（包括凸、凹透镜）的成像公式为： （1）式中：为物距；为像距；为焦距。它的正、负规定为：实物、实像时，、为正；虚物、虚像时，为正，为负；凸透镜为正，凹透镜为负。对于薄透镜，公式中u、v和f均从透镜的光心算起。利用上式时必须满足：a. 薄透镜-薄透镜是指透镜的中心厚度d远小于其焦距f（df ）的透镜。；b. 近轴光线-指通过透镜中心部分并与主光轴夹角很小的

5、那一部分光线。实验中常采取的措施是：a.在透镜前加一光阑以去边缘光线；b.调节各元件使之共轴-同时选用小物体，并做等高共轴调节，把它的中点调到透镜的主光轴上，使入射到透镜的光线与主光轴的夹角很小。物距像距法测凸透镜焦距 2.2 逐步逼近法此方法主要针对实验过程中的测读法，所进行的读数方法上的改进。测读法的定义： 由于透镜成像的清晰程度有一个范围，不易精确定位，故可将像屏自左向右移动找到清晰的像，记下位置x，再将像屏自右向左移动找到清晰的像，记下位置x，取两位置的中心x=x+x2作像屏的位置。此方法被称为“测读法”。当光源以及透镜的位置固定之后，可知成清晰的像的位置是固定不变的。无论是从左向右移

6、动，还是从右向左移动，读数都是一个使成像相对清晰的像屏区间内的随机取值。两次取值，能够在一定程度上提高测读的精确程度。但是，测读法仍然存在着一定缺陷。首先，两次取值带有随机性，会增大实验误差；其次，两次数据的记录和处理，增加了数据处理量，使得实验更加繁琐，不便于提高效率。针对测读法的缺陷，本文提出了一个新的确定像屏位置的实验方法：逐步逼近法。此方法的创意来源于，数学上的二分法求零点：一般地，对于函数f(x),如果存在实数c,当x=c时，若f(c)=0,那么把x=c叫做函数f(x)的零点。解方程即要求f(x)的所有零点。假定f(x)在区间（x，y）上连续先找到a、b属于区间（x，y），使f(a)

7、，f(b)异号，说明在区间(a,b)内一定有零点，然后求f(a+b)/2,现在假设f(a)0,ab如果f(a+b)/2=0，该点就是零点，如果f(a+b)/2a，从开始继续使用中点函数值判断。如果f(a+b)/20，则在区间(a,(a+b)/2)内有零点，(a+b)/24f（f为透镜焦距）。将透镜沿光轴方向移动到O1和O2，分别在屏上成大像A1C1和小像A2C2。物点A位于光轴上，两次所成像A1和A2也均在光轴上。物点B不在光轴上，两次所成像B_1、B_2也都不在光轴上（物点B在光轴上方，B1、B2在光轴下方），且不重合（B1在B2下方）。但小像的B2点总比大像的B1点更接近光轴。据此可知，欲

8、将B调至光轴上，只需记下屏上小像B2点的位置，再找到放大像B1，调节透镜的高低位置，使B1向B2靠拢并稍超过（称为“大像追小像”），反复调节几次，逐步逼近，直到B1与B2重合，物点B便与透镜共轴了。4.2 物距像距法测焦距1. 固定光源的位置，拧紧紧固螺栓，记录光源坐标xo2. 确定凸透镜的初始位置xL0（为保证对物距影响效果的探讨，规定xL0要使物距u大致满足fxL0f，为计算方便设U=kf，则V=fk/(k-1)在物距像距法中由于忽略主点间距离l相，当物距U及像距V各增长了l/2，焦距计算值为f=UVU+V=(U+l2)(V+l2)U+V+l=f1+lU/V+V/U2(U+V)=f+l(1

9、k-12)2+14=f+fs1从式(2)可以看出k=2时，fs1最小为l/4(本实验取k=2)，所以fs1=l4=14DL(1-1n)=0.54mm由此可知，主点间距离l导致的系统偏差较小，属于次要偏差。6.5 透镜厚度6.5.1 近轴条件下薄透镜的成像公式薄透镜是由两个曲率半径分别为r1和r2的折射球而组成，透镜的厚度为d，折射率为n，透镜两侧的折射率分别记作n1向n2。像方焦距公式f=limss=n2(n-n1r1+n2-nr2)6.5.2凸透镜的主平而和焦点位置的计算公式由理想光学系统组合可知:假定两个己知光学系统的焦距分别为f1、f1、f2、f2两个光学系统间的相对位置用第一个系统的像

10、方焦点F1到第二个系统的物方焦点F2的距离用表示，符号规则为：以F的距离用表示，符号规则为:以F1为起点，计算到F2，由左向右为正。 像方焦距公式f=-f1f2其中可推出图1中a=d(n-1)(r2-r1+d)nr2-r+(n-1)d6.5.3 物距像距法误差传递公式根据图2，由高斯公式可得-s2=-s1+a2，s2=s1-a2f=-s1s1-s1+s1-s1+a2s1-a2-s1+a2+s1-a2=-s1s1-(-s1+a2)s1-a2-s1+s1=-a2s1-a2s1+a24-s1+s1设双凸透镜r1=r，r2=-r凸透镜玻璃介质的折射率为n=1.5，空气折射率为n1=n2=1，式（1）可

11、化为f=limss=n2(n-n1r1+n2-nr2)=1(n-1r-1-nr)=r2(n-1)=r式（2）可化为f=-f1f2=-nr(n-1)rn-1(d-f1+f2)=-nr2(n-1)2d-nrn-1-nr(n-1)=-1.5r2(0.25d-1.5r) 二次成像法是比较精确的测量方法毋须考虑透镜本身的厚度)，把二次成像法测得的焦距值代入式(3)求得双凸薄透镜的曲率半径r，再把r值代入式(4)双凸薄透镜像方焦距公式，理论上近似求得双凸薄透镜像方焦距。 在尽量减小其它原因(清晰成像位置不确定、光具座上光学元件共轴等高调节不准确)引起的焦距测量误差的情况下，主要分析薄透镜的厚度引入的误差。

12、采用此方法测得厚度与绝对误差的关系图 图3中可以看出:曲率半径与透镜厚度的比值越大，厚度引起的系统误差就越小;反之就越大。当r/d的比值大于25时，厚度在物距像距法中引起的系统误差可以忽略不计。 用Matlab进行二阶拟合，得到绝对误差与厚度的关系:f=0.0001(rd)2-0.0071rd+0.2336 由于薄透镜的厚度越厚，折射越靠近光心，所测得的焦距值会偏小，得到修正后的焦距为f+f，这样就可以近似消除薄透镜中因厚度引起的误差。若取透镜孔径D= 35. 00mm;透镜两曲面半径r 1= r 2=102. 11mm，则rd=2.9，经计算f=0.0001(rd)2-0.0071rd+0.

13、2336=0.02mm由此可知，由透镜厚度引起的误差较小，故可忽略不计。7、实验分析7.1 逐步逼近法的分析鉴于以上讨论的各种实验误差，可知物距像距法测焦距实验的系统误差较大，无法给出客观真值。并且，实验过程中，并未严格遵守控制变量法，不同实验组和对照组所测的数据必然会有所差别。因而讨论实验所测得的焦距的真值也就失去了意义。因此，本文采用通过对最终所得数据离散程度的计算和分析，并与对照组进行对照，来评价实验的精确程度，进而评定逐步逼近法对实验改进的影响。实验组1：经计算，实验组1中，所测得的焦距的样本方差s2=i=1nxi-x2n-1= 0.209763256实验组3： 经计算，实验组3中，所

14、测得的焦距的样本方差s2=i=1nxi-x2n-1= 0.795199674实验组4： 由图可知，本组实验数据存在2个测量错误，在数据处理时应当舍去。经计算，实验组4中，所测得的焦距的样本方差s2=i=1nxi-x2n-1= 0.094960069对照组1：经计算，对照组1中，所测得的焦距的样本方差s2=i=1nxi-x2n-1= 20.812对照组2：经计算，对照组2中，所测得的焦距的样本方差s2=i=1nxi-x2n-1= 1.1956由以上的数据分析可知，采用逐步逼近法的实验组与对照组相比，在不同仪器，不同透镜的环境下，所测得数据的样本方差均为较小的值，说明实验数据的离散程度小，测量结果

15、的精确程度较高。进而，在一定程度上验证了，逐步逼近法在提高实验精度上的优越性。7.2 基于分辨区间的分析分辨区间概念的提出，一方面是为了配合逐步逼近法的使用，方便数据记录更为条理化、系统化，有利于提高实验精度。另一方面，分辨区间刻画了辨别最清晰像的难易程度，分辨区间范围越大，说明最清晰的像的位置越难辨别，因位置判断不准导致的实验误差越大；分辨区间范围越小，说明最清晰的像的位置越易辨别，因位置判断不准导致的实验误差越小。因而，通过对分辨区间的分析，可以提出最佳的实验范围，减小测量过程中的随机误差，提高实验结果测定的精确度。实验组1: f=200mm透镜，光源：十字叉丝实验组2：f=200mm透镜

16、，光源：小孔实验组3：f=200mm透镜，光源：箭头实验组4：f=100mm透镜，光源：箭头实验组5：f=50mm透镜，光源：箭头五组数据表明，分辨区间的长度随物距的增加而逐步减小。由可知，像距v随着物距的增加而减小，因此物在像屏上的成像逐渐变小。像越小，每移动单位长度的像屏，则像的外轮廓在屏上的改变距离相对越大，此时，人眼更加容易对像的清晰程度进行分辨。由五组实验数据可知，当物距u2f时，分辨区间的长度相对较小，实验误差较小。因此，为了提高实验的精度，推荐物距相距法测焦距时，选定物距u2f的情形下，进行实验。7.3 其他方面的分析对于不同光源形状对实验的影响，由于实验过程中的现象不够明显，因

17、此在数据处理时，未对光源形状这一因素进行讨论。8、实验反思与总结 一个精彩的物理实验，需要为之付出大量的时间和精力。一个精彩的结论和发现，需要大量的数据支持。此次研究性实验报告的撰写过程，使我们真正明白了什么是实验，不是原来按着课本的模仿那么简单，当自己真正着手设计一个新的实验，或者，仅仅是改进实验中的某一环节时，发现自己的经验和实验技巧实在是不足，实验思维也不够缜密，导致一次又一次的去实验室补测数据。而这对于一个精确、合理的实验来说是不允许的，因为，不同的时间段去，有环境所造成的误差就加大了，而且，不能保证每次实验的仪器不被变更。由于能力知识的有限，本文重点在于对一个新的试验方法进行创新和讨论，由于时间和精力，并没有得到足够多的数据，无法进行充分的数据支持和理论分析，显得有些薄弱。通过这次物理实验，我们也收获了很多。在研究系统误差，比如人眼分辨率，球差，透镜厚度对透镜焦距的影响的实验中，学习和收获了许多以前不知道的知识，拓宽了视野，增加了看问题的角度。在设计和讨论新的实验改进方案的时候，我们第一次摆脱了课本，不再进行模仿式实验，而是真正自己为一个实验而进行缜密的思考和设计，这个过程使我们更加清晰的认识到了自