中考数学与相似有关的压轴题附答案解析

1、-X相似真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1.已知：如图，在AABC中，AB=BC=10,以AB为直径作00分别交AC, BC于点D, E,垂足为F,交BD于点P.（2）若CE二2,求线段CD的长；（3）在（2）的条件下，求厶DPE的面积.【答案】（1）解：TAB是00的直径，Z ADB=90% 即 BD 丄 AC AB 二 BC, ABD旻CBD Z ABD=Z CBD在O0中，AD与DE分别是Z ABD与Z CBD所对的弦 AD=DE：(2)解：四边形 ABED 内接于OO, /. Z CED=Z CAB,CE CD 二 Z C=Z C,厶 CED- CAB, /. CA CB 9TAB

2、二 BC=10, CE=2, D 是 AC 的中点， CD=W :在 RtA ABD 中，AD= W , AB二 10,BD=3 丫冗，EM丄ABAB是OO的直径， .血二莎， Z BEP=Z EDB, BPE- BED,BD _ BE反亦，32 BP= 15 ,1376:.DP=BD-BP= 15 ,Sa dpe： Sa bpe=DP: BP=13: 32,1/ SA BCD= X V76x3=15, SA BDE： SA bcd=BE： BC=4： 5,bde=1252Sa dpe= 15 .【解析】【分析】（1）根拯已知条件AB是O0的直径得岀Z ADB=90%再根拯等腰三角 形的三线合

3、一的性质即可得出结论。（2）根据圆内接四边形的性质证得Z CED=Z CAB ,再根据相似三角形的判左证岀 CED-ACAB,得出对应边成比例，建立关于CD的方程，即可求出CD的长。（3）延长EF交00于在RtA ABD中，利用勾股定理求出BD的长，再证明 BPE- BED,根据相似三角形的性质得对应边成比例求岀BP的长，然后根据等髙的三 角形的而积之比等于对边之比，再由三角形而积公式即可求解*2.如图，在Rr 沟中，ZABC = 90 .点M是AC的中点，以AB为直径作0 C（1）求证：血二弧（2）填空：若 AB =6,当 AD = 2Dh 时，DE = :连接血，0Et当厶的度数为时，四边

4、形ODME是菱形.【答案】（1）证明：ZABC=90, AM=MC, /. BM=AM=MC, /. Z A=Z ABM四边形 ABED 是圆内接四边形，Z ADE+Z ABE=180 ,又 Z ADE+Z MDE=180 ,/. Z MDE=Z MBA,同理证明：Z MED=Z A, /. Z MDE=Z MED, /. MD=ME（2） 2： 60 DE【解析】【解答】解：（2）由（1）可知，Z A=Z MDE , A DE II AB /. AB = Mb11胡./ AD=2DM, DM： MA=1： 3, DE=JAB= 3x6=2 故答案为：2.当ZA=60。时，四边形ODME是菱形

5、.理由如下：连接OD、OE. OA二OD , Z A=60 ,心 AOD 是等边三角形，/. Z AOD=60 T DE II AB , /. Z ODE=Z AOD=60 t Z MDE=Z MED=Z A=60,二 ODE , A DEM 都是等边三角形， 0D二OE二EM二DM,四边形OEMD是菱形.故答案为：60.【分析】（2）要证MD=ME,只须证Z MDE=Z MED即可。根据直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半可得BM=AM=MC ,则Z A=Z ABM ,由圆内接四边形的性质易得 Z MED=Z A, Z MDE=Z MBA,所以可得Z MDE=Z MED：DE _ a -

6、b -3 = 0a = 1得：% + 力- 3 = G，解得：b = - 2,该二次函数的表达式为y=x2-2x-3（2）解：当 y=0 时，x+5=0,解得：x=-5,点C的坐标为（-5, 0）.点A的坐标为（-1, 0）,点B的坐标为（3, 0）, AC=4, BC=8. ECA-厶 BCE,AC EC 4 EC Z ECA=Z BCE, EC = BC ,即 EC= 8 ,EC二4运或EC二4京（舍去），过点E作EF丄x轴于点F,如图2所示，直线I的函数表达式为y=x+5,CEF为等腰三角形, CE=EF=4,OF=5+4=9, EF二4,点E的坐标为(-9, -4):(3)解:y=x2

7、-2x-3= (x-1) 24点D的坐标为(1, -4),/. AD=BD= yfTi 一(一 I)2 + (4 - 0)2 =2,由(2)可知：点E的坐标为(9,4),直线DE的函数表达式为尸4过点A作AM丄BD于点过点A作AN丄直线DE于点N,如图2所示,Sa abd= x3- (-1) x4=8 2S zi aD 16:.AM= BD =2石=5 ,DM=(AD? - AM J 5 ,Z APD=Z ADB,AN AM/. tanz APD=tanZ ADB,即 PN = DM ,8554两PN = ,/. PN=3,又T点N的坐标为（-1,-4）,.点P的坐标为（-4,-4）或（2,

8、-4）.综上所述：在直线DE上存在点P （-4, -4）或（2,-4），使得Z APD=Z ADB.【解析】【分析】（1）根据点A, B的坐标，利用待泄系数法即可求出二次函数的表达 式：（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求岀点C的坐标，结合点A, B的坐标利用 相似三角形的性质可求岀EC的值，过点E作EF丄x轴于点F,贝仏CEF为等腰三角形，根 拯等腰宜角三角形的性质可求出CE, EF的值，进而可得出点E的坐标；（3）利用配方法 可求出点D的坐标，进而可得出BD的长度，结合点E的坐标可得出直线DE的函数表达式 为y=-4,过点A作AM丄BD于点M,过点A作AN丄直线DE于点N,利用面积法可

9、求岀 AM的值，由Z APD=Z ADB结合正切的泄义可求出PN的值，再结合点N的坐标可得出点P 的坐标，此题得解.5.如图，抛物线y =ax，bx - 4经过k （- 3,0）, B -矽两点，与y轴交于点C, 连接 AB, AC, BC.（3）抛物线的对称轴上是否存在点M,使得4 ABM是以AB为直角边的直角三角形，若 存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.瓜一氐-4 = 0【答案】（1）解：将（- 3,0） , B -刃代入得：% - 4二-4915a - - b -解得： 6、6、y 二一 *X 4:抛物线的解析式为Q 6(2)解：(2) 7 A0 = 5, 0C =4, : A

10、C =由两点间的距离公式可知BD = Q(5 - 2W + ( - 4 - 0卩=5 , ： 0(0, - 4) , B - 4), : BC =矢: BD 二 BC,在 4 ABC 和 4 ABD 中，AD 二 AC, AB - AB, BD = BC , ：4 AB8 4 ABD, : ZCAB 二 ZBAD , : AB 平分 ZCAO（3）解：如图所示：抛物线的对称轴交x轴与点E,交BC与点F.511x 二 AE 二 * 1抛物线的对称轴为么贝旷5 h( - 3,0) , B 心-4), : tan/EAB2, :.Fab = 90 , : tanZif AE - 2 , : ME 二

11、刀E 二刃，,5 : M (-11)2 ,同理：tanNMMF = 2、5: BF 二-又纠 : FM =5 : y - 9)II） 9）:点M的坐标为2 或为【解析】【分析】（1）利用待立系数法，将点A、B两点坐标分别代入抛物线的解析式, 求出a、b的值，即可解答。（2）利用勾股立理，在RtA AOC中，求岀AC的长，再根据两点间的距离公式求出BD的 长，由点B、C的坐标，求出BC的长，可证得BD=BC,然后证明厶ABC里 ABD ,利用 全等三角形的性质，可证得结论。（3）抛物线的对称轴交x轴与点E,交BC与点F.求出抛物线的对称轴，就可求出AE的 长，再利用点A、B的坐标，求岀tanZ

12、EAB的值，再由Z M*AB = 90 ,求出tanZ Z ME 的值，求岀WE的长，就可得岀点的坐标，再用同样的方法求出点M的坐标，即可解 答。6.（1）【发现】如图，已知等边人馭,将直角三角形的角顶点Z任意放在EC边 上（点力不与点万、C重合），使两边分别交线段曲、应于点上、 若 AB = 6 , AE = 4. BD =2.则 67 = : 求证：AEBD ADCF.（2）【思考】若将图中的三角板的顶点厶在万C边上移动，保持三角板与AC的两 个交点上、0都存在，连接刃，如图所示问点0是否存在某一位置，使励平分上购BD且刃平分/应？若存在，求出花的值：若不存在，请说明理由.（3）【探索】如

13、图，在等腰4力风中，AB = AC ,点C为况边的中点，将三角形透明 纸板的一个顶点放在点c处（其中ZMZ ZB）、使两条边分别交边肋、应于点氏F【答案】(1 )解:4 :证明： Z EDF二60。, Z B=160 Z CDF+Z BDE=120 ,Z BED+Z BDE=120 Z BED=Z CDF,又 Z B=Z C,. AEBD ADCF(2)解：解：存在。如图，作DM丄BE, DG丄EF, DN丄CF,垂足分别为M, G, N,ffiQ励平分厶血且皿平分nZT込 DM=DG=DN,又T Z B=Z 060, Z BMD=Z CND=90% BDM汪 CDN, BD二CD.即点D是B

14、C的中点，BD-1CD 。(3) 1-cosa【解析】【解答】(1) ABC是等边三角形，. AB=BC=AC=6, Z B=Z C=60, AE二4, BE=2,则 BE二BD, BDE 是等边三角形,A Z BDE=60,又/ Z EDF=60, Z CDF=180-Z EDF-Z B二60,则Z CDF =Z C=60, CDF是等边三角形，CF=CD=BC-BD=6-2=4o(3 )连结AO,作OG丄BE, OD丄EF, OH丄CF,垂足分别为G, D, H,则Z BGO=Z CHO=90,TAB二AC, O是BC的中点Z B=Z C, OB=OC OBG汪OCH,/. OG=OH,

15、GB=CH, Z BOG二Z COH二90-a,则Z GOH=180- （Z BOG+Z COH） =2a,T Z EOF=Z B二a,则Z GOH=2Z EOF=2a,由（2）题可猜想应用EF=ED+DF=EG+FH （可通过半角旋转证明），则 Cj侮二AE+EF+AF二AE+EG+FH+AF二AG+AH二2AG,设 AB二m,则 OB二mcosa, GB二mcosa,Caaef 2AGAG i/i 一 zwcosa=y cos aCd ABC 2 （AB 事 OB） AB 亠 OB 加f/icos a【分析】（1）先求岀BE的长度后发现BE=BD的，又Z B=60,可知 BDE是等边三角

16、形，可得Z BDE=60,另外Z EDF=60,可证得 CDF是等边三角形，从而CF=CD=BC-BD； 证明AEBD ADCF ,这个模型可称为一线三等角相似模型”，根据“AA判泄相似：（2）【思考】由平分线可联系到角平分线的性质角平分线上的点到角两边的距离相等”， 可过D作DM丄BE, DG丄EF, DN丄CF,贝J DM=DG=DN,从而通过证明 BDM细CDN可得 BD=CD :（ 3 ）【探索】由已知不难求得CaaBC = AB + BC + AC二2AB + 20B=2（m+mcos）,则需要用m和a的三角函数表示出心朋5,心砒=ae+EF+AF：题中直接已 知O是BC的中点，应用

17、（2）题的方法和结论，作OG丄BE, OD丄EF, OH丄CF,可得 EG=ED, FH=DF,则侮=AE+EF+AF= AG+AH=2AG,而 AG=AB-OB,从而可求得。7.如图所示， ABC和厶ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，Z BAC=Z DAE=90, EC的 延长线交BD于点P.（1）把AABC绕点A旋转到图1, BD, CE的关系是（选填相等或不相等”）：简要说明 理由：（2）若AB=3, AD=5,把 ABC绕点A旋转，当Z EAC=90时，在图2中作出旋转后的图 形，求PD的值，简要说明计算过程：（3）在（2）的条件下写出旋转过程中线段PD的最小值为,最大值为【答案】（

18、1）解：相等理由： ABC和厶ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，Z BAC=Z DAE=90, BA二CA, Z BAD=Z CAE, DA二EA, ABD旻厶ACE, BD=CE；（2）解：作出旋转后的图形，若点C任AD上，如图2所示: Z EAC=90,.CE= +掳=岳,Z PDA二Z AEC, Z PCD=Z ACE, PCD-厶 ACE,PD CDAE CE,:.PD=】7:若点B在AE上，如图2所示: Z BAD二90, RtA ABD 中，BD= J妙 + 掳=翻,BE=AE - AB二2,T Z ABD=Z PBE, Z BAD=Z BPE=90, BAD- BPE,PB B

19、E PB:.矿瓦H卩3 一 仞,解得PB=20:.PD二BD+PB二(3) 1： 7【解析】【解答】解：(3)如图3所示，以A为圆心，AC长为半径画圆，当CE在OA下 方与OA相切时，PD的值最小：当CE在在OA右上方与OA相切时，PD的值最大.如图3所示，分两种情况讨论：囹3忙在RtA PED中，PD二DEsinZ PED,因此锐角Z PED的大小直接决左了 PD的大小. 当小三角形旋转到图中 ACB的位置时，在RtA ACE中，CE二歹-护=4,在RtA DAE中，DE=Q係+京=朋,四边形ACPB是正方形，. PC=AB=3, PE=3+4=7,在 RtA PDE 中，PD=加-卩庄=(

20、50 _ 49 = 1,即旋转过程中线段PD的最小值为1： 当小三角形旋转到图中 ABI时，可得DP切最大值，此时，DP=4+3=7,即旋转过程中线段PD的最大值为7.故答案为：2, 7.【分析】（i） BD, CE的关系是相等，理由如下：根据同角的余角相等得岀 Z BAD=Z CAE,根据等腰宜角三角形的性质得出BA=CA, DA=EA.从而利用SAS判断岀 AB於 ACE,根据全等三角形对应边相等得出BD=CE：（2）作出旋转后的图形，若点C在AD上，如图2所示：首先根据勾股左理算岀CE的PD _Cb长，然后判断岀 PCD- ACE,根据相似三角形对应边成比例得出旋云，根拯比例式 列出方程

21、，求解得岀PD的长；若点B在AE上，如图2所示：根据勾股泄理算出BD的 PB BE长，然后判断出 BAD- BPE,根据相似三角形对应边成比例得出冠-BL，根据比例式 列出方程，求解得岀PB的长，根据线段的和差即可得出PD的长：（3）如图3所示，以A为圆心，AC长为半径画圆，当CE在OA下方与0A相切时，PD 的值最小；当CE在在0A右上方与OA相切时，PD的值最大.如图3所示，分两种情况讨论：在RtA PED中，PD=DEsinZ PED,因此锐角Z PED的大小 直接决泄了 PD的大小.当小三角形旋转到图中AACB的位置时，根据勾股左理算岀 CE,DE的长，根据正方形的性质得出PC=AB=

22、3,进而得出PE的长，根据勾股立理算出PD 的长，即旋转过程中线段PD的最小值为1：当小三角形旋转到图中ABI时，可得DP， 为最大值，此时，DP=4+3=7,即旋转过程中线段PD的最大值为7.（1）【探索发现】如图1.是一张直角三角形纸片，NB,小明想从中剪出一个以NB为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得 的矩形的而积最大，随后，他通过证明验证了英正确性，并得出：矩形的最大而积与原三 角形面积的比值为（2）【拓展应用】如图2,在 4 ABC中，BC - a, BC边上的高AD - h,矩形PQMN 的顶点P、N分别在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，求出矩形PQMN面积的最大值 （用含a、h的代数式表示丿；（3）【灵活应用】如图3,有一块缺角矩形ABCDE, AB =28, BC =36, AE = 18, CD = 14,小明从中剪出了一个而积最大的矩形 为所剪出矩形的内角丿，直接写岀该 矩形的而积.【答