中考数学压轴题专题锐角三角函数的经典综合题含答案

1、-锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1.如图，AB是OO的直径，点C, D是半圆0的三等分点，过点C作OO的切线交AD的 延长线于点E,过点D作DF丄AB于点F,交OO于点H,连接DC, AC.（1）求证：Z AEC=90；（2）试判断以点A, O, C, D为顶点的四边形的形状，并说明理由；（3）若DC=2t求DH的长.（2）四边形A0CD为菱形:（3）DH=2V7【解析】试题分析：（1）连接0C,根据EC与00切点C.则Z0CE二90。，由题意得,Z DAC=Z CAB,即可证明 AEII 0C,贝!|z AEC+Z OCE=180,从而得出Z AEC=90；（2）四边形A0C

2、D为菱形.由（1）得 = 则Z DCA=Z CAB可证明四边形AOCD是平行四边形，再由OA=OC,即可证明平行四边形AOCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）：（3）连接0D.根据四边形AOCD为菱形，得A0AD是等边三角形，则Z AOD=60,再由DFDH丄AB于点F, AB为直径，在RtA OFD中，根据sinZ AOD=D,求得DH的长. 试题解析：（1）连接0C,EC与OO切点C,0C丄EC, Z OCE=90,点CD是半圆O的三等分点, Z DAC=Z CAB, OA=OC,.Z CAB=Z OCA, Z DAC=Z OCA, AEII OC （内错角相等，两直线平行） Z

3、AEC+Z OCE=180.Z AEC=90：（2）四边形AOCD为菱形理由是： Z DCA=Z CAB, CD II OA,又AEII OC,/.四边形AOCD是平行四边形， OA=OC,平行四边形AOCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）；（3）连接0D.四边形AOCD为菱形，. OA=AD=DC=2, OA=OD,. OA=OD=AD=2, OAD是等边三角形， Z AOD二60,。日丄人8于点AB为直径, DH二2DF,DF在 RtA OFD 中，sinZ AOD二。 DF=ODsinZ AOD二2sin60=g考点：1 切线的性质2等边三角形的判左与性质3菱形的判立与性质4解直

4、角三角形.2. （2013年四川攀枝花12分）如图，在平而直角坐标系中，四边形ABCD是梯形，ABH CD,点 B （10, 0） , C （7, 4）.直线 I 经过 A, D 两点，且 sinZ DAB二遲.动点 P在线段AB上从点A出发以每秒2个单位的速度向点B运动.同时动点Q从点B出发以每 秒5个单位的速度沿BTCTD的方向向点D运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线 ATDTC相交于点M,当P, Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动.设点 P，Q运动的时间为t秒（t0） , MPQ的而积为S（1）点A的坐标为,直线I的解析式为:（2）试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并

5、写出相应的t的取值范围：（3）试求（2）中当t为何值时，S的值最大，并求出S的最大值：（4）随着P, Q两点的运动，当点M在线段DC运动时，设PM的延长线与直线I相交 于点N,试探究：当t为何值时，QMN为等腰三角形？请直接写出t的值.【答案】解：（1） （ -4, 0） ； y二x+4.（2）在点P、Q运动的过程中：当0tl时，如图 PE=PB - BE= (14 - 2t) - 3t=14 - 5t,S=-PM*PE=-x2tx (14- 5t) = - 5t2+14t.2 2当ltPE=-x2tx (16 - 7t) = - 7t2+16t.2 2当点M与点Q相遇时,DM+CQ二CD二7

6、,即(2t4) + (5t- 5) =7 解得 t=7当2MQ=-x4x (16 - 7t) = - 14t+32.22-5t2 + 14t(0t 1)综上所述，点Q与点M相遇前S与t的函数关系式为KJ +16t(lt2) -14t + 32| 2t |7丿/ 2(3)当 0VtG 时，S = -5t2 + 14t = -5t-|j +y ,7 V a=-50,抛物线开口向下，对称轴为直线t=-,.当0tG时，S随t的增大而增大.当t=l时，S有最大值，最大值为9./ 、2当 lt2 时，S = -7t2+16t=-7| t-|,I 7丿7QV a= - 70,抛物线开口向下，对称轴为直线t二

7、亍，当t=3时，S有最大值，最大值为荐.77当 2VtV 孕时，S= - 14t+32.k=140, Z. S随t的增大而减小.又当t=2时，S=4；当忖仪时，S=0, /. 0S Z DAB=45. OA=OD=4A （ 4, 0）2-4k + b = 0k = 1设直线I的解析式为：M+b,则有，解得：_ 2创点A坐标为（-4, 0）,直线I的解析式为：y=x+4.（2）弄淸动点的运动过程分别求解：当0tG时，如图1：当lt2时，如图2： 当2VtV孕时，如图3.（3）根据（2）中求岀的S表达式与取值范用，逐一讨论计算，最终确左S的最大值.（4）AQMN为等腰三角形的情形有两种，需要分类讨

8、论：如图4,点M在线段CD上，(5t - 5) =16 - 7t, MN=DM=2t - 4,由MN=MQ,得 4,解得“厂.I当忖丁或存二时，QMN为等腰三角形考点：一次函数综合题，双动点问题，梯形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函 数值，由实际问题列函数关系式，一次函数和二次函数的性质，等腰三角形的性质，分类 思想的应用.3. 如图，在矩形ABCD中，8=6cm, AD=8cm,连接BD,将 ABD绕3点作顺时针方向 旋转得到BQ与8重合），且点”刚好落在BC的延长上，AD与CD相交于点E.（1）求矩形&BCD与力80重叠部分（如图中阴影部分ABCE）的面积；（2）将厶ABD以每秒2

9、cm的速度沿直线BC向右平移，如图2.当矿移动到C点时停止移 动.设矩形加CD与A8D，重叠部分的而积为y,移动的时间为x,请你直接写出y关于x 的函数关系式，并指出自变量x的取值范围：（3）在（2）的平移过程中，是否存在这样的时间x,使得M8成为等腰三角形？若存 在，谙你直接写出对应的x的值，若不存在，请你说明理由.图1【答案】（1）宁；（2）详见解析：（3）使得A48成为等腰三角形的x的值有：02 秒、3秒、座二i .25【分析】（1）根据旋转的性质可知 BO=BD = 10, CD,=BID, - BC=2,由 tanZ BD/V=一可求出即可计算厶CED的而积，Sabce=S阳卄Sg；

10、AD CD（2）分类讨论，当0仝时和当卅4时，分别列岀函数表达式：（3）分类讨论，当阳=人8时；当弘=力8时:当加=曲时，根据勾股定理列方程即 可.【详解】解：（1） *.* AB6cm, AD=8cm9:.BD=10cm,根据旋转的性质可知 BD=BD=10cm, CD,=B,D, - BC=2cm.CE tanZ BDA=ABAD CD6 _CE8x6 小 3 小 45?/.S_=W-SCfD.= -2x-.2 = y(5)；113(2)当 0x 时，CD=2x+2, CE=- (x+1),5233Sa cde= x2+3xh 22.尸丄畑鱼2 2 2 2 2当 Hx在 RtA DHG 中

11、，VZ AGD=60, DG = 2GH=2, DF=DG=4 0在 RtA DCF 中，CF = BE = CF = 2图3【点睛】本题是四边形综合题目，考査了正方形的性质、全等三角形的判左与性质、等腰直角三角 形的性质、勾股定理、解宜角三角形的应用等知识：本题综合性强，证明三角形全等是解 题的关键.5. 如图，在正方形&BCD中，E是边上的一动点，点F在边BC的延长线上，且CF = AE,连接DE, DF9 EFFH平分ZEFB交BD于点、H（1）求证：DE丄DF；（2）求证：DH = DF ：（3）过点H作HM丄EF于点M,用等式表示线段A3,与FF之间的数量关系，并证明.【答案】（2）

12、详见解析：（2）详见解析：（3） EF = 2AB 2加，证明详见解析.【解析】【分析】（1）根据正方形性质，CF = AE得到QE丄DF.（2）由 MED 竺 MFD，得 DE = DFZABC = 90 BD 平分 ZABC,得ZDBF =45.因为FH平分ZEFB,所以ZEFH = ZBFH由于ZDHF =乙DBF + ZBFH = 45+ZBFH, ZDFH = ZDFE+ZEFH =45+ZEFH, 所以DH = DF （3）过点H作HN丄BC于点、N ,由正方形ABCD性质，得bd = Jab? + ad?=近ab 由阳平分 zefb, hm 丄 ef, hn 丄 bc ,得HM

13、= HN.因为乙HBN = 45, ZHNB = 90,所以= -=迈HN =忑HM .sin 45由 EF = y/2DF = /2DH ,得 EF = 2AB_2HMcos 45【详解】（1）证明：t四边形ABCD是正方形， AD = CD, AEAD = ABCD = ZADC = 90Q.:.AEAD = AFCD = 90.CF = AEO:.AAED 竺CFD.ZADE = Z.CDF.:.ZEDF = ZEDC+ZCDF = ZEDC+ZADE = ZADC = 90.DE 丄 DF（2）iiE明：T AAED ACFD， DE = DF.V ZEDF =90。，:.ZDEF =

14、 ZDFE = 45. ZABC = 90, BD 平分 ZABC.:./DBF =45。.J FH 平分 ZEFB,:.ZEFH = ZBFH .V ZDHF = ZDBF + ZBFH = 45+ABFH, ZDFH = ZDFE+ZEFH = 45+ZEFH, ZDHF = ZDFH.:.DH = DF.(3) EF = 2AB-2HM 证明：过点H作HN丄BC于点N ,如图，.正方形ABCD中，AB = AD, ZBAD = 90, BD = jAB + ADi =迥AB FH 平分 ZEFB, HM 丄 EF, HN 丄 BC,:.HM=HN.乙HBN = 45, ZHNB = 90

15、,BH =- = /2HN = s/2HM.sin 45 DH = BD-BH =4AB-迈HM EF=- = y/2DF = y/2DH ,cos 45EF = 2AB-2HM.【点睛】本题考查正方形的性质、勾股左理、角平分线的性质、三角函数，题目难度较大，解题的 关键是熟练掌握正方形的性质、勾股左理、角平分线的性质.三角函数.6. 如图，正方形OABC的顶点O与原点重合，点儿C分别在X轴与y轴的正半轴上，点&的坐标为（4, 0）,点D在边上，且tanZ AOD =丄，点E是射线03上一动点,M丄x轴于点F,交射线OD于点G,过点G作GHW x轴交处于点H.（1）求B, D两点的坐标；（2）

16、当点E在线段OB上运动时，求ZHDA的大小：（3）以点G为圆心，GH的长为半径画OG.是否存在点E使OG与正方形OABC的对角线 所在的直线相切？若不存在，请说明理由：若存在，请求出所有符合条件的点F的坐标.【答案】（1）B （4, 4） , D （4, 2） :（2） 45：（3）存在，符合条件的点为（8-【解析】【分析】（1）由正方形性质知AB二OA二4, ZOAB二90。，据此得B （4, 4）,再由tanZ AOD=丄得AD=2A=2据此可得点坐标:GF |OF 2(2)由 tan ZGOF =一知 GF二一OF,再由Z A0B=Z ABO=45知 0F=EF,即GF二EF，根据GHI

17、I x轴知H为AE的中点，结合D为AB的中点知DH是 ABE的中位2线，即HDII BE,据此可得答案；（3）分0G与对角线0B和对角线AC相切两种情况，设PG=x,结合题意建立关于x的方 程求解可得.【详解】解:（1） : A （4, 0）,/. 0/4=4.四边形OABC为正方形，:.AB = OA=, Z 0/48 = 90% B (4, 4),RtA OAD 中，Z 0/40=90,1T tanZ AOD=,211. &d= 0人=-x4=2,22 D (4, 2):(2)如图 1,在 RtA OFG 中，Z OFG=90CBE/XD0图1AX:.tanZ GOF=一，即 GF= 一

18、OF, OF 22四边形OABC为正方形， Z AO3=Z&BO=45, OF=EF、1 GF= 一 EF,2G为EF的中点，T GHW x轴交M于H,H为AE的中点， B (4, 4) , D (4, 2) D为人8的中点，DH是ABE的中位线， HDW BE,:.Z HDA = AABO=45.(3)若OG与对角线08相切，如图2,当点F在线段03上时，过点G作GP丄OB于点P,设PG=x,可得PE=x, EG=FG=Q, OF=EF=2 迈x、. 0/4=4,/. AF=4 2 近x,G为EF的中点,H为AE的中点,GH为4AFE的中位线,1GH=-AF=2解得：x=2y/2 - 2,E

19、 （84返，8-4./2），如图3,当点F在线段03的延长线上时,X=y/2x- 2,解得：x=2+y/2,:.E （8+4返，8+42）:若OG与对角线&C相切，如图4,当点E在线段BM上时，对角线AC, OB相交于点M,过点G作GP丄03于点P,设PG=x,可得PE=x, EG=FG=Q、 0F=EF=2 迈x,:0&=4, M=4-2 后，G为EF的中点，H为处的中点,GH为的中位线，1GH=-AF=2过点G作GQ丄AC于点Q则GQ=PM=3x2近， 3x2近=2 迈X、7(42 + 16 4 屈+16) E .77丿解得x = fhl7（16-4/2 16-4血E -.:I 77丿如图

20、6,当点E在线段03的延长线上时,图63x- 2迈=2,解得：x=4亚_2 （舍去）：7综上所述，符合条件的点为（8-42 8-42）或（8+48+42）或“ + 16 4x/2 + 16|（16-42 16-407 ，7 或7 7 * / /【点睛】本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握正方形和直角三角形的性质、正切函数的左义、 三角形中位线定理及分类讨论思想的运用.7.如图，在-ABCD中，AC与BD交于点6 AC丄BC于点C,将 ABC沿AC翻折得到 AEC,连接 DE.（1）求证：四边形ACED是矩形；（2）若 AC=4, BC=3,求 sinZABD 的值【答案】（2）证明见解析（2）

21、型I65【解析】【分析】（1）根据BCD中，AC丄BC,而ZkABC旻厶AEC,不难证明；（2）依据已知条件，在AABD或AAOC作垂线AF或OF,求岀相应边的长度，即可求出z ABD的正弦值.【详解】(1) 证明：将 ABC沿AC翻折得到A AEC, BC=CE, AC丄CE,T四边形ABCD是平行四边形，ADII BC, AD = BC, AD = CE, ADII CE,四边形ACED是平行四边形， AC 丄 CE,四边形ACED是矩形.(2) 解：方法一、如图1所示，过点A作AF丄BD于点F, BE = 2BC = 2x3 = 6, DE=AC=4,/.在 RtA BDE 中，BD =

22、 BE2 + DE2 = 62 + 42 = 2x/13 丫 Sa bde= | xdead= * afbd, .ac_ 4x3 _6V1321313 RtA ABC 中，AB=后+42 =5,RtA ABF中，AF _ 613 _ 6Vf3sinZ ABF=sinZ ABD= ab 一 13 一 65 T方法二、如图2所示，过点0作OF丄AB于点F,同理可得，OB=-BD = 42,s.aob=1ofab = 1oa-bc,2x3 6 I?在 RtA BOF 中,OFsinZ FBO=OB6 _6V13513 65sinz ABD=警-本题考查直角三角形翻折变化后所得图形的性质，矩形的判定和

23、性质，平行四边形的性质 和解直角三角形求线段的长度，关键是正确添加辅助线和三角形而积的讣算公式求岀 sinZ ABD&如图，半圆0的直径43 = 20,弦CDII AB.动点M在半径OD ,射线与弦CD相 交于点E （点E与点C、D不重合），设OM=m.（1）求DE的长（用含m的代数式表示）：a 4（2）令弦CD所对的圆心角为a,且siny = y . 若4DEM的而积为S,求S关于m的函数关系式，并求出m的取值范围； 若动点W在CD上，且CN=OM9射线BM与射线0/V相交于点F,当Z OMF=90。时,【答案】（1） s=3160, + 300in芒55,13心I 【解析】【分析】de d

24、m（1）由知5S。琢w-=,据此可得;(2) 连接OC、作OP丄CD、MQ丄CD,由OC=O6 OP丄CD知乙DOP=乙COD、据此243可得 sinZ DOP=sinZ DMQ= x sinZ ODP=,继而由 OM = m、00 = 10 得 QM= 5DMsinZ ODP= j (20-m)，根据三角形的面积公式即可得；如图2,先求得PD=8、CDJ= 】6,证得鈴算求得。吹詈,据此可得的取值范围:3如图3,由8M=O8sinZ BOM= 10x- =6,可得OM = 8,根拯(1)所求结果可得答案.【详解】(1) CDII AB.匹竺即匹10-OB OM 10100 10加 DE=m作

25、MQ丄CD于点aOC=OD. OP丄CD,1 Z DOP=乙 COD,2a4T sin=254/. sinZ DOP=sinZ DMQ= , sinZ ODP=-4 5T OM=my OD = 10, QM-DMsinA ODP- -(10-m).P!B.ogM=lMQ=lx1QQ-1Qx2 (10-.)=3.r-60,n + 30022 m 5如图2,c4 PD = ODsinZ DOP= 10x- =8,5 CD=16, CDII AB.:. CDM- BOM,CD DM Iln 16 0_OM=,即一二BO OM 10 OM解得：OM=,135013.s= 3屛-60，+ 300芒 SC

26、O).13当Z OMF=90a时，如图3,图3则Z BMO=90,在 RtA BOM 中，BM=OBsinZ BOM=10x-=6则 0M=&100-10x858 2【点睛】本题主要考査圆的综合题，解题的关键是熟练掌握圆的有关性质、相似三角形的判左与性 质及解直角三角形的能力.9.如图，湿地景区岸边有三个观景台虫.B、C.已知屈= 1400米，rlC = 1000X B点位于月点的南偏西607方向，C点位于虫点的南偏东6&一1。方向.求血C的而积：（2）景区规划在线段死 的中点Q处修建一个湖心亭，并修建观景栈道试求虫、。间的 距离.（结果精确到0米）（参考数据：sin53.20.80, cos

27、53.2 0.60 , sin 60.7 0.87 , cos60.7 0.49,sin66.10.91, cos66.lo0.41,北+月、【解析】试题分析：（i）过点C作CE丄丽交血的延长线于点E,然后根据直角三角形的内角 和求出ZCAE,再根据正弦的性质求出CE的长，从而得到AABC的面积；（2）连接过点。作DF丄加，垂足为歹点，则DFX CE .然后根据中点的性质和余 弦值求出BE、AE的长，再根据勾股定理求解即可.试题解析：（1）过点C作CE丄朋交血的延长线于点ERtAC 中，18060.7c- 66 = 53.2所以 CE = 2C 血 53.2 说 1000x0.8 = 800

28、米.所以二送斗脑心二卜1400 x 800 = 560000（平方米）.连接过点。作DF丄肋，垂足为F点，则DF H CE.因为。是刃？中点，所以二*CE二400米，且F为8E中点,A= AC cos532 600 米，所以 BE 二 BA + AE 二 1400+ 600 = 2000 米.所以肿二評込400米，由勾股定理得，AD =AF：+DF2 = 74002 + 4002 = 400花砂 565.6 米.答：虫、。间的距离为565-6米.10.已知：如图，在RtA ABO中，Z 8=90, Z 048=30, OA=3.以点O为原点，斜边OA 所在直线为x轴，建立平而直角坐标系，以点P （4, 0）为圆心，刖长为半径画圆，OP 与x轴的另一交点为N点M在OP上，且满足Z MPN=60. OP以每秒1个单位长度的 速度沿x轴向左运动，设运动时间为rs,解答下列问题：（发现）（1）站介的长度为多少；（2）当匸2s时，求扇形MPN （阴影部分）与RtA ABO重叠部分的面积.（探究）当OP和ABO的边所在的直线相切时