第三章力系的平衡

1、第三章第三章 力系的平衡力系的平衡 汇交力系的平衡方程汇交力系的平衡方程 1.空间汇交力系空间汇交力系 平衡的充要条件平衡的充要条件 将上式两边向x、y、z 轴投影，可得平衡方程 可以求解3个未知量。 2.平面汇交力系平面汇交力系 R0FF000 xyzFFF 力偶系的平衡方程力偶系的平衡方程 1.空间力偶系空间力偶系 平衡的充要条件（几何条件）平衡的充要条件（几何条件） 将上式两边向x、y、z 轴投影，可得平衡方程 可以求解3个未知量。 2.平面力偶系平面力偶系 0iMM000ixiyizMMM平衡的充要条件平衡的充要条件: :力偶系中各力偶矩的代数和等于零.任意力系的平衡方程任意力系的平衡

2、方程 空间任意力系：空间任意力系：平衡的充要条件:力系的主矢和对任一点任一点的主矩均为零。 将上式向x、y、z 轴投影，可得空间任意力系的平衡方程 可以求解6个未知量。0im R0F0OM000 xyzFFF()0()0()0 xyzMMMFFF 空间平行力系空间平行力系选择z轴与力系的作用线平行 空间平行力系的平衡方程 可以求解3个未知量zxoFiFF2yF1n0()0()0zxyFMMFF00( )0 xyzFFm F平面任意力系 如果取平面任意力系的作用平面为oxy平面， 则 平面任意力系的平衡方程（一般形式）： 可以求解3个未知量0( )0( )0zxyFMFMF00()0 xyzFF

3、MF000()0 xyFFMF二力矩的形式 限制条条件：力矩中心A、B 两两点的连连线不能与投影轴线不能与投影轴x轴垂轴垂直直0()0()0 xABFMMFFoyxFi2FFnF1oxAB三力矩的形式 限制条条件：力矩中心A、B 、C 三点不在同一条条直线线上。()0()0()0ABCMMMFFFCBAACB1P =4kN, 已知：已知：P1=4KN，P2=10KN，尺寸如图，求：，尺寸如图，求：BC杆受力及铰杆受力及铰 链链A受力。受力。17.33TF kN5.33AyFkN0ixF 0cos300AxTFF0iyF012sin300AyTFPPF0AM021sin30 6 430TFPP

4、(1)(1)解：解： 取取AB 梁，画受力图。梁，画受力图。解得解得又可否列下面的方程？又可否列下面的方程？能否从理论上保证三组方程求得的结果相同？能否从理论上保证三组方程求得的结果相同？可否列下面的方程：可否列下面的方程：21120cos3000sin30643006320ixAxTATBAyFFFMFPPMFPP 2112120sin306430063200340ATBAyCAxMFPPMFPPMFACPP 例：例：简支梁受力如图，已知简支梁受力如图，已知F300N, q=100N/m, 求求A ,B处的约束反力。处的约束反力。FqABCD2m2m4m解：简支梁受力如图所示：解：简支梁受力

5、如图所示：BFAyFAxF00AxxFF0AM02648FqFBNFB375NFAy3250yF 104 qFFFBAy代入（代入（1）式）式 求图示伸出梁的支座反力。求图示伸出梁的支座反力。2mBA2m3m2mF =5KN1F =20KN2q =4KN/m12mq =2KN/mm =8KNmo求如图所示悬臂梁的支座反力求如图所示悬臂梁的支座反力.平面平行力系选y轴或者x轴与力系的作用线平行，则 一般式， 二力矩式 或00,.XY有或者只有两个独立的平衡方程0()0yOFMF00ABM (F )M (F )条件：条件：AB连线不能平行连线不能平行 于力的作用线于力的作用线均质杆AB和BC在B端

6、固结成60角，A端用绳悬挂，已知BC=2AB,求当刚杆ABC平衡时，BC与水平面的倾角。已知: G1, G2, a,b,e,L求：起重机满载时不向右和空载时不向左翻倒时，平衡重的重量G3所应满足的条件。解：以起重机为研究对象(1)满载时不翻倒条件：FNA0 (1)由 得：0Bm 由(1)、(2)式 得： 1233eLGGGabeAbaG32GBL1GN BFN AF 312312()0()2NANAabF beLGGGabeLGGGFb不翻倒条件：FNB0 (4)由 得： 3113()0()5NBNBaF bbeGGbeaGGFb由(4)、(5)式 得： 13()6beGGa 由式(3)和(6

7、)可得，起重机满载和空载均不致 翻倒时，平衡重的重量G3所应满足的条件为：2113()LebeGGGGabaFAGa3N BN AFbBe1G0Am 3.4.1 3.4.1 单个物体平衡方程的应用单个物体平衡方程的应用单个物体平衡问题的研究，可按以下步骤进行：（1）根据物体平衡问题正确选定研究对象。 (要画出研究对象的形状)（2）分析研究对象的受力情况，正确画出其受力图。 (研究对象本身对周围的作用力不要画出.)（3）选择恰当的平衡方程、投影轴和力矩中心， 求解未知力。 水平梁AB中点C作用着力F，其大小等于2 kN，方向与与梁的轴线轴线成60角，支承情况况如图图a 所示，试试求固定铰链铰链支

8、座A和活动铰链动铰链支座B的约约束力。梁的自重不计计。 6030aa(a)解：解：(1) (1) 取制动蹬取制动蹬ABD ABD 作为研究对象。作为研究对象。(2) (2) 画出受力图。画出受力图。O O P PA AS SB BB BN ND DD D (b)(b)J JN ND DK KS SB BP PI I (c)(c)P P 24246 6A AC CB BO OE ED D(a)(a)(3) (3) 应用平衡条件画出应用平衡条件画出P P、S SB B 和和N ND D 的闭和的闭和力力三角形。三角形。图示是汽车制动机构的一部分。司机踩到制动蹬上的力图示是汽车制动机构的一部分。司机

9、踩到制动蹬上的力P P=212N=212N，方方向与水平面成向与水平面成 =45=45 角。当平衡时，角。当平衡时，BCBC水平，水平，ADAD铅直，试求拉杆所受铅直，试求拉杆所受的力。已知的力。已知EAEA=24cm=24cm，DEDE=6cm=6cm 点点E E在铅直线在铅直线DADA上上 ，又，又B B、C C、D D都是光都是光滑铰链，机构的滑铰链，机构的自重不计。自重不计。cm 24 EAOE25. 0tgOEDE 214.250arctgPSBsin180sin （5 5）代入数据求得：）代入数据求得： S SB B=750 N=750 N。（4 4）由几何关系得：）由几何关系得：

10、 由力三角形可得：由力三角形可得：O O P PA AS SB BB BN ND DD D (b)(b)J JN ND DK KS SB BP PI I (c)(c)P P 24246 6A AC CB BO OE ED D(a)(a)TBD300FAB150150TBCTBD=G EB例题例题 井架起重装置简图如图所示，重物通过卷扬机井架起重装置简图如图所示，重物通过卷扬机D由绕过滑轮由绕过滑轮B 的钢索起吊。起重臂的的钢索起吊。起重臂的A端支承可简化为固定铰支座，端支承可简化为固定铰支座，B端用钢索端用钢索BC 支承。设重物支承。设重物E重重G=20KN，起重臂的重量、滑轮的大小和重量索及

11、钢起重臂的重量、滑轮的大小和重量索及钢 的重量均不计。求当重物的重量均不计。求当重物E匀速上升时起重臂匀速上升时起重臂AB和钢索和钢索BC所受的力。所受的力。解：解：1、取滑轮连同重物、取滑轮连同重物E为研究对象，受力分析：为研究对象，受力分析：G300600150A BCD Ex300150150TBDTBCGTBD=G Y = 0 X = 0FAB = 45 kN- TBC cos300 - TBD cos450 + FAB cos600= 0 EBTBC = 9.65 kNFABy- TBC cos600 - TBD cos450 + FAB cos300-G= 02、取汇交点、取汇交点

12、B为坐标原点，建立坐标系：为坐标原点，建立坐标系：3、列平衡方程并求解：、列平衡方程并求解：300300600150A BCD E300150150TBDTBCGTBD=Gxy EB- TBD sin150+ FAB sin300-Gsin600= 0FAB = 45 kN Y = 0FAB解二：解二：300600150A BCD E X = 0- TBC - TBD cos150 + FAB cos300-Gcos600= 0TBC = 9.65 kN1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度特殊时用、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度特殊时用 几几 何法（解力三角形）比较简便。何法

13、（解力三角形）比较简便。 解题技巧及说明：解题技巧及说明：3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只有一、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只有一个未知数。个未知数。 2、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或特殊，、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或特殊，都用解析法。都用解析法。5、解析法解题时，力的方向可以任意设，如果求出负值，说、解析法解题时，力的方向可以任意设，如果求出负值，说明力方向与假设相反。对于二力构件，一般先设为拉力，如明力方向与假设相反。对于二力构件，一般先设为拉力，如果求出负值，说明物体受压力。果求出负值，说明物体受压力。4、对力的方向判定不准的，

14、一般用解析法。、对力的方向判定不准的，一般用解析法。n个物体组成的物体系统2 单个物体平面一般力系33n平面平行力系22n平面汇交力系2n平面力偶系1n独立平衡方程数 3.4.2 物体平衡方程的应应用 （1）静定问题与静不定问题的概念静定问题与静不定问题的概念 1.静静定问题问题 未知量的个数个数独独立平衡方程数数 2.超静静定问题问题（或静静不定问题问题） 未知量的个数个数独独立平衡方程数数超静静定次数数=未知量的个数个数-独独立平衡方程数数 判断下面结构是否静定判断下面结构是否静定？判断下面结构是否静定判断下面结构是否静定？（2）物体系的平衡问题）物体系的平衡问题 物体系统（物系物系）：由

15、若干个物体通过适当的约束相互连接而成的系统 。Theoretical Mechanics求解过程中应注意以下几点求解过程中应注意以下几点 在一般情况下，首先以系统的整体为研究对象，这样则不出现未知的内力，易于解出未知量。当不能求出未知量时应立即选取单个物体或部分物体的组合为研究对象，一般应先选受力简单而作用有已知力的物体为研究对象，求出部分未知量后，再研究其他物体。 返回首页首先判断物体系统是否属于静定问题 恰当地选择研究对象 首先从二力构件入手，可使受力图较简单，有利于解题。 解除约束时，要严格地按照约束的性质，画出相应的约束力，切忌凭主观想象画力。画受力图时，关键在于正确画出铰链约束力，除

16、二力构件外，通常用二分力表示铰链反力。 不画研究对象的内力。 两物体间的相互作用力应该符合作用与反作用定律。列平衡方程，求出全部未知力列平衡方程，求出全部未知力 返回首页 受力分析，画隔离体的受力图受力分析，画隔离体的受力图例例已知：图示梁，求：已知：图示梁，求：A、B、C处约束力。处约束力。AXAYmABN整体： 四个反力拆开：BC杆三个反力故先分析故先分析BC杆，再分析整体或杆，再分析整体或AC杆，杆，。CXCYBNAXAYmACX CY AC杆五个反力解：解：1、取、取BC杆为研究对象杆为研究对象 0Cm2、取整体为研究对象、取整体为研究对象AXAYmABNCX CY BN0 X02 P

17、aaNB22PaPaNB 0Y0 BCNY2PNYBC 0 XXA= 00Y0 PNYBA23PNPYBA 0 CX2PNB XA= 02PYC 0 CX（）（）23PYA PamA2 （）（ ） 0Am04 ABmPaPaaNPaaNmBA24 例1：已知已知F500N, q=250N/m, M=500N.m, 求求A ,B, E处的约束反力。处的约束反力。解解(1)取取CE杆为研究对象，受力如图杆为研究对象，受力如图(b)qFM11222ABCDE(a)MDECqEyFCyFCxF(b)对对CE杆杆 0CM0124qMFEyNFEy250qFM11222ABCDEEyFByFAyFAxF(

18、2)取整体为研究对象，受力如图取整体为研究对象，受力如图NFEy25000AxxFF0214480ByEyAFFqMFMNFBy1500 040EyByAyyFFFqFFNFAy250 F500N, q=250N/m, M=500N.m例例已知已知: :DC=CE=CA=CB=2l,DC=CE=CA=CB=2l, R=2r=l,R=2r=l,450P P, , 各构件自重不计。各构件自重不计。求求: :A,EA,E支座处约束力及支座处约束力及BDBD杆受力。杆受力。解解: :取整体取整体, ,画受力图。画受力图。 0EM02522lPlFA解得解得PFA825 0ixF045cos0AExFF解得解得PFEx85 0iyF045sin0AEyFPF解得解得PFEy813取取DCEDCE杆杆, ,画受力图画受力图. . 0CM02245cos0lFlFlFExKDB解得解得PFDB823( (拉拉) )Theoretical Mechanics 例 水平传动轴上安装着带轮和圆柱直齿轮。带轮所受到的紧边胶带拉力FT1沿水平方向，松边胶带拉力FT2与水平线成30角，如图所示。齿轮在最高点C与另一轴上的齿轮相啮