“时代杯”2018年江苏省中学数学应用与创新邀请赛初赛试题(含答案).doc

1、“时代杯” 2018 年江苏省中学数学应用与创新邀请赛初赛试题（初中组）(2018 年 12 月 6 日下午 14001540) 密一 二 三题号 总分110 1118 19 20 21 22得分注意事项：1 本试卷有 22 题共 4 页 满分 150 分考试时间 100 分钟2 用钢笔或圆珠笔（蓝色或黑色）直接答在试卷上3 答卷前将密封线内的项目及考号填写清楚一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一个是正确的每小题 5 分，共 50 分）1已知 m0，下列计算正确的是（ ） 2m3m5 Bm2m3m6 Cm3m2m D(m2)3m5Am2已知四个数： 2，3，4，5，任取其中两个数相乘，所得

2、积的最大值是（ ）号考A20 B12 C10 D63设 a1 与 2 ( a1)的值互为相反数，则 a 的值是（ ）A3 B1 C0 D134（n1）边形的内角和比 n 边形的内角和大（ ） 封 A360 B180 C90 D60 5现有二八年奥运会福娃卡片 5 张，卡片正面分别印着贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮名 妮，每张卡片大小、 质地和背面图案均相同 若将卡片正面朝下反扣在桌面上，从中随姓机一次抽出两张，则抽到卡片贝贝的概率是（ ）A15B14C25D456There is a piece of work It takes Mr. A alone 20 days to finish ，and

3、 Mr. B 30 alone days tofinish It takes them（ ）days to work together to finish the work A10 B12 C15 D50校学7如图，已知 O 的半径为 5，直线 l 与O 相交，点 O 到直线 l 的距离为 2，则 O 上到直线 l 的距离为 3 的点的个数是（ ）lOA4 B3 C2 D122x150，则此方程的所有实数根的和为（ ）8已知方程 x（第 7 题）A0 B 2 C2 D89已知实数 a，b 同时满足 a2b2110，a25b50，则 b 的值是（ ）A1 B1，6 C1 D610如图，在 ABC

4、 中， D、E 分别是 BC、AC 的中点C线 已知 ACB90，BE4，AD7，则 AB 的长为（ ）E DA10 B5 3C2 13 D2 15二、填空题（每小题 5 分，共 40 分）A B（第 10 题）11某人使用计算器计算全班 50 名学生的一次数学测验的平均分时，如果错将其中的一个成绩 115 分输入为 15 分，那么由此求出的平均分比实际平均分低 分112已知函数 y1 与 y2分别由下表给出，那么满足 y1y2的 x 的值是 x 1 2 3 x 1 2 3y1 1 3 1 y2 3 2 1输入 x13设 a 0， 5a是整数，则 a 的值为 否是否偶数14在图示的运算流程中，

5、若输出的数 y5，则输入的数 x 是减 1除以 2输出 y（第 14 题）15如图，在矩形 ABCD 中，点 E、F 分别在 AB、CD 上，D CFAFEC，AFD 与四边形 AECF 的面积相等已知AB6 cm，BC3 cm，则 AF 与 CE 之间的距离是cmA E B（第 15 题）16设直线 l 1 是函数 y2x4 的图象，将直线 l1 绕原点按逆时针方向旋转 90得到直线 l2，则 l2 与两条坐标轴所围成的三角形的面积是 F A17如图，在 ABC 中，已知 ABC90，D 是 AC 的中点，过D点 D 作 DEAC，与 CB 的延长线交于点 E，以 BA、BE 为邻边作长方形

6、 BAFE，连接 FD 若 C60，DF 3 cm，则 BC 的长为 cmEB（第 17 题）CD B18在 ABC 中，已知 ACB =90 o，A40o若以点 C 为中心，将ABC 旋转 角到 DEC 的位置，使 B 点恰好落在边 DE 上（如图所示） 则 oE三、解答题（第 1921 题每题 14 分，第 22 题 18 分，共 60 分）19已知关于 x 的方程（ a1）x24x12a0 的一个根为 x3C（第 18 题）A（1）求 a 的值及方程的另一个根；（2）如果一个三角形的三条边长都是这个方程的根，求这个三角形的周长220（1）已知恒等式 x3x2x1（ x1）（x2kx1），

7、求 k 的值；（2）若 x 是整数，求证：3x2x1 x22x1x是整数21甲、乙两个水池同时放水，其水面高度（水面离池底的距离） h（米）与时间 t（小时）之间的关系如图所示（甲、乙两个水池底面相同） （1）在哪一段时间内，乙池的放水速度快于甲池的放水速度？（2）求点 P 的坐标，由此得到什么结论？（3）当一个池中的水先放完时， 另一个池中水面的高度是8h( 米)多少米？76 P5 Q4甲 乙321O 1 2 3 4 5t (小时)322某人用一张面积为 S 的三角形纸片 ABC，剪出一个平行四边形 DEFG 记DEFG 的面积为 T,（1）如图 1，如果DEFG 的顶点都在 ABC 的各边

8、上， D、G 分别是 AB、AC 的中点求 T（用 S表示）；1（2）如图 2，如果 DEFG 的顶点都在 ABC 的各边上，求证： T S；2（3）对任意剪得的 DEFG ，T12S 还成立吗？请说明理由A AD GD GB E F C图 1B E F C图 242008 年“时代杯”江苏省中学数学应用与创新邀请赛初赛试题参考答案一、选择题（每小题 5 分，共 50 分）1C 2B 3D 4B 5C 6B 7B 8A 9A 10C二、填空题（每小题 5 分，共 40 分）112 122 131，4，5 1410，或 11 151.2 164 171 1880( 说明 ：第 13 题答对 1

9、个给 1 分，对 2 个给 2 分；第 14 题答对 1 个给 2 分）三、解答题（第 19 题第 21 题每题 14 分，第 22 题 18 分. 共 60 分）19解：（1）由题设，得 9（a1）4312a0解得 a2 3 分所以原方程为 x24x30它的另一个根是 1 7 分（2）由题设知，三角形的三边中至少有两条边相等，则有下列两种情形：三边相等，边长为 1，1，1；或 3，3，3那么三角形的周长是 3 或 9； 11 分仅有两边相等，因为 1123，所以三角形的边长只能为 3，3，1那么三角形的周长是 7由、知，三角形的周长可以是 3，或 7，或 9 14 分20解：（1）由题设知，

10、2 3 2(x 1)(x kx 1) x (k 1)x (k 1)x 1， 3 分所以3 2 1 3 ( 1) 2 ( 1) 1x x x x k x k x ，从而有kk1 1,1 1.解得 k0 7 分（2）3 2 2x x x 1 (x 1)( x 1)2 2x 2x 1 (x 1)x 1因为 x 是整数，所以 x1 是整数故3 2x x x2x 2x 11是整数 14 分21解：（1）由图知，甲池的放水速度为842（米 /小时）当 0t3 时，乙池的放水速度为13（米/小时）；当 3t5 时，乙池的放水速度为52（米/小时）因为132，252，所以 3t5 时，乙池的放水速度快于甲池的

11、放水速度 4 分（2）甲池中水面高度 h（米）与时间 t（小时）的函数关系为 h2t81当 0t3 时，乙池中水面高度 h（米）与时间 t（小时）的函数关系为 h t 635由hh2t13t8,6.解得th6,5528.所以6 28P( , ) ，即 P (1.2,5.6) 5 5由此说明，当 t1.2 小时时，两池中水面的高度相等 10 分（3）由图知，甲池中的水 4 小时放完当 3t5 时，乙池中水面高度 h（米） 与时间 t（小时） 的函数关系为 5 25h t 2 2当 t4 时，5h ，即 h2.52所以当甲池中的水先放完时，乙池中水面的高度是 2.5 米 14 分注：（1）中，答

12、3t4，不扣分22解：（1）因为 D、G 分别是 AB、AC 的中点，1所以 DG BC，且 DG BC2分别过点 A、D 作 AMBC，DNBC则 DNBAMB因为 BB，所以 DNB AMB又因为 DB1 1AB，所以 DN AM2 21故 T2S 6 分（2）过点 G 作 GHAB，交 BC 于点 H则 BGHF 因为 DE GF，DEGF，所以 DEB GFH从而有 DBEGHF 因为 DG BC，所以 ADGB，从而有 ADGABC同理， GHC ABC设 ADkAB（0k1），则 SADGk 2S同理， SGHC （1k）2S GHC 1k 2（1k）2 STSSADG S1 1（

13、 2 k 22 k）S2（k ）2 S2 41 1 12（k ）2 S22S2 S 12 分A（3）分以下四种情形讨论：G G D第一种情形 ：如果剪得的平行四边形有三个顶点在三角形的边上，第四个顶点不在三角形的边上 当其中有两个顶点在同一边时，如图 3-1 所示，延长 DG 交 AC 于点 G，过点 G作 GFGF，交 BC 于点 F，B CE F F图 3-1易知四边形 DEF G是平行四边形，则 TSDEF GA1 2由（2）知， SDEF GS所以 T12SGGD 当三点分别在三角形的三边时，如图 3-2，过 A 点作F FAHDE 交 EF、DG 于 F、G,问题转化为（ 2）和图

14、3-1 两种情形，则B H C E图 3-26T= SDEF G+SFGGF 12 SABH+12 SAHC=SA第二种情形 ：如果剪得的平行四边形有两个顶点在三角形的边上，另两个顶点不在三角形的边上当这两个顶点在同一边上时，如图 3-3，延长 DG 与三角L GDK形的两边 AB、AC 分别交于点 L、K，作平行四边形 MNKL 问题转化为（ 2）则T= SDEFGSMNKL 12SB M E F N C图 3-3A当这两个顶点分别在三角形的两边上时，如图 3- 4延长 DE、GF 交 BC 于点 K、M，过点 K 作 KNDG，交 G M 于点 N易得四边形 DKNG 是平行四边形，从而问题转化为图 3-2 的情形，DG则F1T= SDEFG SDKN G2 S第三种情形 ：如果剪得的平行四边形只有一个顶点在三角形的ENB K M C图 3-4的边上，另三个顶点不在三角形的边上如图 3-5，延长 ED、FG 分别交 AB、AC 于点 K、M，过点 K 作 KN DG，交 FM 于A点 N易得四边形 EFNK 是平行四边形，从而问