中考数学压轴题之二次函数(中考题型整理,突破提升)及详细答案

1、-二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1.在平而直角坐标系中，我们泄义直线尸axa为抛物线y=ax2+bx+c （a、b、c为常数， aHO）的衍生直线；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其衍生 三角形已知抛物线），= 芈/ 一举x + 2馆与其衍生直线交于A、B两点（点A 在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C.（1）填空：该抛物线的衍生直线的解析式为，点A的坐标为，点B的坐标为;（2）如图，点M为线段CB上一动点,将ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的 对称点为N,若AAMN为该抛物线的衍生三角形”，求点N的坐标：（3）当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的

2、“衍生直线”上，是否存在点F,使 得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E、F的坐标； 若不存在，请说明理由.【答案】（1） y二一型x+少：（-2, 2石）；（1,0）；33（2） N 点的坐标为（0, 2/3-3 ） , :【解析】【分析】（1）由抛物线的“衍生直线“知道二次函数解析式的a即可；（2）过A作AD丄y轴于点D,则可知AN=AC,结合A点坐标，则可求岀ON的长，可求出N点的坐标：（3）分别讨 论当AC为平行四边形的边时，当AC为平行四边形的对角线时，求岀满足条件的E、F坐 标即可【详解】2/32/3X+y =联立两解析式求交点“332 苗 2y/3

3、X+33x=-2y=2亦或X=1 y=0 A (2 2*)，B (1,0):(2)如图1,过A作AD丄y轴于点D,在),=一？返X? -土返X + 2JJ中，令y=0可求得X= -3或x=l,33AC (-3,0),且 A (-2, 2也), AC= 7(-2+3)2 + (2/3)2=713 由翻折的性质可知AN=AC= y/3 T AMN为该抛物线的衍生三角形，N在y轴上，且AD二2,在RtA AND中，由勾股左理可得DN= 7AN2-AD2=V13：4=3，v OD=2/3 , ON=2/3-3 或 ON=2/J+3,N点的坐标为(0, 2屈3) , 0, 23+3 ):图1(3)当AC

4、为平行四边形的边时，如图2,过F作对称轴的垂线FH,过A作AK丄x轴 于点K,则有AC II EF且AC=EF,/. Z ACK=Z EFH,在厶ACK和厶EFH中ZACK=ZEFH/3 抛物线的对称轴为X=-1,F点的横坐标为0或2,点F在直线AB上，.当F点的横坐标为0时，则F (0, 5)，此时点E在直线AB下方,3E到y轴的距离为EH-OF=2- =即E的纵坐标为-土匕,3333当F点的横坐标为-2时，则F与A重合，不合题意，舍去: 当AC为平行四边形的对角线时， C (-3,0),且 A (2 2/3) 线段AC的中点坐标为(-2.5, y/3),设 E (-1 t) , F (x,

5、 y),则 x-l=2x (-2.5) , y+t=2/3 ,/. x= -4, y= 2/3-t2jJ-t二迹 x (-4) + 纽3,解得 t=-M,33333综上可知存在满足条件的点F,此时E (-!,普)、爭或E (-!,【点睛】本题是对二次函数的综合知识考查，熟练掌握二次函数，几何图形及辅助线方法是解决本题的关键，属于压轴题2.已知，点M为二次函数y=- (x-b)2+4b+1图象的顶点，直线y=mx+5分别交x轴 正半轴，y轴于点A, B.(1) 判断顶点M是否在直线y=4x+l上，并说明理由.(2) 如图1,若二次函数图象也经过点A, B,且mx+5- (x-b)2+4b+l,根

6、据图象， 写出x的取值范围.1 3(3) 如图2,点A坐标为(5, 0),点M在AAOB内，若点C (-,力)，D (-, y2)44都在二次函数图象上，试比较片与力的大小.【答案】(2)点M在直线y=4x+l上：理由见解析：(2) x的取值范围是xVO或x【解析】【分析】(1) 根据顶点式解析式，可得顶点坐标，根据点的坐标代入函数解析式检验，可得答案：(2) 根据待定系数法，可得二次函数的解析式，根据函数图象与不等式的关系：图象在下 方的函数值小，可得答案；(3) 根据解方程组，可得顶点M的纵坐标的范用，根据二次函数的性质，可得答案.【详解】(1) 点M为二次函数y=- (x-b) 2+4b

7、+l图象的顶点，M 的坐标是(b, 4b+l),把 x=b 代入 y=4x+l,得 y=4b+l,点M在直线y=4x+l上：(2) 如图1,直线y=mx+5交y轴于点& B点坐标为(0, 5)又8在抛物线上，5= - (0-b) 2+4b+l=5,解得 b=2,二次函数的解析是为y=- (x-2)2+9,当 y=0 时，-(x-2) 2+9=0,解得 xi=5, x2= - 1,. & (5, 0).由图象，得当mx+5- (x-b) 2+4b+l时，x的取值范围是xVO或x5；（3）如图2,直线y=4x+l与直线M交于点E,与y轴交于F,& （5, 0） , B （0, 5）得直线AB的解析

8、式为y= - x+5.y = 4x + l y = -x+521y=Tt 421点 f (-, ) , F (0t 1) 5点M在厶AOB内,f 21 l4b+l t,4/. 0b3）12 2【解析】试题分析：（1）先解一元二次方程，然后用待立系数法求出抛物线解析式；（2）先解方程求出抛物线与x轴的交点，再判断出ABOC和ABED都是等腰宜角三角形， 从而得到结论；（3）先求岀QF=1,再分两种情况，当点P在点M上方和下方，分别计算即可.试题解析：解（1）T+4x + 3 = 0, 州=一1，吃=一3, vm, n是一元二次方程x2+4.v + 3 = 0 的两个实数根，且 |m|的坐标， 并

9、判断 BCD的形状：（3）点P是直线BC上的一个动点（点P不与点3和点C重合），过点P作x轴的垂线， 交抛物线于点M,点Q在直线8C上，距离点P为血个单位长度，设点P的横坐标为r, PMQ的面积为S,求出S与r之间的函数关系式.备用图(3) S = QF=1 当点 p 在点 m 上方时，即 0VtV3 时，PM=t - 3 -(t求二次函数的表达式： 若点D为抛物线在X轴负半轴上方的一个动点，求厶遊而积的最大值： 抛物线对称轴上是否存在点使为等腰三角形，若存在，请直接写出所有 P点的坐标，若不存在请说明理由.-2t-3)=-r+3r1 i13S= - PMxQF= -(-r+ 3t) = 一一

10、r+-t9如图3,当点P在点M下方时,即tvo或t2 22 211133 时，PM=r 力一3 - (t-3)=F_3八. s 二一 pmxqf二一 (r-3t)=-r-t 2 2 2 2-ir+(Oz n)，又 E (0. -2) ,-4 24, 0),可求 %= j9+2 , PF=J1+ 5 + 2)2 , AE=Ji6 + 4 = 20 分三种情况讨论： 当=兀时，如产Jl + 5+2)2，解得：1,此时P ( -1, 1)；当刖=处时，的+沪76 + 4=25,解得：尸土JFT，此时点P坐标为(-1，Vh):当PE=AE时，J1 + 5 + 2F二応石=2頁,解得：n= - 2 土丽

11、,此时点P坐标为：(-1. -2V19).综上所述：p 点的坐标为：(-1,1),( -1, ViT)(-1，-2Vi9).点睛：本题主要考査二次函数的综合问题，会求抛物线解析式，会运用二次函数分析三角 形面积的最大值，会分类讨论解决等腰三角形的顶点的存在问题时解决此题的关键. 在平而直角坐标系中，有两点A仏b)、B(c,d),若满足：当ab时，c = , d = -b2:当ab时，cv, db,则称点为点的友好点.(1) 点(4,1)的“友好点”的坐标是.(2) 点A(a,b)是直线y = x-2上的一点，点B是点A的友好点. 当3点与4点重合时，求点A的坐标. 当4点与A点不重合时，求线段

12、AB的长度随着“的增大而减小时，。的取值范用.【答案】(1) (4,一1)；(2)点A的坐标是(2,0)或(1,-1)：当avl或|2时，人3 =方一(一庆)=/一3。+ 2=一丄，所以当出亍时，A3的长度随I 2 丿 42着a的增大而减小，即取a. 2。当1“-时，A3的长度随着a的增大而减小，即取-2综上，当avl或2 23-1,根据友好点定义,得到点(4,1)的“友好点啲坐标是(4,-1)(2).点A仏是直线y = A-2的一点，b = a 2 宀-2,根据友好点的泄义，点B的坐标为3仏-冋，当点A和点3重合,! = _解得 =0或b = 1.当方=0时，a = 2；当b = -l时，“

13、 =1,点A的坐标是(2,0)或(1,-1).当点A和点B不重合，dHl且aH2当d V1或a 2时,A3 = /?_(-/?) = / _3a + 2 =3)23当虫才时.A3的长度随着的增大而减小，2取a = -ct+3-2 = -| +土 .3当a-时，AB的长度随着的增大而减小，23 二取一Sd v22 综上，当avl或-6/根据抛物线三角形定义得到y = /-2,由此可得出结论；(3)根据抛物线三角形定义得到y=-x2 + 2bx,它与x轴交于点(0, 0)和(2b,0):当抛物线三角形是直角三角形时，根据对称性可知它一左是等腰宜角三角形，由抛物线顶点为(b, fc2),以及直角三角

14、形斜边上的中线等于斜边的一半得到员=|2b|,解方程即可得到结论：(4分两种情况讨论：当抛物线为尸一2 + 2x时，当抛物线为y=-x2-2x时. 详解：(1)当厶。时，抛物线与x轴有两个交点，此时抛物线才有“抛物线三角形，故 此命题为假命题；(2) 由题意得：，=疋一2,令 y=0,得：x=J2 ,S=-x2/2x2 = :y 2x2(3) 依题意：y=-x1 + 2bx,它与x轴交于点(0, 0)和(2b, 0):当抛物线三角形是直角三角形时，根据对称性可知它一左是等腰宜角三角形.-：y=-x2+2bx=-(x-b)2+b2,:.顶点为(b, b2),由直角三角形斜边上的中线等于斜 边的一

15、半得到：/? =|x|2Z?|, /. b2=b,解得：b=0 (舍去)或*1,y=疋+ 2”或y=x2 2x(4) 当抛物线为y=-x2 + 2x时. AOB为等腰直角三角形，且厶BPQ- a OAB. BPQ为等腰直角三角形，设P (, a2+2a) , /. Q (6 0),则 I 一，+ 2a 丨=| 2 a 丨，即 |d(d-2)| =匕一2|. a 2X0,问=1 , a二1, P (1, 1)或(_1, 一3)当抛物线为y= x2-2x时. AOB为等腰直角三角形，且厶BPQ- - OAB. BPQ为等腰直角三角形，设P（6 一2a）,Q （ （a, 0）,则丨 一/-2a I

16、= I 2+q I ,即 a(a + 2) = a + 2. Q+2H0,同=1 , a二1, P （1, 一3,）或（1, 1）.综上所述：P （1, 1）或 P （-1, 3）或 P （1 一3,）或（一 1, 1）点睛：本题是二次函数综合题.考查了二次函数的性质以及抛物线三角形的左义.解题 的关键是弄懂抛物线三角形“的定义以及分类讨论.7.如图，已知抛物线尸ax2+bx+c的图像经过点A （0, 3）、B （1, 0）,其对称轴为直线 I： x=2,过点A作ACII x轴交抛物线于点C, Z AOB的平分线交线段AC于点E,点P是抛宙图存在，请说明理由.【答案】（1） y=x2-4x+3

17、.点的坐标为：Pi （土2P4 （匕迈，上遁）.2 2（1）求抛物线的解析式：（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO,当m为何值时，四边形AOPE 面积最大，并求出其最大值；（3）如图，F是抛物线的对称轴I上的一点，在抛物线上是否存在点P使APOF成为以 点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写岀所有符合条件的点P的坐标；若不5 75（2）当m二亍时，四边形AOPE面积最大，最大值为（3） P 匕遁），P2 （3-亦,座），p3 （些遁，虫），2 2 2 2 2【解析】分析：（1）利用对称性可得点D的坐标，利用交点式可得抛物线的解析式；（2）设P （m, m2-4m+3）

18、，根据0E的解析式表示点G的坐标，表示PG的长，根据而积 和可得四边形AOPE的面积，利用配方法可得其最大值：（3）存在四种情况：如图3,作辅助线，构建全等三角形，证明 OMP里 PNF，根据OM=PN列方程可得点P 的坐标：同理可得其他图形中点P的坐标.详解：（1）如图X设抛物线与x轴的另一个交点为D,图1由对称性得：D (3, 0),设抛物线的解析式为:y=a (x-1) (x-3), 把A (0, 3)代入得：3=3a,a=l抛物线的解析式；y=x2-4x+3； 2)如图 2,设 P (mI S w边n； aope=Sa aoe+Sa poe*11=x3x3+ PGAE,229 I,=+

19、 x3x (-m2+5m-3),2 2=-m2+ m,2 2 VO,八件|时,S有最大值是各（3）如图3,过P作M N丄y轴，交y轴于M,交丨于N, OPF是等腰直角三角形，且0P二PF, 易得 OMP学& PNF, OM=PN,TP (m m2-4m+3),贝lJ-m2+4m-3=2-mt 解得：或上近，2 2.P的坐标为（泌，！迈）或（口L 匕色）；2 2 2 2 过F作FM丄MN于M,同理得 ONP更厶PMF, PN=FM,贝 lJ-m写岀点M的坐标并求直线的表达式； 设动点P,。分别在抛物线和对称轴I上，当以A , P, Q, M为顶点的四边形是 平行四边形时，求P, 0两点的坐标.【

20、答案】 y = -ix2+4x-5；（2） M（2,l）, y = 2x-5: 点P、0 的坐厶标分别为（6,1）或（2,1）、（4,-3）或（4,1）.【解析】【分析】（1）函数表达式为：y = a（x = 4+3,将点坐标代入上式，即可求解：（2）A（4,3）. B（0,5）,则点M（2,l）,设直线A3的表达式为：y = k.x-5,将点A坐标代入上式，即可求解：（3）分当AM是平行四边形的一条边、AM是平行四边形的对角线两种情况，分别求解 即可.【详解】+4m-3=m-2,解得：x=2色或上逻：2 2P的坐标为（出，7）或（匕近，座）：2 2 2 2综上所述，点P的坐标是：（土, !生

21、）或（HE,上仝）或（注，2 2 2 2 2匕遁）或（3-亦,座）.2 2 2点睛：本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合应用，相似三角形的判左与 性质以及解一元二次方程的方法，解第（2）问时需要运用配方法，解第（3）问时需要运 用分类讨论思想和方程的思想解决问题.8.如图,已知抛物线y = ajr+bx+c的顶点为A（4,3）,与V轴相交于点5（0,-5）,对 称轴为直线/，点M是线段A3的中点.解：(1)函数表达式为：y = a(x = 4)2+3.将点3坐标代入上式并解得： =2故抛物线的表达式为：y = -x2+4x-5；2(2) A(4,3)、B(0,5),则点M(2,_l

22、),设直线A3的表达式为：y =也一5,将点A坐标代入上式得：3 = 4R5,解得：k = 2,故直线的表达式为：y = 2x 5：(1(3) 设点0(4,$)、点P /n,-nr+4/H-5 ,2丿 当AM是平行四边形的一条边时，点A向左平移2个单位、向下平移4个单位得到M,同样点P；+伽-5向左平移2个单位、向下平移4个单位得到0(4,$),即：加一2=4, m2 +4m-5-4 = s ,2解得：m = 6, s = 3,故点P、0的坐标分别为(6,1)、(4,-3)； 当AM是平行四边形的对角线时，由中点定理得:4+2 =加 + 4, 3-1 = m2 + 4m-5+ 5,2解得：加=

23、2, 5 = 1,故点P、Q的坐标分别为(2,1)、(4,1)；故点 P、Q 的坐标分别为(6,1), (4,-3)或(2,1)、(4,-3), (2,1)或(4,1).【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、图象的而积计算 等，貝中(3),要主要分类求解，避免遗漏.9.如图，在平而直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C4(0, - y ) , OA=1, OB=4,直线I过点A,交y轴于点D,交抛物线于点E,且满足 tanZ OAD=. (1) 求抛物线的解析式；(2) 动点P从点B出发，沿x轴正方形以每秒2个单位长度的速度向点

24、A运动，动点Q 从点A出发，沿射线AE以每秒1个单位长度的速度向点E运动，当点P运动到点A时，点Q也停止运动，设运动时间为t秒. 在P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻t,使得AADC与APQA相似，若存在，求 出t的值：若不存在，请说明理由. 在P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻t,使得AAPQ与ACAQ的而积之和最大？ 若存在，求出t的值：若不存在，请说明理由. APQ与厶CAQ的而积之和最大.【答案】(i)抛物线的解析式为v=-x2+x-；(2存在t二孚或t二兰，使得【解析】分析：(1)应用待定系数法求解析式(2)分别用t表示AADC、APQA边，应用分类讨论相似三角形比例式，求t值;

25、分别用t表示AAPCl与ACAQ的而积之和，讨论最大值.详解：(1) OA=1, OB二4,.-.A (1, 0) , B (4, 0),设抛物线的解析式为y=a (x+4) (x-1),4点C (0,-)在抛物线上，-=r/x4x(-l),解得営 抛物线的解析式为尸扣+4)(1)=卜2+ 韦(2)存在t,使得 ADC与厶PQA相似.则论AO少以OC 43T tanZ 0AD=,4 Z 0AD=Z ACO,3直线I的解析式为y=-(x-l),43 D (0,-),44点 C (0,-),34 37 CD=,3 412由 AC2=OC2+OA 得 AC=-,3在 AQP 中，AP=AB - PB

26、=5 - 2t, AQ=t由Z PAQ=Z ACD,要使 ADC与厶PQA相似,AP CD . AP 只AQ=C或应AC75则有=4或=寻,f 5/7312解得tx=1004735.* ti2.5, tz2.5t存在t二竽或使得AADC与ZiPQA相似: 4734存在t,使得 APQ与厶CAQ的而积之和最大， 理由：作PF丄AQ于点F, CN丄AQ于N,在厶 AOD 中，由 AD2=OD2+OA2,得 AD=-,4在厶 ADC 中，由 adc= - AD CN = - CD OA ,2 2CN=CDOA_X2XiAD 5_715169135ii 37313Sa q+Sa aQc= - AQ(PF + C/V) = -/-(5-2/) + 决一評- y) +当t二&时，A APQ与ACAQ的而积之和最大.点