D87方向导数与梯71787PPT学习教案

1、会计学1D87方向导数与梯方向导数与梯71787,),(),(处可微在点若函数zyxPzyxf),(zyxPl则函数在该点沿任意方向沿任意方向 l 的方向导数存在 ,flf0limcoscoscoszfyfxflf.,的方向角为其中l证明证明: 由函数),(zyxf)(ozzfyyfxxff coscoscoszfyfxf且有)(o在点 P 可微 , 得机动 目录 上页 下页 返回 结束 P故coscoscoszfyfxf第1页/共17页机动 目录 上页 下页 返回 结束 对于二元函数, ),(yxf为, ) 的方向导数为方处沿方向在点(),(lyxP),(),(lim0yxfyyxxflfc

2、os),(cos),(yxfyxfyx,)()(22yx)cos.,cosyxPlxyoxflf特别特别: : 当 l 与 x 轴同向有时,2,0 当 l 与 x 轴反向有时,2,xflfl向角第2页/共17页在点 P(1, 1, 1) 沿向量zyxu23) 的方向导数 .Plu) 1, 1, 1 (1461422zyx1412zx1432yx机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解: 向量 l 的方向余弦为1, 2( l,142cos,141-cos.143cos第3页/共17页在点P(2, 3)沿曲线223yyxz朝 x 增大方向的方向导数.解解:将已知曲线用参数方程表示为2)2, 1 (

3、xx它在点 P 的切向量为,171cos1760 xoy2P1 2xyxx)4, 1 (174cos112 xy)3 , 2(2)3 , 2(cos)23(cos6coscosyxxyyzxzlzP第4页/共17页是曲面n在点 P(1, 1, 1 )处指向外侧的法向量,解解: 方向余弦为,142cos,143cos141cos而PxuPnu) 1,3,2(2632222zyx方向的方向导数.Pzyx)2,6,4(1467111143826141Pyxzx22866zyxu2286在点P 处沿求函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 nnPyuPyxzy22868,148Pzu14-86222P

4、zyx第5页/共17页方向导数公式coscoscoszfyfxflf令向量这说明方向：f 变化率最大的方向模 : f 的最大变化率之值方向导数取最大值：机动 目录 上页 下页 返回 结束 )cos,cos,(cos0l),cos(0lGG)1(0l0lGlf,0方向一致时与当Gl:GGlfmaxzfyfxfG,第6页/共17页, fadrg即fadrg同样可定义二元函数),(yxf),(yxPyfxfjyfixff,grad称为函数 f (P) 在点 P 处的梯度zfyfxf,kzfjyfixf记作(gradient),在点处的梯度 G说明说明:函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.向量第7页

5、/共17页,)(可导设rf),(222zyxPzyxr为点其中证证:xrf)()(rf yrf)(grad ( )f r)(1)(kzjyixrrfrrrf1)( rzrfzrf)()(0)(rrfjyrf)(kzrf)(xrrf)(222zyxxPxozy,)(ryrf ixrf)(试证rxrf)( .)()(radg0rrfrf处矢径 r 的模 ,r第8页/共17页1. 方向导数方向导数 三元函数 ),(zyxf在点),(zyxP沿方向 l (方向角),为的方向导数为coscoscoszfyfxflf 二元函数 ),(yxf在点),(yxP),的方向导数为coscosyfxflf沿方向 l

6、 (方向角为yfxfcossin机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共17页2. 梯度梯度 三元函数 ),(zyxf在点),(zyxP处的梯度为zfyfxff,grad 二元函数 ),(yxf在点),(yxP处的梯度为),(, ),(gradyxfyxffyx3. 关系关系方向导数存在偏导数存在 可微机动 目录 上页 下页 返回 结束 0gradlflf梯度在方向 l 上的投影.第10页/共17页1. 设函数zyxzyxf2),(1) 求函数在点 M ( 1, 1, 1 ) 处沿曲线 12 32tztytx在该点切线方向的方向导数;(2) 求函数在 M( 1, 1, 1 ) 处的梯度梯

7、度与(1)中切线方切线方向向 的夹角 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共17页,),(2zyxzyxf曲线 12 32tztytx1. (1)在点)3,4, 1 (1dd,dd,ddttztytx)1 , 1 , 1(coscoscoszyxMffflf266机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数沿 l 的方向导数lM (1,1,1) 处切线的方向向量第12页/共17页)0,1,2(grad)2(MfMMflfgrad13061306arccosMfgrad机动 目录 上页 下页 返回 结束 l cosMfgradl42042042020020020022222220czbyaxczzbyyaxxnuM4204204202czbyax第13页/共17页函数)ln(222zyxu在点)2,2, 1 (M处的梯度Mugrad)2, 2, 1 (,gradzuyuxuuM解解:)2,2, 1 (92)2,2, 1 (92机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共17页指向 B( 3, 2 , 2) 方向的方向导数是 .在点A( 1 , 0 , 1) 处沿点Axd d)ln(22zyxu提示提示:31,32,32则cos,cos,cosAxu) 1ln( x1x,21yd dAyu) 11