第三章立体投影

1、第三章 平面立体 3-1 平面立体的投影平面立体的投影 基本要求1. 掌握立体的投影特性和作图方法2. 掌握在立体表面上取点、线的方法3.掌握平面立体截交线的方法一、一、 平面立体的投影特性平面立体的投影特性（一）棱柱的投影特性 六棱柱的投影图（二）棱锥的投影特性 三棱锥的投影图例题1 由平面多边形围成的立体成为平面立体。绘制平面立体的投影,只要找出属于平面立体上的各棱面、棱线和顶点的投影，并判别可见性，就能绘制出投影图。实质就是绘制出平面图形、直线和点的投影。判断可见性的方法，是对于可见位置的面和线用粗实线表示，而对于不可见位置的面和线用虚线表示（一）棱柱的投影特性 一个投影为多边形，另外两

2、个投影轮廓线为矩形。六棱柱的投影图（二）棱锥的投影特性 一个投影为多边形，另外两个投影轮廓线为三角形。BCAS三棱锥的投影图例题例题1 1 求立体的侧面投影二、二、 平面立体表面上取点平面立体表面上取点（一）棱柱表面上取点（二）棱锥表面上取点平面立体可看作是由若干个平面多边形所围成的，所以在平面立体表面上取点、线时，应把属于平面立体的棱面作为单独的平面来考虑。在平面立体的表面上取点，取线的方法与在平面上取点，取线的方法基本相同，即一般为辅助线法但要注意可见性的判别。aa（一）棱柱表面上取点R111rr（二）三棱锥表面上取点222三棱锥表面上取点333三棱锥表面上取点三、三、 平面立体的切割平面

3、立体的切割（一）平面立体的截交线（二）平面立体截交线的性质（三）平面立体截交线的求法 1、 棱柱上截交线的求法 2、 棱锥上截交线的求法平面立体的截交线是截平面与平面立体表面的交线。（一）平面立体的截交线（一）平面立体的截交线平面立体的截交线是截平面与平面立体表面的交线。（二）平面立体截交线的性质平面立体的截交线是截平面与平面立体表面的共有线，截交线上的点是截平面与立体表面上的共有点由于平面立体的表面都具有一定的范围，所以截交线通常是封闭的平面多边形多边形的各个顶点是平面立体的各棱线或边与截平面的交点，多边形的各边是平面立体的棱面与截平面的交线，或是截平面与截平面的交线.（三）平面立体截交线的

4、求法平面立体被单个或多个平面割后，既具有平面立体的形状特征，又具有截平面的平面特征因此在看图或画图时，一般应先从反映平面立体特征视图的多边形线框出发，想象出完整的平面立体形状画出其投影，然后再根据截断面的形状并画出其投影平面立体上切口的画法，常利用平面特性中“类似形“这一投影特征来作图.1 、 棱柱上截交线的求法例题2 例题3( 1 ) 求出截平面与棱柱上若干条棱线的交点；如立体被多个平面截割，应求出截平面间的交线（）依次连接各点（ 3 ）判断可见性（）整理轮廓线例题例题2 2 求立体切割后的投影431265114565234（6）（2）（3）例题例题3 3 求立体截割后的投影71188711

5、121056943961（3）2（4）105 1（2）83（4）10 （5）9 11（6）（7）2、棱锥上截交线的求法例题4 例题5（1）找到截平面与棱锥上若干条棱线的交点；如立体被多个平面截割，应求出截平面间的交线（）依次各点连线（）判断可见性（）整理轮廓线例题例题4 求立体切割后的投影235411166543264（5）2（3）例题例题5 求立体切割后的投影1（2）3412642156346（5）3（4）3-2曲面立体的投影曲面立体的投影基本要求基本要求 本章学习的基本要求是: (1) 掌握曲面立体的投影特性及作图方法。 (2) 熟练掌握在曲面立体表面上取点和取 线的作图方法。 一、一、

6、概述概述 曲面立体是由曲面与平面或回转面所围成。工程中常用的有圆柱、圆锥、圆球、圆环以及由它们组合而成的复合回转体。图示回转体实质上就是图示围成回转体的回转面、平面。在回转体表面上取点、线与在平面上取点、线的作图原理相同。欲取回转面上的点，必先过此点取该曲面上简单易画的圆或直线。欲取回转面上的线（直线、曲线），必先取该曲面上能确定此线的二个或二个以上的已知点，然后将其相连并判断别可见性即可。二、二、 圆柱的投影圆柱的投影1、圆柱的形成、圆柱的形成 曲面可看作由一条线按一定的规律运动所形成，运动的线称为母线，而曲面上任一位置的母线称为素线。母线绕轴线旋转一周，则形成回转面。 圆柱由圆柱面、顶面、

7、底面所围成。圆柱面可看作直线绕与它相平行的轴线旋转而成。2、 圆柱的画法3、 圆柱的投影特点例题例题 分析圆柱轮廓素线的投影4、圆柱投影可见性的判别5、圆柱表面上取点( )( )A(D)CB三、三、 圆锥的投影圆锥的投影1、圆锥的形成、圆锥的形成 圆锥由圆锥面、底面所围成。圆锥由圆锥面、底面所围成。圆锥面可看作直线绕与它相交的圆锥面可看作直线绕与它相交的轴线旋转一周而成。轴线旋转一周而成。2、 圆锥的画法3、 圆锥的投影特点4、圆锥可见性的判别5、圆锥表面上取点四、四、 圆球的投影圆球的投影1、圆球的形成 球是有球面围成的，球面可看作圆绕其球是有球面围成的，球面可看作圆绕其直径为轴线旋转而成。

8、直径为轴线旋转而成。2、 圆球的画法 3、 圆球的投影特点圆球的投影特点 4、圆球可见性的判别、圆球可见性的判别 5、圆球表面上取点、圆球表面上取点五、五、 圆环的投影圆环的投影1、圆环的形成、圆环的形成 圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。 2、圆环的画法、圆环的画法 3、圆环的投影特点、圆环的投影特点 4、圆环投影可见性的判别、圆环投影可见性的判别由前向后看，此部分可见由上向下看，此部分可见m12 5、圆环表面上取点、圆环表面上取点m（n）123-3立立体的体的截交线截交线 基本要求基本要求1.掌握特殊位置平面与圆柱、圆锥、掌握特殊位置平面与圆柱、圆锥

9、、圆球相交，求表面截交线方法；圆球相交，求表面截交线方法；2.掌握回转体截交线的性质及求截掌握回转体截交线的性质及求截交线的方法。交线的方法。一、一、 概述概述（一） 截交线的性质 （二） 截交线的类型及形状 （三） 求作截交线的方法 （四） 截交线上的特殊点 （五） 作图步骤（一）曲面立体截交线的性质（一）曲面立体截交线的性质1.曲面立体的截交线通常是封闭的平面曲线，或是由曲线和直线所围成的平面图形或多边形；2.曲面立体的截交线为曲面立体表面和截平面的共有线；3.曲面立体截交线上的点为立体表面和截平面的共有点。（二）（二） 截交线的类型及形状截交线的类型及形状（三）（三） 求作截交线的方法求

10、作截交线的方法 （四）特殊点（四）特殊点 （五）（五） 作图步骤作图步骤二、平面与圆柱相交二、平面与圆柱相交1、平面与圆柱相交所得截交线形状2、求圆柱截交线上点的方法3、例题1 1、平面与圆柱相交所得截交线形状、平面与圆柱相交所得截交线形状矩形矩形椭圆椭圆圆圆2 2、求、求圆柱截交线上点的方法圆柱截交线上点的方法表面取点法表面取点法 在圆柱表面取若干条素线，并求出这些素线与截平面的交点；当圆柱的轴线处于特殊位置时，可利用圆柱的积聚性投影直接求得交线上点的投影。3 3、例题、例题例题1 求圆柱截交线求圆柱截交线111548883254452323解题步骤1分析 截平面为正垂面，截交线的侧面投影为

11、圆，水平投影为椭圆；2求出截交线上的特殊点、 、 ；3求出若干个一般点、 、；4光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；5整理轮廓线。766767例题2 求圆柱截交线求圆柱截交线解题步骤1分析侧面投影为圆的一部分，截交线的水平投影为椭圆的一部分；2求出截交线上的特殊点、 ；3求出若干个一般点、 ；4光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；5 整理轮廓线。3453345541221122143例题3 求圆柱截交线求圆柱截交线解题步骤1分析 截交线的水平投影为直线和部分圆，侧面投影为矩形；2求出截交线上的特殊点、；3顺次地连接各点，作出截交线并判别可见性；4整理轮廓线。1213

12、34241234例题4 求圆柱截交线求圆柱截交线解题步骤1 分析 截交线的水平投影为直线和部分圆，侧面投影为矩形；2 求出截交线上的特殊点、； 3 顺次地连接各点，作出截交线并判别可见性；4 整理轮廓线。12341324例题5 求圆柱截交线求圆柱截交线解题步骤1分析 截交线为矩形、椭圆及圆和直线的组合；截交线的水平投影为已知，侧面投影为矩形、椭圆和直线的组合；2求出截交线上的特殊点、 、 、；3求一般点；4 顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；5整理轮廓线。3311 22445532514例题6 想象出物体及其侧面投影的形状想象出物体及其侧面投影的形状三、三、 平面与平面与 圆锥相交圆

13、锥相交1、平面与圆锥相交所得截交线形状2、圆锥截交线的求法3、例题1 1、平面与圆锥相交的截交线、平面与圆锥相交的截交线圆圆椭圆椭圆三角形三角形双曲线加直线段双曲线加直线段抛物线加直线段抛物线加直线段2 2、求、求圆圆锥锥截交线上点的方法截交线上点的方法求圆锥截交线上点的方法为求圆锥截交线上点的方法为:1.素线法 在圆锥表面取若干条素线，并求出这些素线与截平面的交点;2.纬圆法 在圆锥表面上取若干个纬圆，并求出这些纬圆与截平面的交点.3 3、 例题例题例题1 求圆锥截交线求圆锥截交线解题步骤1分析 截平面为正垂面，截交线为椭圆；截交线的水平投影和侧面投影均为椭圆；2求出截交线上的特殊点、 、

14、；3求出一般点；4光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；5整理轮廓线。333例题2 求圆锥截交线求圆锥截交线解题步骤1分析 截平面为正平面，截交线为双曲线；截交线的水平投影和侧面投影已知，正面投影为双曲线并反映实形；2求出截交线上的特殊点A、C；3求出一般点B ；4光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；5整理轮廓线。aaacbbbcc例题3 求圆锥截交线求圆锥截交线解题步骤1分析 截平面为正垂面侧平面，截交线为部分椭圆和梯形的组合；其水平投影为部分椭圆和直线的组合，侧面投影为部分椭圆和梯形的组合；2求出截交线上的特殊点、 、 ；3出一般点、 ；4光滑且顺次地连接各点，作

15、出截交线，并且判别可见性；5整理轮廓线。a2314511a232 35445例题例题4 分析圆锥切割后截交线投影的形式分析圆锥切割后截交线投影的形式例题5 分析并想象出圆锥穿孔后的投影分析并想象出圆锥穿孔后的投影四、四、 平面与平面与 圆球相交圆球相交1 1、平面与、平面与 圆圆球球相交所得截交线形状相交所得截交线形状圆圆2 2、求、求圆圆球球截交线上点的方法截交线上点的方法纬圆法纬圆法 在圆锥表面上取若干个纬圆，并求出这些纬圆与截平面的交点。3 3、圆球截交线例题、圆球截交线例题 例题1 求圆球截交线求圆球截交线解题步骤1分析 截平面为正垂面，截交线为圆；截交线的水平投影和侧面投影均为椭圆；

16、2求出截交线上的特殊点、 、 ；3求出若干个一般点A、B、C、D；4光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；5整理轮廓线。1212343456567878abcdbacd2134567 8abcd221 例题2 求圆球截交线求圆球截交线解题步骤1分析 截平面为两个侧平面和一个水平面，截交线为圆弧和直线的组合；截交线的水平投影和侧面投影均为圆弧和直线的组合；2求出截交线上的特殊点、 ；3求出各段圆弧；4判别可见性，整理轮廓线。33312例题例题3 求圆球截交线例题4 分析并想象出圆球穿孔后的投影分析并想象出圆球穿孔后的投影五、五、 综合题综合题例题1 分析并想象出物体的投影分析并想象出

17、物体的投影例题2 求出物体切割后的投影求出物体切割后的投影3333例题3 分析并想象出物体切割后的投影分析并想象出物体切割后的投影3-4立体的相贯线立体的相贯线基本要求基本要求1.掌握平面立体与平面立体相贯线的性质及作图方法；2.掌握平面立体与曲面立体相贯线的性质及作图方法；3.掌握两回转体相贯线的性质及作图方法；4.掌握相贯线可见性的判别方法；5.了解和掌握相贯线的特殊情况和作用.一、一、 平面立体与平面立体相贯平面立体与平面立体相贯（一） 概述 （二） 例题1 例题2 例题3（一）概述（一）概述1相贯线的性质 相贯线是两立体表面的共有线，相贯线上的点是两立体表面的共有点;不同的立体以及不同

18、的相贯位置,相贯线的形状也不同;2相贯线的形状 两平面立体的相贯线由折线组成。折线的每一段都是甲形体的一个侧面与乙形体的一个侧面的交线，折线的转折点就是一个形体的侧棱与另一形体的侧面的交点。3求相贯线的方法 求两平面立体相贯线的方法通常有两种：一种是求各侧棱对另一形体表面的交点，然后把位于甲形体同一侧面又位于乙形体同一侧面上的两点，依次连接起来。另一种是求一形体各侧面与另一形体各侧面的交线。4判别相贯线可见性的原则 只有位于两形体都可见的侧面上的交线，是可见的。只要有一个侧面不可见，面上的交线就不可见。例题1 两平面立体相贯，完成相贯线的投影两平面立体相贯，完成相贯线的投影 1yyyy1444

19、2332132解题步骤1分析 相贯线的正面投影已知，水平投影和侧面投影未知；2求出相贯线上的折点、 、 ；3顺次地连接各点，作出相贯线，并且判别可见性；4整理轮廓线。例题2 两平面立体相贯，完成相贯线的投影两平面立体相贯，完成相贯线的投影 123456132456解题步骤1分析 相贯线为左右两组折线；相贯线的正面投影已知，水平投影未知；相贯线的投影前后、左右对称2求出相贯线上的折点、 、 、 、 ；3顺次地连接各点，作出相贯线，并且判别可见性；4整理轮廓线。二、二、 平面立体与曲面立体相贯平面立体与曲面立体相贯（一） 概述 （二） 例题3 例题4概述概述例题3 平面立体与曲面立体相贯，完成相贯

20、线的投影平面立体与曲面立体相贯，完成相贯线的投影 解题步骤1分析 相贯线为三段圆弧的组合；相贯线的水平投影已知，可利用表面取点法求共有点；2求出相贯线上的特殊点、 、 、 ；3求出若干个一般点、；4光滑且顺次地连接各点，作出相贯线，并且判别可见性；5整理轮廓线。THSHPH35QH1239867124546789观看动画例题4 平面立体与曲面立体相贯，完成相贯线的投影平面立体与曲面立体相贯，完成相贯线的投影 解题步骤1分析 相贯线为圆弧和双曲线的组合；相贯线的侧面投影已知，可利用表面取点法求共有点；2求出相贯线上的特殊点、 、 ；3求出一般点 ；4光滑且顺次地连接各点，作出相贯线，并且判别可见

21、性；5整理轮廓线。观看动画三、三、 曲面立体相贯曲面立体相贯（一）相贯线的性质（二）曲面立体相贯的三种基本形式（三）求曲面立体相贯线的方法（四）辅助面的选用原则（五）求相贯线的一般步骤（六）复合相贯线（七）相贯线的特殊情况（八）相贯线的变化趋势（九）例题（一）相贯线的性质（一）相贯线的性质图例1.相贯线是两曲面立体表面的共有线，相贯线上的点是两曲面立体表面的共有点。2.不同的立体以及不同的相贯线一般是封闭的空间曲线，特殊情况下为平面曲线或直线。曲面立体相贯线的性质图例曲面立体相贯线的性质图例（二）曲面立体相贯的三种基本形式（二）曲面立体相贯的三种基本形式2 外表面与内表面相交；1 两外表面相交

22、；3 两内表面相交。（三）求曲面立体相贯线的方法（三）求曲面立体相贯线的方法1表面取点法2辅助平面法3辅助球面法求作相贯线时，先求出适当数量的共有点，然后依次光滑连接而成，求共有点的方法是：（1）若相贯线有一个投影已知，可采用辅助面法或表面取点法作出；（2）若相贯线有两个投影已知，可采用表面取点法或由二求三的方法作出；（3）若相贯线的三个投影均未知，可采用辅助面法作出；（4）若求轮廓素线上的点，有时须包括轮廓素线作辅助面（四）辅助面的选用原则（四）辅助面的选用原则1 1利用表面取点法或由二求三的方法求相贯线利用表面取点法或由二求三的方法求相贯线2、利用辅助平面法求相贯线利用辅助平面法求相贯线（

23、五）（五） 求相贯线的一般步骤求相贯线的一般步骤2求作相贯线上的特殊点。3根据需要求出若干个一般点。4光滑且顺次地连接各点，作出相贯线，并判别可见性。5整理轮廓线。 分析（1）首先分析两曲面立体的几何形状、大小和相对位置；（2）分析相贯线；（3）分析两曲面立体对投影面的相对位 置，两曲面立体的投影是否有积聚性，哪个投影有积聚性；分析相贯线哪个投影是已知的，哪个投影是要求作的；特殊点特殊点 特殊点有极限位置点、轮廓素线上的点、曲线特征和结合点四种。 这里轮廓素线上的点并不都是区别相贯线可见与不可见部分的分界点，只有距离观察者近的一个曲面立体轮廓素线上的点才是区别可见性的分界点。（六）（六） 复合

24、相贯线复合相贯线 三个或三个以上的立体相交在一起，称为复合相贯。这时相贯线由若干条相贯线组合而成，结合处的点称为结合点。 处理复合相贯线，关键在于分析，找出有几个两两曲面立体相贯，从而确定其有几段相贯线组成。 （七）相贯线的特殊情况（七）相贯线的特殊情况（1）两个回转体具有公共轴线时，其表面的相贯线为圆，并且该圆垂直于公共轴线。 当公共轴线处于投影面垂直位置时，相贯线有一个投影反映圆的实形，其余投影积聚为直线。（2）外切于同一球面的圆锥、圆柱相交时，其相贯线为两条平面曲线椭圆。 当两立体的相交两轴线同时平行于某一投影面时，则此两椭圆曲线在该投影面上的投影，为相交两直线。当两个回转体具有公共轴线

25、时，其表面的相贯线为圆当两个回转体具有公共轴线时，其表面的相贯线为圆外切于同一球面的圆锥、圆柱相交时，其相贯线为两条平面曲线外切于同一球面的圆锥、圆柱相交时，其相贯线为两条平面曲线椭圆椭圆外切于同一球面的两圆柱正交时，其相贯线为两条平面曲线外切于同一球面的两圆柱正交时，其相贯线为两条平面曲线椭圆椭圆外切于同一球面的两圆柱斜交时，其相贯线为两条平面曲线外切于同一球面的两圆柱斜交时，其相贯线为两条平面曲线椭圆椭圆外切于同一球面的圆锥、圆柱正交时，其相贯线为两条平面曲线外切于同一球面的圆锥、圆柱正交时，其相贯线为两条平面曲线椭圆椭圆外切于同一球面的圆锥、圆柱斜交时，其相贯线为两条平面曲线外切于同一球面的圆锥、圆柱斜交时，其相贯线为两条平面曲线椭圆椭圆 （八）相贯线的变化趋势（八）相贯线的变化趋势1两圆柱相贯线的变化趋势（一）2两圆柱相贯线的变化趋势（二）3圆柱