导数的应用讲义

1、导数的应用【基础知识】1 函数的单调性（1） 设函数y=f(x)在某个区间内可导，若，则f(x)为增函数；若，则f(x)为减函数。（2） 求可导函数单调区间的一般步骤和方法。确定函数f(x)的定义区间；求，令=0，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根；把函数f(x)的间断点即包括f(x)的无定义点的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；确定在各小区间内的符号，根据的符号判定f(x)在每个相应小开区间内的增减性。2 可导函数的极值（1） 极值的概念设函数f(x)在点x0附近有定义，且若对x0附近所有的点都有f(x)f(x0)（或f(

2、x)f(x0)），则称f(x0)为函数的一个极大（小）值，称x0为极大（小）值点。（2） 求可导函数f(x)极值的步骤求导数；求方程=0的根；检验在方程=0的根的左右的符号，如果根的左侧为正，右侧为负，则函数在此处取得极大值；如果在根的左侧为负，右侧为正，则函数在此处取得极小值。3 函数的最大值与最小值（1） 设y= f(x)是定义在区间a,b上的函数，并在（a,b）内可导，求函数在a,b上的最值可分两步进行：求y= f(x) 在（a,b）内的极值；将y= f(x)在各极值点的极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。（2） 若函数f(x)在a,b上单调递增（或

3、递减），则f(a)为函数的最小值（或最大值），f(b)为函数的最大值（或最小值）。【例题选讲】例1 求下列函数的最值：（1）f(x)=3x-x3,( -x)； （2）f(x)=sin2x-x,(-x).例2 求函数y=-的值域。例3 已知f(x)=ax3+bx2+cx(a0)在x=1时取得极值，且g(1)= -1,(1) 试求常数a、b、c的值； （2）试判断x=1是函数的极大值还是极小值，并说明理由。例4 已知函数f(x)=2ax-，x。（1）若f(x)在x上是增函数，求a的取值范围； （2）求f(x)在区间上的最大值。【巩固练习】1、已知e为自然对数的底数，设函数f（x）=（ex-1）（x

4、-1）k（k=1，2），则（） A、当k=1时，f（x）在x=1处取得极小值 B、当k=1时，f（x）在x=1处取得极大值 C、当k=2时，f（x）在x=1处取得极小值 D、当k=2时，f（x）在x=1处取得极大值2. 设函数f（x）的定义域为R，x0（x00）是f（x）的极大值点，以下结论一定正确的是（） A、xR，f（x）f（x0） B、-x0是f（-x）的极小值点 C、-x0是-f（x）的极小值点 D、-x0是-f（-x）的极小值点3. 若函数f(x)=x3+ax2+bx+c有极值点x1,x2,且f(x1)=x1，则关于x的方程3（f（x）2+2af（x）+b=0的不同实根个数是（） A

5、、3 B、4 C、5 D、64.已知f（x）=x3-6x2+9x-abc，abc，且f（a）=f（b）=f（c）=0现给出如下结论： f（0）f（1）0； f（0）f（1）0； f（0）f（3）0； f（0）f（3）0其中正确结论的序号是（） A B C D5. 设函数f(x)在R上可导，其导函数为，且函数f(x)在x=-2处取得极小值，则函数y=x的图象可能是（） A、 B、 C、 D、6.设函数f(x)在R上可导，其导函数为，且函数y=(1-x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（） A函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（1） B函数f（x）有极大值f（-2）和极小值f（1） C

6、函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（-2） D函数f（x）有极大值f（-2）和极小值f（2）7.函数y=x2 -lnx的单调递减区间为（） A（-1，1 B（0，1 C1，+） D（0，+）8、直线x=t与函数f(x)=x2，g(x)=lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（） A.1 B、 C、 D.9.若函数yf(x)可导，则“0有实根”是“f(x)有极值”的 () A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件10已知f(x)2x36x23，对任意的x2,2都有f(x)a，则a的取值范围为_11函数f(x)x22ln x的最小值为_12若

7、f(x)x33ax23(a2)x1有极大值和极小值，则a的取值范围_13.已知函数f(x)ax3bx2cx在点x0处取得极大值5，其导函数y的图象经过(1,0)，(2,0)点，如图所示(1)求x0的值；(2)求a，b，c的值作业：一、填空题1函数f(x)xln x的单调减区间为_2已知函数f(x)2x36x2m(m为常数)在2,2上有最大值3，那么此函数在2,2上的最小值是_3函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点的个数为_4若函数ya(x3x)在区间上为减函数，则a的取值范围为_5设aR，若函数有大于零

8、的极值点，则a的取值范围为_6若a2，则函数f(x)x3ax21在区间(0,2)上有_个零点7已知函数f(x)的导函数的图象如图所示，给出以下结论：函数f(x)在(2，1)和(1,2)上是单调递增函数；函数f(x)在(2,0)上是单调递增函数，在(0,2)上是单调递减函数；函数f(x)在x1处取得极大值，在x1处取得极小值；函数f(x)在x0处取得极大值f(0)则正确命题的序号是_(填上所有正确命题的序号)8已知函数f(x)x3mx2(m6)x1既存在极大值又存在极小值，则实数m的取值范围为_二、解答题9求函数f(x)的极值10已知a为实数，且函数f(x)(x24)(xa)(1)求导函数； (

9、2)若，求函数f(x)在2,2上的最大值、最小值11已知函数f(x)x3mx2nx2的图象过点(1，6)，且函数g(x)6x的图象关于y轴对称(1)求m，n的值及函数yf(x)的单调区间；(2)若a0，求函数yf(x)在区间(a1，a1)内的极值导数的应用（作业答案）1(0,1)2.373.14.(0，)5a0，即a0，得a4，易知f(x)在(0,2)上为减函数，且f(0)10，f(2)4a0，m6或m3.9解，由0得x2,1.当x(，2)时0，故x2是函数的极小值点，故f(x)的极小值为f(2)；当x(2,1)时0，当x(1，)时)0，得x2或x0，故f(x)的单调递增区间是(，0)(2，)；由0，得0x2, 故f(x)的单调递减区间是(0,2)(2)由(1)得f(x)3x(x2)，令f(x)0，得x0或x2.当x变化时，f(x)、f(x)的变化情况如下表：x(，0)0(0,2)2(2，)00f(x)极大值极小值由此可得：当0a1时，f(x)在(a1，a1)内有极大值