第二章精度指标与误差传播

1、第一节 概述第二节 偶然误差的规律性第三节 衡量精度的指标第四节 协方差传播律第五节 协方差传播律在测量上的应用第六节 权与定权的方法第七节 协因数与协因数传播律第八节 由真误差计算中误差及其实际应用第九节 系统误差的传播内容及学习要求l本章详细讨论偶然误差分布的规律性，衡量精度的绝对指标中误差，相对指标权及其确定权的实用方法；方差、协因数定义及其传播律等问题。l本章内容是是测量平差的理论基础，也是本课程的重点之一。l学习本章要求深刻理解精度指标的含义，掌握权、协方差、协因数概念，确定权及根据已知协方差、协因数的观测值求其函数的方差、协因数的方法（协因数、协方差传播律）。l概括本章内容。l其主

2、线是偶然误差的统计规律衡量单个随机变量的精度指标方差衡量随机向量的精度指标协方差阵求观测值向量函数的精度指标协方差传播律精度的相对指标-权。第一节 概述第二节 偶然误差的规律性本小节阐述偶然误差的统计规律性提出偶然误差服从正态分布的结论观测值：对该量观测所得的值，一般用观测值：对该量观测所得的值，一般用li表示表示 。真值：观测量客观上存在的一个能代表其真正大真值：观测量客观上存在的一个能代表其真正大小的数值，一般用小的数值，一般用 表示。表示。l一、几个概念一、几个概念真误差：观测值与真值之差，真误差：观测值与真值之差， 一般用一般用 i= -li 表示。表示。ll观测向量：若进行n次观测，

3、观测值：l1、l2ln可表示为：nnllll211 ,nnllll211 ,nnnllllll21211 , 注意：本教程中凡是不加说明，即没有下标说明的向量都是列向量，若表示行向量则加以转置符号表示，如： 等。tttbal、tttbal、tttll、则有：111nnnll 数学期望l从概率统计的观点看，当观测量仅含偶然误差时，真值就是其数学期望。l某一随机变量的数学期望为： 或 iniipxxe1)(dxxxfxe)()(期望的实质是一种理论平均值,可用无穷观测,以概率为权,取加权平均值的概念理解.表示出现在小区间的概率。（离散）（连续） 二、偶然误差的特性l例1：在相同的条件下独立观测了3

4、58个三角形的全部内角，每个三角形内角之和应等于180度，但由于误差的影响往往不等于180度，计算各内角和的真误差，并按误差区间的间隔0.2秒进行统计。 误差区间+个数k频率k/n(k/n)/d个数k频率k/n(k/n)/d0.000.20450.1260.630460.1280.6400.200.40400.1120.560410.1150.5750.400.60330.0920.460330.0920.4600.600.80230.0640.320210.0590.2950.801.00170.0470.235160.0450.2251.001.20130.0360.180130.0360

5、.1801.201.4060.0170.08550.0140.0701.401.6040.0110.05520.0060.0301.60000000和1810.5051770.495 l例2：在相同的条件下独立观测了421个三角形的全部内角，每个三角形内角之和应等于180度，但由于误差的影响往往不等于180度，计算各内角和的真误差，并按误差区间的间隔0.2秒进行统计。误差区间+个数k频率k/n(k/n)/d个数k频率k/n(k/n)/d0.000.20400.0950.475460.0880.4400.200.40340.0810.405410.0850.4250.400.60310.0740

6、.370330.0690.3450.600.80250.0590.295210.0640.3200.801.00200.0480.240160.0430.2151.001.20160.0380.190130.0400.200.2.402.6010.0020.01020.0050.00252.60000000和2100.4992110.501(k/n)/d00.40.60.8-0.8-0.6-0.4闭合差概率密度函数曲线用直方图表示:面积= (k/n)/d* d= k/n所有面积之和=k1/n+k2/n+.=1（闭合差是理论值与观测值之差，故是真误差）。注意：统计规律只有当有较多的观测量时，才能

7、得出正确结论。l为了形象地刻画误差分布情况：l横坐标表示误差的大小l纵坐标采用单位区间频率（出现在某区间内的频率，等于该区间内出现的误差个数除误差总个数n，l采用单位频率 为纵坐标值，使曲线（直方图）趋势不因区间间隔不同而变化）。 iindviindv频率曲线变概率曲线l同条件下所得一组独立观测值，n足够大时，误差出现在各个区间的频率总是稳定在某一常数（理论频率）附近，n越大；稳定程度越高。ln趋于 ，则频率等于概率（理论频率）。令区间长度 ，则长方条顶形成的折线变成光滑曲线，称概率曲线。 0d 频数/d00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差0.630 频数/d00.40.6 0

8、.8-0.8-0.6-0.4闭合差0.475 频数/d00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差 00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差提示：观测值定了其分布也就确定了，因此一组观测值对应相同的分布。不同的观测序列，分布不同。但其极限分布均是正态分布。22221)(ef1、在一定条件下的有限观测值中，其误差的绝对值不会超过一定的界限；有界2、绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现 的次数多（概率大）；3、绝对值相等的正负误差出现的次数（概率）大 致相等； 对称4、当观测次数无限增多时，其算术平均值（期望）趋近于零limnn=0偶然误差的特性：1、是制定测量限差的依据；2

9、、是判断系统误差或粗差的依据；3、测量平差的主要研究对象偶然误差的意义：极限误差（限差）第三节 衡量精度的指标（本小节阐述误差概念及几种精度指标）精度：所谓精度是指偶然误差分布的密集或离散程精度：所谓精度是指偶然误差分布的密集或离散程度。度。在相同的观测条件下所进行的一组观测，由于它在相同的观测条件下所进行的一组观测，由于它们对应着同一种误差分布，因此，对于这一组中们对应着同一种误差分布，因此，对于这一组中的每一个观测值，都称为是的每一个观测值，都称为是同精度观测同精度观测值。值。提示：提示：一组观测值具有相同的分布，但偶然一组观测值具有相同的分布，但偶然误差各不相同。如前面测角例子误差各不相

10、同。如前面测角例子（回顾上节）l可以用误差分布表、直方图、分布曲线方法比较麻烦 如何衡量精度？ l能否只用一个数字表示简单精度指标 频数/d00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差 频数/d00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差 频数/d00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差 00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差可见：左图误差分布曲线较高可见：左图误差分布曲线较高 且且陡峭陡峭，精度，精度高高 右图误差分布曲线较低右图误差分布曲线较低 且且平缓平缓，精度，精度低低一、方差一、方差/中误差中误差 f()00.40.60.8-0.8 -0.6

11、-0.4闭合差 1122面积为122221)(ef几种常见的精度指标几种常见的精度指标提示：提示： 越小，误差曲越小，误差曲线越陡峭，误差分布线越陡峭，误差分布越密集，精度越高。越密集，精度越高。相反，精度越低。相反，精度越低。中误差为什么可以作为一种精度指标？l决定误差分布曲线的形状，反映误差的离散程度，所以可作为精度指标。l此外，根据方差的定义，可见方差实际上是偶然误差平方的数学期望?方差、中误差的计算222( )( ) ( )( )deeefd 222( )()( )defd 偶然误差，e()=0等精度观测22,nn二、平均误差二、平均误差 ndfenlim)()(在一定的观测条件下，一

12、组独立的偶然误差绝对值的数在一定的观测条件下，一组独立的偶然误差绝对值的数学期望。学期望。与中误差的关系：与中误差的关系：54n证明平均误差和中误差的关系式l可见：两种精度指标完全等价，即分别用两种精度指标衡量观测值及其函数的精度，结果相同。l在观测数有限的情况下，也只能得到平均误差的估值。222212)(2)(0202200222222edededfdfl定义：在一定的观测条件下，偶然误差落入对称区间（-，）中的概率为二分之一，即：三、或然误差（三、或然误差（又称概率误差）21)()(dfp显然：对于陡峭的误差曲线，给定概率值为1/2的条件下， 较小，反之则较大。所以： 也能较好地反映精度的

13、高低。或然误差与中误差的关系l令则有： , tdtdt,dtedet222222121t是服从标准正态分布的随机变量 ，根据标准正态分布概率积分表可得： 326750. 0 f()0闭合差1150%50)(p32由此可见：或然误差与中误差也存在固定的比例关系,所以作为衡量精度的指标,理论上是等价的。 同样地,由于观测值数量有限,不可能求得或然误差.实用上：将偶然误差按绝对值大小排序,n为奇数时取中间值，n为偶数时取中间两个的平均值作为的估值。由于当由于当n不大时，中误差不大时，中误差比平均误差能更灵敏的反映大比平均误差能更灵敏的反映大的真误差的影响，同时，在计的真误差的影响，同时，在计算或然误

14、差时，往往先计算中算或然误差时，往往先计算中误差，因此，世界各国通常都误差，因此，世界各国通常都采用中误差作为精度指标，我采用中误差作为精度指标，我国统一采用中误差作为衡量精国统一采用中误差作为衡量精度的指标度的指标四、极限误差四、极限误差32 或限%7 .99)33(%5 .95)22(%3 .68)(ppp由此可见：出现绝对值大于23倍中误差的偶然误差属于小概率事件。通常小概率事件在实践中被认为是不大可能发生的意义：在测量工作中，通常根据实践确定中误差的估值，而以二倍或三倍中误差作为外业成果检核的标准，超过即视为不合格。例：三角测量时以三角形闭合差超过一定限值视为不合格等五、相对误差五、相

15、对误差中误差与观测值之比，一般用中误差与观测值之比，一般用1/m表示。表示。提出：一般而言，一些与长度有关的观测值或其函数值，单纯用中误差还不能区分出精度的高低，所以常用相对误差。相对误差没有单位，测量中一般将分子化为1，即用表示。对应的，真误差、中误差、极限误差等都是绝对误差。 n1精度、准确度与精确度精度：描述观测值与真值（仅含偶然误差时即为期望）接近程度，是衡量偶然误差大小程度的指标。精度的概念也可以用于多维分布（随机向量） 方差-协方差阵准确度：又叫准度，是衡量系统误差大小程度的指标精确度：是精度和准确度的合成，反映了偶然误差和系统误差联合影响的大小程度，用均方误差表示 mse(x)=

16、e(x-x)2补充：伴随矩阵111211222212(),det( )( ,1,2, ).( )()12423431ijn nijijndefnnnnnaaaaai jnaaaaaaadj aaaaaaadj对于设为中元素 的代数余子式则称 (2.8)为 的伴随矩阵 记为如111,11,111,11,11,11,1,11,11,11,1,1,1,:ijijijjjniijijinijiijijinnn jn jnnaamaaaaaaaamaaaaaaaa 在n阶行列式中划去所在的第i行和第j列的元素,剩下的元素按原来排列的位置不变,这样形成的n-1阶行列式,称为元素 的余子式 用表示 (2.6

17、)( 1)ijijijijama 为元素的代数余子式上节重点l方差、中误差l极限误差举例水准仪观测两点高差10次，分别为：1.1223、1.1223、1.1222、1.1221、1.12241.1221、1.1222、1.1222、1.1222、1.1229（m）请判断是否存在粗差？求其中误差、极限误差（无粗差）步骤：求真值（期望值，即平均值）得到各真误差求方差、中误差按3倍中误差得到极限误差，检查真误差是否有超限，如有，剔除，重复以上步骤，直至无超限第四节 误差传播律 主要内容：主要内容：l1. 观测值线性函数的误差传播律观测值线性函数的误差传播律l2. 误差传播律在取平均值、水准测量、误差

18、传播律在取平均值、水准测量、方位角、极坐标、三角高程测量方位角、极坐标、三角高程测量误差传播中的应用误差传播中的应用线性函数的误差传播律121,n ,nkk kk观测值向量：12,1, ,tnxxnxxxxd协方差阵为11220knnzxk xk xk即：系数：01,11,1n nzk xkz是关于x的线性函数：12222222212121213131n1n-1n1,kkk2k k2k k2k k2kkzzznnnnnd即：2tzzzxxdkdk则当各观测量xi相互独立时，他们之间的协方差 ，所以12222222212kkkzzznnd对于向量对于向量x=x1，x2，xnt，将其元素间的方差、

19、协，将其元素间的方差、协方差阵表示为：方差阵表示为：22122221112212121nnnnnnnxxxxxx矩阵表示为：矩阵表示为：2212222111221nnnnnxxd方差协方差阵方差协方差阵独立观测值l测量工作中，直接测得的高度、距离、角度等一般都是独立观测值，而独立观测值的各个函数之间一般是不独立的，即它们是相关观测值例：在测站a上，已知bac=a，设无误差，而观测a1,a2的中误差12121.4,=-12协方差（秒）求角x的中误差222( 1) *1.96( 1) *1.962*( 1)*( 1)*( 1)1.92x 1.4x12xaaa协方差传播应用步骤:l（1）写函数式;l

20、（2）如果非线性，对函数式求全微分;l（3）写成矩阵式;l（4）应用协方差传播律求的方差协方差。应用1：算数平均值的中误差12 111nlxlllnnnn同精度观测n次，每次观测的中误差为222222222111xnnnnxn所以，多次测量取平均值能提高精度应用2：水准测量的误差传播律12abnhhhh两水准点间高差2+=habhabnn2222站站站站站abhss站各测站高差是等精度的独立观测值，中误差均为站1s公里站两水准点间的距离测站间的距离abhs公里注意比例关系及适用范围应用3：方位角误差传播律012*180nnn。支导线测量中，同精度独立观测n个转折角，中误差均为则第n条边的方位角

21、nn22nn所以，支站越多，误差越大应用4：极坐标误差传播律p点的点位方差22222sps纵向方差横向方差180206265常数（或表示为 ）上节重点l误差传播律的推导（需要复习，理解p14-p16）l误差传播律的应用数学期望的传播le(c)=cle(cx)=ce(x)le(x+y)=e(x)+e(y)e(x1+x2+xn)=e(x1)+e(x1)+ e(x1)l若x、y相互独立，则e(xy)=e(x)e(y)e(x1x2. xn)=e(x1)e(x2)e(xn)iniipxxe1)()( )e xxf x dx应用5：三角高程测量误差传播律三角高程测量高差tanhdiv 水平距离竖直角仪高镜

22、高（非线性函数）全微分 （对d、 ）2tansecddhddd则222222tan(sec)hdd 例题 已知某台经纬仪一测回的测角中误差为6,如果要使各测回的平均值的中误差不超过2,则至少应测多少测回？ 解：由公式得 222262xnn2222692xn答：至少应测9测回 例题水准测量中，设每站观测高差的中误差均为1cm，今要求从已知点推算待定点的高程中误差不大于5cm，问可以设多少站？解：25xn站25n 例题若要在两已知高程点间布设一条符合水准路线，如下图，已知每公里观测中误差等于5mm，欲使平差后线路中点c点高程中误差不大于10mm，问该线路长度最多可达几千米？16（提示，hc=ha+

23、h1,hc”=hb-h2,hc=(hc+hc”)/2） 例题由已知点a丈量距离s并测量方位角a，从而计算p点坐标，观测值及中误差为设a点坐标无误差，试求p的点位中误差解：0.097p127.000.03 ,30 00 2.5scmm a22222sps 例题 测量矩形面积s,设长宽a、b测量精度为求面积s的中误差？解：600.006 ,400.004amm bmm22222sbasbasabda db dab上节重点l误差传播律的应用举例（回顾计算公式）学生上台板书公式，并解释含义（有点名效果）l主要内容 介绍权的概念、意义 给出权的定义 测量中常用的定权方法第六节 权与定权的常用方法l方差是

24、衡量精度的绝对指标l权是衡量精度的相对指标，在平差中起着重要的作用l联系与区别： 权是用方差定义的，但在实际工作中，方差在平差前往往是得不到的，而权却必须根据一定条件在平差前确定。权的定义:22002:,),.,2 , 1(iiiipnil，则定义如选定任一常数它们的方差为设称为观测值li的权。权与方差成反比。2222122022202120211:1:1:nnnppp12345= 1.0= 2.0= 3.0= 4.0= 5.0公里公里公里公里公里，例: 某水准网中，各条线路的距离为s1=1.0km，s2=2.0km，s3=3.0km，s4=4.0km ，s5=5.0km各线路观测高差的中误差

25、为05=令求各线路高差对应的权01=令求各线路高差对应的权生变化。而变化，但权比不会发权的大小随一20)(，即对应一组权。选定了二20)(（三）权是衡量精度的相对指标，为了使权起到比较 精度的作用，一个问题只选一个0。（四）只要事先给定一定的条件，就可以定权。权的特点: 因此，权的意义，不在于权本身数值的因此，权的意义，不在于权本身数值的大小，而重要的是它们之间所存在的比例关系大小，而重要的是它们之间所存在的比例关系单位权中误差:000020一经选定，凡是中误差等于的观测值，其权必然等于1，或者说，权为1的观测值的中误差必然等于，因此称为单位权中误差，称为单位权方差，或方差因子202iip由权

26、的定义例题：01142=8abbaabppa以相同精度观测和，其权分别为，已知，试求单位权中误差和的中误差上节重点 权的定义 权的特点 单位权中误差测量上定权的常用方法：测量上定权的常用方法：1、水准测量的权、水准测量的权设各水准线路的测站数为设各水准线路的测站数为n1、n2、nn，各，各线路的长度为线路的长度为s1、s2、sn，第第i条水准线路的权为条水准线路的权为piiincp 若每一测站观测高差的精度相同若每一测站观测高差的精度相同，则，则iiscp 若每公里观测高差的精度相同若每公里观测高差的精度相同，则，则()ababhhns站公里；202iip2、三角高程测量的权、三角高程测量的权

27、地势较平坦时（地势较平坦时（竖直角不大于竖直角不大于5度度，d为两为两点间水平距离）点间水平距离）22hcpd注意：与水准测量的权的区别注意：与水准测量的权的区别思考：若竖直角较大，如何定权？思考：若竖直角较大，如何定权？由权的定义由权的定义222222(tan(sec)hdd 202iip3、算术平均值的权、算术平均值的权iinpc设有设有l1、l2、ln，分别是，分别是n1、n2、nn次次等精度观测等精度观测值的平均值的平均值，则观测值值，则观测值li的权为的权为()xn202iip例题例题已知：已知：各水准线路的长度为各水准线路的长度为s1=3.0km， s2=6.0km， s3=2.0

28、km， s4=1.5km，设每公里观测高差的精度相同，第设每公里观测高差的精度相同，第4条线路条线路s4观测观测高差的权为高差的权为3，试求其他各线路观测高差的权。试求其他各线路观测高差的权。例如：例如： 水准测量中，究竟用水准线路的距离水准测量中，究竟用水准线路的距离s定权，还是用测站数定权，还是用测站数n定权，要视具体定权，要视具体情况而定。一般，起伏不大的地区，每公情况而定。一般，起伏不大的地区，每公里的测站数大致相同，则可按水准线路距里的测站数大致相同，则可按水准线路距离定权；而在起伏较大的地区，每公里的离定权；而在起伏较大的地区，每公里的测站数相差较大，则按测站数定权测站数相差较大，

29、则按测站数定权应用定权方法时，注意前提条件！应用定权方法时，注意前提条件！权的单位l在确定一组同类元素的观测值的权时，所选取的单在确定一组同类元素的观测值的权时，所选取的单位权中误差的单位，一般是与观测值中误差的单位位权中误差的单位，一般是与观测值中误差的单位相同的，由于权是单位权中误差平方与观测值中误相同的，由于权是单位权中误差平方与观测值中误差平方之比，所以，差平方之比，所以，权一般是一组无量纲的数值，权一般是一组无量纲的数值，也就是说，在这种情况下权是没有单位的。也就是说，在这种情况下权是没有单位的。l但如果需要确定权的观测值（或它们的函数）包含但如果需要确定权的观测值（或它们的函数）包

30、含有两种以上的不同类型元素时，情况就不同了。有两种以上的不同类型元素时，情况就不同了。例如：l 若选取的单位权中误差的单位是秒，即与角度观测若选取的单位权中误差的单位是秒，即与角度观测值之中误差单位相同，那么，各个角度观测值的权是值之中误差单位相同，那么，各个角度观测值的权是无量纲（或无单位）的；无量纲（或无单位）的；l 而长度观测值的权的量纲则为而长度观测值的权的量纲则为“秒秒2 2/mm/mm2 2”。l 这种情况在平差计算中是常常会遇到的。这种情况在平差计算中是常常会遇到的。思考题：如图所示： 1、2、3三点为已知高等级水准点，误差不计，为求p点高程，独立观测了三段水准路线的高差求p点高

31、程及其中误差（设每测站高差观测中误差 ）站（提示：分别求算术平均值、加权平均值，并比较分析）在不同精度独立观测情况下，加权平均值是最可靠值。也就是说，不同精度独立观测量的加权平均值的中误差最小。 算术平均值是加权平均值在各观测量的权相等时的特例（即等精度）结论： 123n123n1 12 2n12n00, ,=()wnwll l llp pplllllppp设观测量其权分别为p则加权平均值pppppp其中误差为为单位权中误差第七节第七节 协因数与协因数传播律协因数与协因数传播律一、协因数与协因数阵一、协因数与协因数阵2222022020,:111ijijijiiiijjjjjiijil lqpqpqp设的方差为协方差为令iiiql为 的协因数(权倒数)。的协因数。为jjjlq或相关权倒数。的协因数关于为jiijllqijjijjjiiiqqq20202202变换形式为：nnnnnnnnnnnxxqqqqqqqqqd212222111211202212222111221不难得出：qxx为协因数阵为协因数阵xxxxqd20特点：特点：i 对称对称 ii 各观测量互不相关时，