结构力学渐近法

1、6-3 6-3 力矩分配法的基本概念力矩分配法的基本概念力矩分配法力矩分配法理论基础：位移法；理论基础：位移法；计算对象：杆端弯矩；计算对象：杆端弯矩；计算方法：逐渐逼近的方法；计算方法：逐渐逼近的方法；适用范围：连续梁和无侧移刚架。适用范围：连续梁和无侧移刚架。表示杆端对转动的抵抗能力。表示杆端对转动的抵抗能力。在数值上在数值上 = = 仅使杆端发生单位转动时需在杆端施加的力矩。仅使杆端发生单位转动时需在杆端施加的力矩。1SAB=4i1SAB=3iSAB=i1SAB=0SAB与杆的与杆的i（材料的性质、横截面的形状和尺寸、杆长）及远端支承有关，（材料的性质、横截面的形状和尺寸、杆长）及远端支

2、承有关，而与近端支承无关。而与近端支承无关。如果把如果把A端改成固定铰支座、可动铰支座或可转动（但不能移动）的刚结点端改成固定铰支座、可动铰支座或可转动（但不能移动）的刚结点转动刚度转动刚度SAB的数值不变。的数值不变。 一、转动刚度一、转动刚度S：=1AB4i2i 在确定杆端转动刚度时：在确定杆端转动刚度时：近端看位移近端看位移（是否为单位位移）（是否为单位位移） 远端看支承远端看支承（远端支承不同，转动刚度（远端支承不同，转动刚度S不同）。不同）。MAB1MABMAB111MAB下列哪种情况的杆端弯矩下列哪种情况的杆端弯矩MAB=SAB转动刚度转动刚度SAB=4i是（是（ ）iiiiiiA

3、AAAA4iSAB3iBBBBB分配系数分配系数SAB = 4i1SAB= 3i11SAB= i二、分配系数二、分配系数 设设A点有力矩点有力矩M，求，求MAB、MAC和和MADCABDiABiACiADAM如用位移法求解：如用位移法求解：AABAABABSiM 4AACAACACSiMAADAADADSiM 3MMABMACMAD0AmAADACABSSSM)(AADACABASMSSSMMSSMAADAD于是可得于是可得MSSMAABABMSSMAACACMMAjAjAAjAjSS1三、传递系数三、传递系数MAB = 4 iAB AMBA = 2 iAB A21ABBAABMMCMAB =

4、 3iABA0ABBAABMMCMAB= iABAMBA = - iAB A1ABBAABMMC 在结点上的外力矩按各杆分配系数分配给各杆近端截面，各杆远在结点上的外力矩按各杆分配系数分配给各杆近端截面，各杆远端弯矩分别等于各杆近端弯矩乘以传递系数。端弯矩分别等于各杆近端弯矩乘以传递系数。AlAB近端近端远端远端ABAAABii 4i 3远远 端端 约约 束束SC固固 定定0.5铰铰 支支0滑滑 动动-1利用传递系数的概念，远端弯矩可表达为：MBA=CABMAB 等截面直杆的转动刚度S和传递系数C如下表。 符号规定符号规定: 外力偶外力偶-绕杆端顺时针为正绕杆端顺时针为正 杆端弯矩杆端弯矩-绕

5、杆端顺时针为正绕杆端顺时针为正 杆端剪力杆端剪力-使杆轴顺时针转为使杆轴顺时针转为 正正 杆端转角杆端转角-顺时针为正顺时针为正 杆端相对线位移杆端相对线位移-使杆轴顺时针转为正使杆轴顺时针转为正i=1i=1i=290kN1）计算转动刚度及分配系数求）计算转动刚度及分配系数求2）求杆端弯矩）求杆端弯矩 mAB= mBA=mAD=40 2030M=90mABmADmAC3) 最后弯矩最后弯矩M图（图（kN.m)2m2m4m4mABCD计算转动刚度：计算转动刚度：SAB=4iAB=4SAD=3iAD=3922342AC设设i =EI/lSAC=iAC=2分配系数分配系数：942344AB93234

6、3AD mAC= mCA=2010mDA= 30mABmBA6-3 6-3 单结点的力矩分配单结点的力矩分配非结点力偶分配非结点力偶分配ABCMABMBAMBCABCMABPMBAPMBCPMBMBMBAPMBCPMB=MBAP+MBCPABC-MBBAMBCMABM0-MBBAMBCM)(BBABAMM)(BBCBCMM+=最后杆端弯矩：最后杆端弯矩：MBA = MBAP+BAMMBC =MBCP+BCMMAB= MABP+ABM然后各跨分别叠加简支梁的弯矩图，即得最后弯矩图。然后各跨分别叠加简支梁的弯矩图，即得最后弯矩图。固端弯矩带本身符号固端弯矩带本身符号9-26-3 9-26-3 单结

7、点的力矩分配单结点的力矩分配力矩分配法的局限：由于力矩分配法只讨论力矩的分配与传递问题，没有涉力矩分配法的局限：由于力矩分配法只讨论力矩的分配与传递问题，没有涉及剪力的分配与传递，故该方法只是用于无侧移结构（即无结点线位移）。及剪力的分配与传递，故该方法只是用于无侧移结构（即无结点线位移）。总结：总结：应用条件：应用条件：只有角位移的刚架和连续梁只有角位移的刚架和连续梁三概念：三概念：刚度系数、分配系数、传递系数刚度系数、分配系数、传递系数符号规定：符号规定：单结点力矩分配法基本原理：单结点力矩分配法基本原理：加刚臂加刚臂去刚臂去刚臂叠加叠加步骤：步骤：1、计算固端弯距，不平衡力矩、计算固端弯

8、距，不平衡力矩2、计算分配系数、传递系数、计算分配系数、传递系数3、分配传递、分配传递4、绘内力图、绘内力图与位移法一致与位移法一致例例2. 用力矩分配法作图示连续梁用力矩分配法作图示连续梁的弯矩图。的弯矩图。3m3m6mEIEI200kN20kN/m（1 1）B点加约束点加约束ABC200kN20kN/mMAB=MBA=MBC=mkN 15086200mkN 150mkN 9086202MB=MBA+ MBC=mkN 60-150150-90（2 2）放松结点）放松结点B B，即加，即加-60-60进行分配进行分配60ABC-60设设i =EI/l计算转动刚度：计算转动刚度：SBA=4iSB

9、C=3i分配系数分配系数：571. 0344iiiBA429. 073iiBC0.5710.429分配力矩分配力矩:3 .34)60(571. 0BAM7 .25)60(429. 0BCM-34.3-25.7-17.20+(3) (3) 最后结果。合并前面两个过程最后结果。合并前面两个过程ABC0.571 0.429-150150-90-34.3-25.7-17.20-167.2115.7-115.70167.2115.730090M图图(kNm)ABC=i=1i=1i=22m2m4m4mABCD40kN/m100kN15kN例例3.用力矩分配法计算用力矩分配法计算,画画M图。图。解：解：1）

10、求）求AB= AC=AD=4/92/93/92）求）求m mAB= mBA=mAD=50 50 80M=15MAmABmADmACMA=mAB+mAD+mAC =50-80=-30体系外力偶（直接分配）体系外力偶（直接分配）=15结点结点BACD杆端杆端分配系数分配系数BAABADACCADA4/93/92/9分配与传递分配与传递20固端弯矩固端弯矩 5050 8010151010最后弯矩最后弯矩 4070 6510 101002m2m4m4mABCD40kN/m100kN15kN40701001080M图（图（kN.m)（15）不平衡力矩（负向分配）不平衡力矩（负向分配）实际分配实际分配=3

11、0+15=45ABCDAB= AC=AD=4/92/93/94/92/93/915kN 50+50 80 mAB= mBA=mAD= 8050 50201510101010 4070 6510 1010i=1i=1i=22m2m4m4mABCD40kN/m100kN15kN10040701080M图（图（kN.m)6-4 多结点的力矩分配ABCDBCMBAMBCMCBMCDMABMBMCmBAmBCmCB-MB放松，平衡了放松，平衡了MC固定固定放松，平衡了放松，平衡了-MC固定固定固定固定放松，平衡了放松，平衡了渐近运算渐近运算CB例例1.1.用力矩分配法列表计算图示连续梁。用力矩分配法列表

12、计算图示连续梁。ABCD6m6m4m4mEI=1EI=2EI=120kN/m100kN61ABi4182BCi61CDi141432614BCBASS6 . 04 . 032132BCBA216131414CDCBSS333. 0667. 02111CDCB0.40.60.667 0.333m-6060-100100分配与传递-33.3-66.7-33.429.4442214.7-14.7-7.3-7.34.42.92.2-1.5 -0.7-0.70.30.41.50.2-43.692.6 -92.641.3-41.3Mij043.692.6133.141.3ABCD21.9M图（图（kNm）

13、ABCD6m6m4m4mEI=1EI=2EI=120kN/m100kN43.6133.141.321.9M图（kNm）92.6ABCDABCD51.868.256.443.66.9Q图（kN）求支座反力求支座反力68.256.4B124.6 1 1）单结点力矩分配法得到精确解；多结点力矩分配法得到渐近解。）单结点力矩分配法得到精确解；多结点力矩分配法得到渐近解。 2 2）首先从结点不平衡力矩绝对值较大的结点开始。）首先从结点不平衡力矩绝对值较大的结点开始。 3 3）结点不平衡力矩要变号分配。）结点不平衡力矩要变号分配。 4 4）结点不平衡力矩的计算：）结点不平衡力矩的计算：结点不平结点不平衡力

14、矩衡力矩（第一轮第一结点）（第一轮第一结点）固端弯矩之和固端弯矩之和（第一轮第二、三（第一轮第二、三结点）结点）固端弯矩之和固端弯矩之和 加传递弯矩加传递弯矩传递弯矩传递弯矩（其它轮次各结点）（其它轮次各结点）总等于附加刚臂上的约束力矩总等于附加刚臂上的约束力矩5 5）不能同时放松相邻结点（因定不出其转动刚度和传递系数），但可）不能同时放松相邻结点（因定不出其转动刚度和传递系数），但可 以同时放松所有不相邻的结点，以加快收敛速度。以同时放松所有不相邻的结点，以加快收敛速度。力矩分配法小结：力矩分配法小结：1114321ABCDFEB3 . 04 . 03 . 0BEBCBAC222. 0333. 0445. 0CFCDCBmBA= 40kNm mBC= - 41.7kNm mCB= 41.7kNm0.30.40.30.4450.33340-41.7-41.7-18.5-9.3 -13.9-9.33.33.34.42.2-1.0-0.5 -0.7-0.50.15 0.150.2-4.651.65-0.250.0743.45 3.45 -46.