常微分方程习题及答案.[1]

1、第十二章常微分方程(A)、是非题任意微分方程都有通解。（）3.函数y 3sinx 4cosx是微分方程yy0的解。（）4.函数y x2 ex是微分方程y 2y y0的解。（）5.1.微分方程xy ln x 0的通解是y In22 xC （ C为任意常数）。（6. ysin y是一阶线性微分方程。（）7.yx3y3 xy不是一阶线性微分方程。()8.y2y 5y 0的特征方程为r2 2r50。()9.dydx1 x / xy2是可分离变量的微分方程。（）填空题1.在横线上填上方程的名称y3 ln xdx xdy 0 是。xy2 xdx y x2y dy 0是。xdx yln：是。xyyx2 si

2、 nx 是。yy 2y 0 是。2.ysin xy x cosx的通解中应含个独立常数。3. ye 2x的通解是。4. ysin 2x cos x的通解是。5. xy2x2y 2 x3y x4 1是阶微分方程。2.)()微分方程的通解中包含了它所有的解。6.微分方程y y y 60是阶微分方程。17. y丄所满足的微分方程是 。x8. y 2y的通解为。x9. 巴型0的通解为。y x10. 巴空 x 12，其对应的齐次方程的通解为 dx x 111. 方程xy 1 x2 y 0的通解为。12. 3 阶微分方程 y x3的通解为。三、选择题1 .微分方程xyy x y 3 y4 y 0的阶数是（

3、）。A. 3B. 4C. 5D.22 .微分方程y x2y x5 1的通解中应含的独立常数的个数为（）A. 3B. 5C. 4D.23 .下列函数中，哪个是微分方程dy 2xdx 0的解（）。2A. y 2x B . y x C . y 2x D . y x24 .微分方程y3y3的一个特解是（）。3323A .y x31 B . y x2C .yx C D . y C 1 x5 .函数y cosx是下列哪个微分方程的解（）。A .y y0 B . y 2y0C .yny 0 D . y y cosx6 . yC1exC2e x是方程yy0的（），其中0 , C?为任意常数A.通解 B .特解

4、 C .是方程所有的解 D .上述都不对7 . y y满足yI 0 2的特解是（）。xA . y ex 1 B . y 2ex C . y 2 e2 D . y 3 exa cosxA .y a si nx8 .微分方程y y sinx的一个特解具有形式（）C. yx asinx bcosxy acosx bsinx9.下列微分方程中,是二阶常系数齐次线性微分方程。A. y 2y 0y xy 3y20C. 5y 4x 0y 2y 1010.微分方程y0满足初始条件y0 1的特解为（）A. ex B .exC . ex 1 D .211. 在下列函数中，能够是微分方程y y 0的解的函数是（）A

5、. y 1 B . y x C . y sin x D . y ex12 .过点1,3且切线斜率为2x的曲线方程y y x应满足的关系是（）A . y 2xB.y2x C . y2x , y 13d . y2x , y 1313 .卜列微分方程中，可分离变量的是 （)a. dy yeB.dyk xa b y ( k,a , b是常数）dx xdxC . dy sin yxD.yxy2xy edx14 .方程y2y0的通解是（)。A .y sin x B .y 4 e2xC.yC e2x Dxy e15 .微分方程dxdy0满足y|x 34的特解是（)yxA. x2 y225B.3x 4yCC2

6、 2.x yCD2.xy2 716 .微分方程dy1y 0的通解是y ()dxxA . C B.（CxC .-CD .x Cxx17 .微分方程yy0的解为（)。A. ex Bx eC .exxeDx e18 .下列函数中，为微分方程xdxydy0的通解是（)A . x y iCB .2 2.x yCC.Cx y0D .Cx2y 019.微分方程2ydy dx 0的通解为（）A. y2 x C B . y , x C C . y x C DA.sin xcosy CB.cos y sin x CC.cosxsin y CDcosx sin y C21.y ex的通解为y()oA.x eB .

7、e xC.ex C1x C2 D . e x C1x C222.按照微分方程通解定义,ysin x的通解是（）。A.sin x C1x C2B.sin x C1 C2C.sin xC1x C2D.sin x C1 C220.微分方程cosydysin xdx的通解是（)o四、解答题1. 验证函数y C e3x e2x（C为任意常数）是方程也 e 2x 3y的通解,dx并求出满足初始条件y|xo 0的特解。2 22.求微分方程xy畑y1 x dy 0的通解和特解。 y Ixo 1解：三 C , 2x2 y2 13. 求微分方程鱼tan，的通解dx x x解：sin 丫 Cx oxy 2S y4.

8、 求微分方程y y x的特解。y |x1 2解：y2 2x2 ln x 2解：y e6. 求微分方程3 sinx的通解。dx x1解: y sin x xcosxx7 求微分方程xy|0的特解。解: y ix128 求微分方程2y xx2 1满足初始条件x 0，y 1，y 3的特解。解：y x3 3x9 求微分方程y2yy满足初始条件0, y 1 , y 2的特解。解：arcta ny xtan x10 .验证二元方程x2xyy2所确定的函数为微分方程x 2y y 2x y 的解。11. 求微分方程ex y ex dx ex y ey dy 0的通解。解：ex 1 ey 1 C12. 求 dy

9、 y tanx secx , y |x 00 的特解。dx解：y cosx13. 验证y1 cos x , y2 sin x都是y2y 0的解，并写出该方程的通解。14.求微分方程y2y x2x的通解解：y Cx2 x21nx15.求微分方程y丄y exx0满足初始条件y1 0的特解。x解：y exC2x ex16.求微分方程dy2x1yx 1 3的通解。dx0解：y x 1x1 2C217.求微分方程xdxy-dy 0满足条件y0 1的特解。1y1 x解: 2 y3 x33 y2 2x! 518.求微分方程yy2y0的通解。解：y C1ex （C2e2x19.求微分方程y2y5y0的通解。解

10、：y e x C1cos2x C2 sin 2x20.求微分方程y4y4y0的通解。解：yCi2xY21. 试求y x的经过点M 0,1且在此点与直线y 1相切的积分曲线21 3 1解：y x x 16 2（B）、是非题1 .可分离变量微分方程不都是全微分方程。（）2若y1 x , y2 x都是y P x y Q x的特解，且力x与y? x线性无关,则通解可表为y xy1 x C y1 x y2 x。()3函数y e 1x e 2x是微分方程y1 2 y 1 2y 0的解。（）4.曲线在点x,y处的切线斜率等于该点横坐标的平方，则曲线所满足的微分方程是y x2 C（C是任意常数）。（）5. 微

11、分方程ye2x y，满足初始条件y lx o 0的特解为ey - e2x1。（）2、填空题y1 cosx 与y sin x是方程y y 0的两个解，则该方程的通解为2.微分方程2y 3y 0的通解为3.微分方程2y y 0的通解为4.微分方程e2x的通解是5.微分方程y的通解是6.微分方程dydx2xy的通解是、选择题1 微分方程4y 4y 0的两个线性无关解是（）A . e2x 与 2 e2x B . e 2x 与 x e 2x C2 x2xe 与x eD . e 2x 与 4e 2x2 .下列方程中，不是全微分方程的为（A. 3x2 6xy2 dx 6x2y 4y2 dyeydxey2yd

12、yC. y x 2y dx x2dy 0y dxxdy3.下列函数中，哪个函数是微分方程g的解（）12gt12gt4.下列函数中，是微分方程y 7y12y0的解（）x2 C . y3x e2xy e5.方程 1 x2 y xy0的通解是（A. y C . 1 x2 BC.yx2=X3 Cx22x2Cxe 26.微分方程y In xdxx ln ydy满足y |x1的特解是（A . ln xl n2y B . ln2 x l n2y 1C. ln2 x ln2 y 0D. ln2 x ln2 y 17. 微分方程1 x2 dy1y2 dx 0的通解是()A. arctan x arctan y

13、C B . tan x tan y CC. In x ln yCD.cot x cot yC8 .微分方程ysin x的通解是（)0A.y sin xB.ysinxC. ysinxC1x C2Dy sinxx C 29 .方程xy y3的通解是（）0A. y C 3 xB . y 3 C CxC.y xC3 D . y3x四、解答题1.求微分方程y 9y24x6cos3x 2 sin3x 的通解。解:y C1 xcos3xC22x2x sin x3x2.求微分方程y 7y6ysinx的通解。解:6xy 6eC2ex1一 7 cosx5sin x743.求微分方程3x2 2xy y2dxx2 2

14、xy dy 0的通解。解:y2 xy x2 Cx（C）、是非题1. 只要给出n阶线性微分方程的n个特解，就能写出其通解。2 .已知二阶线性齐次方程 y P x y Q x y 0的一个非零解y，即可 求出它的通解。（）二、填空题1 .微分方程 y 4y 5y 0的通解是。2. 已知y 1 , y x , y x2某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该方程的通解为。3. 微分方程y 2y 2y ex的通解为。四、解答题1 .设y ex是微分方程xyp x y x的一个解，求此微分方程满足条件y|xln2 0的特解。解：代入yex到方程xyP x yx中，得p xxxex原方程为xyxxe x x

15、 yxyxe xe 1 C e,yxe 1 y 1、选择题1 微分方程1耳的通解为（）x x 1A. arctanx.1 arctan xx1C . arctanxxC D . arctanx2.微分方程1的通解是（3.4.5.A . y C exxy y 3的解是(y |x 1 031微分方程dy tan的通解为dx x xA . sin Cx xB . sin#x1Cx.xsinyCx.xsiny1Cx已知微分方程的一个特解为7，则此微分方程的通解是（）A.-C-x 1211C. C x2116.微分方程y1的一个特解应具有形式（式中a，b为常数）（）A . aexB . axexb C

16、. aex bx D . axex bx/ x ln 2 , y 0 二 Cy ex 1 e 2 。2 .已知yi xex e2x, y2 xex e x,目3 xex e2x e x是某二阶线性非齐次 微分方程的三个解，求此微分方程。解：yi y3 e x， y 目2 e2x 2e x均是齐次方程的解且线性无关。C1e x C2 e2x 2e x是齐次方程的通解。当C1 2，C2 1时，齐次方程的 特解为e2xex、e2x都是齐次方程的解且线性无关。二Gex C2e2x是齐次方程的通解。由此特征方程之根为-1，2,故特征方程r2 r 20。相应的齐次方程为y y 2y 0故所求的二阶非齐方程

17、为y y 2y f xy1是非齐次方程的特解代入上式得xf x 1 2x e所以y y 2y 1 2x ex为所求的微分方程。13 .已知f 0，试确定f x，使ex f x ydx f x dy 0为全微分方程，并2求此全微分方程的通解。解：P ex fx y，Qf x，由-QP得xyf xexf x，即f xf xx ef x edxexedxCex xC1x2得全微分方程：ex ex xxyx解得 u X, y odx e0 0故此全微分方程的通解为e1ydxx e x1dy 022x-dyxe x1y o22xx1 -yC 02第十二章微分方程(A)、是非题1.X； 2.X； 3. V

18、; 4.x； 5.V; 6.X； 7.x； 8.V; 9.、填空题1.在横线上填上方程的名称可分离变量微分方程；可分离变量微分方程；齐次方程；2. 3；3.1 e42xC x C2 ；4 .14sin2xcosxC1x C2 5. 3;6. 2；7.y2y0 ； 8.2y Cx ；9.x2 2yC ；10. yCx12；11 . yx2Cxe2 ;12.y1x120CxC?x C3 o选择题1. D2 .A；3.B; 4 . B；5. C; 6.A;7.B; 8.C; 9. A; 10. A; 11一阶线性微分方程；二阶常系数齐次线性微分方程。.C；12. C； 13. B; 14. C； 1

19、5. A； 16. B; 17. B； 18. B； 19. A； 20. D; 21. C；22. A.四、解答题1. 验证函数y C e3x e2x(C为任意常数)是方程 史 e 2x 3y的通解,dx并求出满足初始条件y|x。的特解。2 22. 求微分方程xy 1dx y1 x dy 0的通解和特解。y |x0 1解：匚爲 C , 2x2 y21。1 x23. 求微分方程巴tan的通解。dx x x解：sin 丄 Cx。xx y4. 求微分方程y 了 x的特解。yIxi 2解：y2 2x2 ln x 2。5 .求微分方程y y cosx e snx的通解解：y e snx x C6 .求

20、微分方程 一 sinx的通解。dx x1解：ysinx xcosx C。x77.求微分方程 2y y 2x y 的解。解：略。11. 求微分方程ex y ex dx ex y ey dy 0的通解解：ex 1 ey 1 C 1 y 2y x门0的特解。y |xo 12 31 八解：y x 12 x 1。3 3&求微分方程y2/x满足初始条件x 0, y 1 , y 3的特解。x 1解：y x3 3x 1。9 .求微分方程y 2yy满足初始条件x 0 , y 1 , y 2的特解。解: arctany x 或 y4tan x10 .验证二元方程x2 xy y2C所确定的函数为微分方程12. 求

21、dy y tanx secx , y |x 00 的特解。dx解：y亠。cosx13. 验证y1 cosx, y2 sin x都是y 2y 0的解，并写出该方程的通 解。解：略。14. 求微分方程y 2y x?的通解。x解：y Cx2 x21nx。115. 求微分方程y - y ex 0满足初始条件y1 0的特解。xx解：y ex。x16.求微分方程dy2x 1yx 1 的通解。0解：y x 1x1 2C。217.求微分方程xdxy-dy 0满足条件y0 1的特解。1y1 x解: 2 y3 x33 y2 2x? 5。18.求微分方程yy2y0的通解。解：y CQ (C2e2x。19.求微分方程

22、y2y5y0的通解。解：y e x C1 cos2x C2 sin2x。20 .求微分方程y 4y 4y 0的通解。解：y C1 C2xe 2x。21.试求y x的经过点M 0,1且在此点与直线y - 1相切的积分曲线2解：y x3 丄x 1。6 2(B)1.x;2.V;3.4.x;5.Xo二、填空题1.yC1 cosxC2sinx ;2.yC1ex3 xC2e ; 3. y4.y12x小2eC1XC2XC3;5.yGex C2 6 . y8三、选择题1.C;2. C;3.C;4.C;5. D）；6.A; 7. A; 8. C;四、解答题1.求微分方程y9y!4x6 cos3x2sin 3x的通解。解:yC1xcosi3xC22x2x sin x3x 02.求微分方程y7y6ysin x的通解0解:yC1e6xC2ex17c(osx5sinx 0743.求微分方程3x22xy2ydx2 x2xy dy 0的通解。解:2yxy x2C0x是非题C9.A.(C)x2 eC1 C2x ex;是非题1.x；2.V;填空题1. ye2x C1 cosxC2sin2C1 x 1