第三章流体运动学

1、 流体运动学用几何的观点来研究流体的运流体运动学用几何的观点来研究流体的运动，暂不涉及力。动，暂不涉及力。主要内容：主要内容：4.4.建立连续性方程建立连续性方程第三章第三章 流体运动学流体运动学1.介绍研究流体运动的两种方法介绍研究流体运动的两种方法2.用这两种方法来表达流体质点的运动用这两种方法来表达流体质点的运动3.介绍流线、迹线、速度环量等基本概念介绍流线、迹线、速度环量等基本概念课堂提问：流体运动与刚体运动有什么差别？课堂提问：流体运动与刚体运动有什么差别？6.6.用分析的方法将流体运动速度分解为平移用分析的方法将流体运动速度分解为平移变形速度以及旋转角速度；建立旋涡运动与无变形速度

2、以及旋转角速度；建立旋涡运动与无旋运动的概念并引入速度势函数。旋运动的概念并引入速度势函数。3-1 3-1 研究流体运动的两种方法研究流体运动的两种方法流体质点流体质点(particle)(particle)体积很小的流体微团体积很小的流体微团5. 引入流函数的概念引入流函数的概念两个基本概念：两个基本概念：流体就是由这种流体微团连续组成的。流体就是由这种流体微团连续组成的。 流体微团在运动的过程中，在不同的瞬流体微团在运动的过程中，在不同的瞬时，占据不同的空间位置。时，占据不同的空间位置。空间点空间点: : 空间点仅仅是表示空间位置的几何空间点仅仅是表示空间位置的几何点，并非实际的流体微团。

3、空间点是不动的，点，并非实际的流体微团。空间点是不动的，而流体微团则动。同一空间点，在某一瞬时为而流体微团则动。同一空间点，在某一瞬时为某一流体微团所占据，在另一瞬时又为另一新某一流体微团所占据，在另一瞬时又为另一新的流体团所占据。也就是说，在连续流动过程的流体团所占据。也就是说，在连续流动过程中，同一空间点先后为不同的流体微团所经过中，同一空间点先后为不同的流体微团所经过研究流体运动的两种方法研究流体运动的两种方法一、拉格朗日（一、拉格朗日（Lagrange)Lagrange)法（质点法）法（质点法） 设任意时刻，任意流体质点的空间坐标为设任意时刻，任意流体质点的空间坐标为, ,z,z，则以

4、，则以a,b,ca,b,c标认的流体质点在时刻标认的流体质点在时刻所对应的位置所对应的位置, x,y,z, x,y,z应该是应该是a,b,ca,b,c和时间的和时间的函数，即函数，即 始终跟随每一个流体质点，研究其在运动过程始终跟随每一个流体质点，研究其在运动过程中的位置、有关物理量（速度、压力、密度等）中的位置、有关物理量（速度、压力、密度等）的变化规律。的变化规律。拉格朗日变量：拉格朗日变量：（，）（，）（，）（，）（，）（，）思考题：思考题：1. 1. 当，为常数时，代表一个流当，为常数时，代表一个流 体质点随时间的变化？还是代表一群流体质点随时间的变化？还是代表一群流 体质点随时间的变

5、化？体质点随时间的变化？2220(, )a b c t1110(, )a b c t2.2.若若t t为常数时又代表什么情况？为常数时又代表什么情况？其速度和加速其速度和加速 度度(accleration)(accleration)为：为：(,)(,)(,)xxyyzzd xvvabctd td yvvabctd td zvvabctd t222222(,)(,)(,)xxyyzzdxaaabctd tdyaaabctd tdzaaabctd t二、欧拉法二、欧拉法(Euler)(Euler)（空间点法）（空间点法） 欧拉法不跟踪流体质点，而着眼于选定的欧拉法不跟踪流体质点，而着眼于选定的空间

6、点，空间点在不同的时刻为不同的流体质空间点，空间点在不同的时刻为不同的流体质点所占据。研究与流动有关的物理量。流动物点所占据。研究与流动有关的物理量。流动物理量是空间坐标，以及时间的函数。理量是空间坐标，以及时间的函数。 例如流体质点的速度例如流体质点的速度(velocity)(velocity)、压力、压力(pressure)(pressure)和密度和密度(density)(density)可表示成欧拉变可表示成欧拉变量如下量如下: :xx（，）（，）yy（，）（，）zz（，）（，） （，）（，） （，）（，）A( , , , )V x y z t(,)xyzV xV dt yV dt z

7、V dt tdtB ：单位时间内流体质点：单位时间内流体质点 的速度变化率：的速度变化率：加速度加速度(accleration)(accleration)0(,)( , , , )limtV xx yy zttV x y z tat xyzuuVVVVtyzux()DVVaVVDtt加速度的矢量试加速度的矢量试: :VVVVtxdxdydzdtdtdtyzDVDt从而欧拉法表示的加速度在直角坐标系中为：从而欧拉法表示的加速度在直角坐标系中为：xxxxxxxyzdvvvvvavvvdttxyzyyyyyyxyzdvvvvvavvvdttxyzzzzzzzxyzdvvvvvavvvdttxyz)

8、:) :变位导数变位导数xxxxyzvvvvvvxyzxvt1 1） : : 局部导数，在固定空间点处，局部导数，在固定空间点处， v vx x随时随时间变化而引起的加速度间变化而引起的加速度, ,又叫又叫“局部加速度局部加速度”。 它是在同一时间，在空间不同点处速度不同它是在同一时间，在空间不同点处速度不同而引起的加速度，又叫而引起的加速度，又叫“对流加速度对流加速度”。讨论问题：讨论问题：1)1)什么情况下只有局部加速度？什么情况下只有局部加速度？ABAB2.2.什么情况下只有位移加速度？什么情况下只有位移加速度？3.3.什么情况下两部分加速度都有？什么情况下两部分加速度都有？4. :4.

9、 :称为流体的质点导数称为流体的质点导数()DDt流体的其它物理量都可以写为质点导数的形式流体的其它物理量都可以写为质点导数的形式: :例如例如: :xyzDVVVDttxxx0yxzvvvpttttt- - 几个基本概念几个基本概念一、定常运动与非定常运动一、定常运动与非定常运动1. 1. 定常流动定常流动(steady flow)(steady flow) 在任意固定空间点处，所有物理量均不随时在任意固定空间点处，所有物理量均不随时间而变化的流动。即有间而变化的流动。即有2.2.非定常非定常(non-steady flow)(non-steady flow)在流场某点处有物理量随时间变化在

10、流场某点处有物理量随时间变化. .定常运动与坐标的选取有关定常运动与坐标的选取有关二、轨迹线二、轨迹线(path line)(path line)1.1.定义：连续时间内流体质点在空间经过的曲定义：连续时间内流体质点在空间经过的曲线称为轨迹线。它的着眼点是个别流体质点，线称为轨迹线。它的着眼点是个别流体质点，因此它是与拉格朗日法相联系的。因此它是与拉格朗日法相联系的。2. 2. 特点：轨迹线上各点的切线方向表示的是同特点：轨迹线上各点的切线方向表示的是同 一流体质点在不同时刻的速度方向。一流体质点在不同时刻的速度方向。( , , , )( , , , )( , , , )xyzdxdydzdt

11、vx y z tvx y z tv x y z txyzd xd yd zd tuuu3. 3. 轨迹线的方程式轨迹线的方程式 ： 一条迹线：一个流体质点在一段时间内描一条迹线：一个流体质点在一段时间内描述的路径。述的路径。给定速度分布积分上式可得迹线方程。给定速度分布积分上式可得迹线方程。t3t4AAAAAAt1t2t5ts三、流线三、流线(stream line)(stream line) 定义：流场中这样一条连续光滑曲线：它上定义：流场中这样一条连续光滑曲线：它上 面每一点的切线方向与该点的速度矢面每一点的切线方向与该点的速度矢 量方向重合。量方向重合。 abcaVbVcV流线流线t1a

12、bcaVbVcVaat1+ tt1+ 2t质点质点a的轨迹的轨迹t=tt=t1 1的流线的流线2. 2. 流线特点流线特点 流线上各点的切线方向所表示的是在同一时流线上各点的切线方向所表示的是在同一时 刻流场中这些点上的速度方向，因而流线形刻流场中这些点上的速度方向，因而流线形 状一般都随时间而变。状一般都随时间而变。 定常运动，流线的形状，不随时间变化，流定常运动，流线的形状，不随时间变化，流 体质点沿流线前进，流线与轨迹线重合。体质点沿流线前进，流线与轨迹线重合。 流线一般不相交流线一般不相交 流线不转折，为光滑曲线。流线不转折，为光滑曲线。 ( , , , )( , , , )( , ,

13、 , )xyzdxdydzv x y z tvx y z tv x y z t3. 3. 流线的微分方程流线的微分方程 上述可组成一微分方程组，给定速度分布积上述可组成一微分方程组，给定速度分布积分可得一族流线，确定积分常数后可得一条流分可得一族流线，确定积分常数后可得一条流线。线。 注意：积分时时间作为参量。注意：积分时时间作为参量。试求：试求：（）时刻流体质点的分布规律；（）时刻流体质点的分布规律；（），时这个质点的运动规律；（），时这个质点的运动规律；（）流体质点的加速度；（）流体质点的加速度；（）欧拉变数下的速度与加速度。（）欧拉变数下的速度与加速度。例例3.13.1已知拉格朗日变数下

14、的速度表达式为：已知拉格朗日变数下的速度表达式为： v vx x=(a+1)e=(a+1)et t-1 v-1 vy y=(b+1)e=(b+1)et t-1-1、为时流体质点所在位置的坐标。、为时流体质点所在位置的坐标。注意到在注意到在t=0t=0时，时，x=ax=a、y=by=b，即有，即有(1 )1txd xvaed t(1 )1tyd yvbed t解解（1 1）1(1)aaC2b = ( b + 1 )CC C1 1=-1 C=-1 C2 2=-1=-1进一步求得流体质点的一般运动规律为进一步求得流体质点的一般运动规律为: :(1)1txaet (1)1tybet 1(1)txaet

15、C2(1)tybetCt=2t=2时流体质点的分布规律时流体质点的分布规律: :2(1)3xae2(1)3ybe21txet31tyet（2 2）a=1a=1，b=2b=2的特定流体质点，其运动规律为：的特定流体质点，其运动规律为：（）质点的加速度为（）质点的加速度为: :21txet(1)(1)txxytydvaaedtdvabedt（4 4）由质点一般运动规律）由质点一般运动规律(1)1txaet(1)1tybet则拉格朗日变数与的表达式为则拉格朗日变数与的表达式为 (1)1tbytet(1)1taxtet 代入所给的拉格朗日变数下的速度表达式，代入所给的拉格朗日变数下的速度表达式，可求得

16、在欧拉变数下的速度表达式为可求得在欧拉变数下的速度表达式为(1)1txvaex t (1)1tyvbey t 1xxxxxxyzvvvvavvvxttxyz 1yyyyyxyzvvvvavvvyttxyz 可进一步求得欧拉变数下的加速度为：可进一步求得欧拉变数下的加速度为：例例 3.6 3.6 已知流场的速度分布为已知流场的速度分布为 x xx+tx+t， y y-y+t-y+t（）（）1 1，过点，过点（1, 2）的加速度。的加速度。解：（解：（1 1）轨迹线微分方程为）轨迹线微分方程为: :试求：试求：（）（）0 0，过点（，过点（-1,-1-1,-1）的迹线；）的迹线；（）（）0 0，过

17、点（，过点（1,21,2）的迹线；）的迹线；（），过点（），过点（-1-1，-1-1）的流线；）的流线；d xxtd td yytd t 将将t t0 0，x=-1x=-1，y=-1y=-1代入上式得代入上式得1 10 0 2 20 0此非齐次常系数线性微分方程组的通解为此非齐次常系数线性微分方程组的通解为1 1t t- - - 2 2-t-t+ +- -故经过点故经过点(-1,-1)(-1,-1)的轨迹线方程为的轨迹线方程为: : = -= -1 -1 = =-1-1消去消去t t后得后得: x + y = -: x + y = -为一条过点为一条过点(-1,-1)(-1,-1)的直线。的直

18、线。（）（） 将将0 0，代入通解得，代入通解得: : C C1 1 C C2 2故过点（故过点（1 1，2 2）的轨迹线方程为）的轨迹线方程为: : 2e2et t- - - 3e3e-t-t+t-1+t-1（）流线微分方程为（）流线微分方程为: :d xd yxtyt积分后得积分后得: ln: ln（x+tx+t）=-ln=-ln（-y+t-y+t）+C +C 或为或为 (x+t)(x+t)（-y+t-y+t）= =代入代入t=0t=0，=-=-，=-1=-1得得=-1 =-1 则过点则过点(-1,-1)(-1,-1)的流线方程为的流线方程为 y=1y=1yyyyxyvvvavvtxyxx

19、xxxyvvvavvtxy（）加速度公式为（）加速度公式为所以所以a ax x=1+=1+（x+tx+t）（y+ty+t）s s2 2a ay y=1+=1+（ x+t x+t ）（ y+t y+t ）4m4ms s2 2例例3.7 3.7 以以LagrangeLagrange变数（变数（a a，b b，c c）给出流体的）给出流体的运动规律为：运动规律为：aeae-2t-2t b b（1+t1+t）2 2 z=ce z=ce2t2t（1+t1+t）-2 -2 求：求：（）流体的速度场；（）流体的速度场；（）过点（）过点（1,1,11,1,1）的流线；）的流线；（）过点（）过点（1,1,11,

20、1,1）的迹线；）的迹线；（）流动是否定常？（）流动是否定常？四、流管和流量四、流管和流量(flowrate)(flowrate)（1 1）流管）流管：设某一瞬时，流场中任封闭曲线：设某一瞬时，流场中任封闭曲线C C （不是流线），经过曲线（不是流线），经过曲线C C的每一点的每一点 作出该瞬时的流线，这些流线的组作出该瞬时的流线，这些流线的组 合形成一个管状的表面。合形成一个管状的表面。QdQud（2 2）流量）流量：流管的垂直截面，叫：流管的垂直截面，叫“过流断面过流断面” 其面积记为其面积记为，单位时间内通过过，单位时间内通过过 水断面的体积，称为水断面的体积，称为体积流量体积流量 (v

21、olumetricflowrate)(volumetricflowrate)udQU（3 3）平均流速）平均流速 这是人为定义的一个速度，实际流动中过流这是人为定义的一个速度，实际流动中过流断面上各点的流速是不相等的。断面上各点的流速是不相等的。 条纹线是曾经在不同时刻流过流场中同一条纹线是曾经在不同时刻流过流场中同一点的各流体质点轨迹线的端点的连线。点的各流体质点轨迹线的端点的连线。 （4）条纹线）条纹线 条纹线是曾经在不同时刻流过流场中同一条纹线是曾经在不同时刻流过流场中同一点的各流体质点轨迹线的端点的连线。点的各流体质点轨迹线的端点的连线。 五五 条纹线条纹线一维，二维与三维流动一维，二

22、维与三维流动1. 1. 流动维数的确定流动维数的确定：三维流动三维流动: : 速度场必须表示为三个方向坐标的函数速度场必须表示为三个方向坐标的函数 v v= =v v ( ( x, y, z, tx, y, z, t) ) 二维流动二维流动: : 速度场简化为二个空间坐标的函数速度场简化为二个空间坐标的函数 v=v ( x, y, t) v=v ( x, y, t) 或或 v=v ( r, z, t)v=v ( r, z, t) 一维流动一维流动: : 速度场可表示为一个方向坐标的函数速度场可表示为一个方向坐标的函数 v=v( x ) v=v( x ) 或或 v=v ( s )v=v ( s

23、)2. 2. 常用的流动简化形式：常用的流动简化形式：(1) (1) 二维流动：二维流动：平面流动平面流动轴对称流动轴对称流动(2) (2) 一维流动：一维流动： 质点沿曲线的流动质点沿曲线的流动 v=v ( s )v=v ( s )流体沿管道的平均速度流体沿管道的平均速度 v=v ( s )- -连续性方程式（连续性方程式（equation of continuity)equation of continuity)一、一元流动一、一元流动（one dimensional flowone dimensional flow）的连续性的连续性 方程式方程式对于定常流动对于定常流动(steady f

24、low)(steady flow)111222UU即即.Uconst 对于对于不可压缩流体不可压缩流体(incompressible fluid)(incompressible fluid)：1122.UUUconst或或截面积小的地方流速大，截面积大的地方流速小。截面积小的地方流速大，截面积大的地方流速小。对于低速气流可视为不可压缩流体。对于低速气流可视为不可压缩流体。二、空间运动的连续性方程式二、空间运动的连续性方程式()xxxVV dydzVdx dydzx以以 x方向为例方向为例()yyyVV dxdzVdy dxdzy()zzzVV dxdyVdz dxdyz同理同理xV()xxVV

25、dxxyxzdydzdxA(x,y,z)单位时间内单位时间内密度的变化密度的变化引起引起质量的增量质量的增量:dxdydzt()()()0yxzvvvxyzt化简后得化简后得:()0divvt矢量试矢量试()()()0yxzvvvxyz定常流动定常流动()0Vt或或不可压缩流体不可压缩流体连续性方程为连续性方程为0yxzVVVxyz0divV 矢量式矢量式0V 或或 不可压缩流体，速度分量沿各自坐标轴的变不可压缩流体，速度分量沿各自坐标轴的变化率互相约束，不能随意变化。在流动过程中化率互相约束，不能随意变化。在流动过程中形状虽然有变化，但体积却保持不变（体积膨形状虽然有变化，但体积却保持不变（

26、体积膨胀率为零）。胀率为零）。三、平面极坐标系中的连续方程三、平面极坐标系中的连续方程()()110rvv rtrrr不可压缩流体不可压缩流体=const=const式中式中为径向速度，为径向速度，为圆周切向速度。为圆周切向速度。()110rvv rrrr定常流动定常流动()()()110rzvv rvtrrrz22()( sin)()1110sinsinRvvR vtRRRR四、柱面坐标系中的连续方程四、柱面坐标系中的连续方程 、是柱坐标，是柱坐标，轴上，轴上的速度分量。的速度分量。五、球面坐标系中的连续方程五、球面坐标系中的连续方程 ，是速度在球坐标，是速度在球坐标，轴上的分量。轴上的分量

27、。六、积分形式的连续性方程六、积分形式的连续性方程流场中取一任意形状的流场中取一任意形状的控制体控制体，其边界面为，其边界面为控制面控制面。单位时间内经过边界单位时间内经过边界流流入控制体入控制体内的净质量为内的净质量为: :()vn d讨论：讨论：1. 1. 上式积分结果若大于零的含义？上式积分结果若大于零的含义？2.2.上式积分结果若小于零、等于零的含义？上式积分结果若小于零、等于零的含义？d曲面曲面所围体积所围体积内的流体质量为内的流体质量为: : 由于由于内流体既不产生也不消失，根据质量内流体既不产生也不消失，根据质量守恒定律，单位时间内流入守恒定律，单位时间内流入 面的净质量与体积面

28、的净质量与体积内的质量变化率应相等，即内的质量变化率应相等，即dt ()vnd将上式移项得将上式移项得()0dv ndt (3-31)(3-31)欧拉型连续方程式的积分式欧拉型连续方程式的积分式物理意义物理意义：单位时间内控制体内流体质量的增减：单位时间内控制体内流体质量的增减等于同一时间内进出控制面的流体质量净的通量等于同一时间内进出控制面的流体质量净的通量(3-31)(3-31)左端第项使用高斯定理，将其面积分变左端第项使用高斯定理，将其面积分变为体积分得：为体积分得：()()()()yxzvvvvnddxyzddtt又将左端第一项的微分符号移入积分号内得：又将左端第一项的微分符号移入积分

29、号内得：()()()0yxzvvvdtxyz将上述结果代入得：将上述结果代入得：因积分域因积分域为流场中任取的控制体，故必有：为流场中任取的控制体，故必有：()()()0yxzvvvtxyz欧拉型连续方程的微分式欧拉型连续方程的微分式流体无论是可与否，理想，还是粘性流体，定常流体无论是可与否，理想，还是粘性流体，定常还是非定常流动均适用。还是非定常流动均适用。- -流体微团运动的分析流体微团运动的分析流体微团的运动形态：流体微团的运动形态：平移平移旋转旋转变形变形线变形线变形角变形角变形线变形线变形 平移平移 转动转动角变形角变形平面流动平面流动平移平移 转动转动 线变形线变形 角变形角变形瞬

30、时边长为瞬时边长为dx,dy,dzdx,dy,dz的平行六面体流体微团的平行六面体流体微团1yVyVyxzdydzdxMxVzV1xV1zVM1yxdydxxxVVdyyyyVVdyyyyyVVVdxdyxyxxxVVVdxdyxyxVyVxxVVdxxyyVVdxx 顶点顶点（x xdxdx，y ydydy，z zdzdz）处速度）处速度分量用泰劳级数展开，略去二阶以上小量得分量用泰劳级数展开，略去二阶以上小量得: :111xxxxxyyyyyzzzzzVVVVVdxdydzxyzVVVVVdxdydzxyzVVVVVdxdydzxyz（3-33）以第一式为例，方程右边作如下变换：以第一式为

31、例，方程右边作如下变换：1xxxxxVVVVVdxdydzxyzzyVdyxVdzx整理得：整理得：同理第二，三方程作变换得：同理第二，三方程作变换得：111()()2211()()22xxxyxxxxyzzVVVVVdxdzdyxzyVVdydzyVVxVxzVxx1xyzzxxyvvdxdzedydydz1yzxxyyzvvdydxedzdzdx1zxyyzzxvvdzdyedxdxdy（3-35）1xyzzxxyvvdxdzedydydz（3-34）xxvexyyveyzzvez1()2yzxvvyz1()2xzyvvzx1()2yxzvvxy1()2yzxvvyz1()2xzyvvzx

32、1()2yxzvvxy其中：其中： 各项的物理意义各项的物理意义1 1）x,x, ,y y、, ,z z的意义的意义 xvdxx：点相对于点在：点相对于点在向的相对速度向的相对速度ByVdxdtxxVdxdtxdydxACDDCB六面体在xoy 平面的投影 上述两项使微团在与方向产生线变形上述两项使微团在与方向产生线变形yvdyy:点相对于点在向的相对速度点相对于点在向的相对速度dtdt内使向右移动的内使向右移动的距离为距离为xvdxdtxyvdydtydtdt内使内使D D向上移动的向上移动的距离为距离为（1 1） ：代表流体微团沿方向的应变率：代表流体微团沿方向的应变率xxvex即方向单位

33、长度线段的伸长或缩短变形速度即方向单位长度线段的伸长或缩短变形速度yVdxdtxxVdxdtxdydxACDDCB六面体在xoy 平面的投影B同理可知另外两个量的物理意义同理可知另外两个量的物理意义yyvey（2 2） : : 方向的应变率方向的应变率zzvez（3 3） : : 方向的应变率方向的应变率xvdyy : :向速度分量在向速度分量在DCDC 和和ABAB层间的速度差。层间的速度差。yvdxx ：向速度分量在：向速度分量在B B C C和和ADAD层层间间的速度差。的速度差。速度差使相邻两层流体产生剪切变形速度差使相邻两层流体产生剪切变形1yyvdxdtvxddtdxxAB在在dt

34、dt内转动的角度为内转动的角度为:2)2)x x , ,y y , ,z z的物理意义的物理意义1yvddtx单位时间内单位时间内AB边的转角为边的转角为DxVdxdtxyVdxdtxdydxACDCBBd2d1同理，同理，ADAD在在dtdt内转角为：内转角为：2xxvdydtvyddtdyy单位时间内单位时间内ADAD边的转角为边的转角为2xdvdty1211()()22yxvddvddtdtdtxy所以所以1()2yxzvvxy : : 流体微团在平面内剪切变形流体微团在平面内剪切变形 的平均角速度，或称剪切应变率。的平均角速度，或称剪切应变率。同理可证另外两个量的物理意义，有：同理可证

35、另外两个量的物理意义，有：1()2yxzvvxy（1 1） ：流体微团在：流体微团在xyxy平面内剪切变形平面内剪切变形 的平均角速度，或称剪切应变率。的平均角速度，或称剪切应变率。1()2yzxvvyz（2 2） ：yzyz平面上剪切应变率平面上剪切应变率1()2xzyvvzx（3 3） ：xzxz平面上剪切应变率平面上剪切应变率1211()()22yxvvdddtxy流体微团的平均旋转角速度流体微团的平均旋转角速度: :单位时间内单位时间内AEAE的旋的旋 转角度。转角度。设设dtdt时间内旋转时间内旋转dd3 3） 的物理意义的物理意义,yzz0012190()452ddddDxVdxd

36、txyVdxdtxdydxACDCBBd2d1EEdaAE:AE:流体微团角平分线流体微团角平分线1()2yxvvddtxy微团角分线的旋转角速度为：微团角分线的旋转角速度为：由此可知：由此可知：1()2yxzvvxy 代表流体微团绕过点并平行于轴的轴代表流体微团绕过点并平行于轴的轴线旋转的平均角速度。线旋转的平均角速度。DxVdxdtxyVdxdtxdydxACDCBBd2d1EEda同理得另外两个量的物理意义，三个方向有：同理得另外两个量的物理意义，三个方向有：1()2yxzvvxy（1 1） : :流体微团绕点并平行于流体微团绕点并平行于轴轴的轴线旋转的平均角速度。的轴线旋转的平均角速度

37、。1()2yzxvvyz（2 2） : :流体微团绕点平行于轴的流体微团绕点平行于轴的轴线旋转的平均角速度。轴线旋转的平均角速度。1()2xzyvvzx（3 3） : :流体微团绕点平行于轴的轴流体微团绕点平行于轴的轴线旋转的平均角速度。线旋转的平均角速度。2Rotv 流体微团绕过点平行于轴的轴线旋转流体微团绕过点平行于轴的轴线旋转的平均角速度。的平均角速度。1122xyzijkRotvv其矢量形式其矢量形式速度向量的旋度，表示微团旋转的程度。速度向量的旋度，表示微团旋转的程度。流体微团的运动由如下三部分：流体微团的运动由如下三部分： 线变形使六面体微团体积扩大或缩小，角变线变形使六面体微团体

38、积扩大或缩小，角变形使六面体微团的形状改变。形使六面体微团的形状改变。平移运动平移运动：速度为（：速度为（v vx x，v vy y，v vz z）；）；旋转运动旋转运动：角速度为（：角速度为（x x，y y，z z）；）；变形运动变形运动：线变形速度（：线变形速度（x x、y y、 z z ）和角）和角 变形速度为（变形速度为（x x，y y，z z ） 的剪的剪 切变形运动。切变形运动。平面流动平面流动平移平移 转动转动 线变形线变形 角变形角变形2221()2xyzzxye dxe dye dzdxdydydzdzdx11122vvRotvdrSdrvRotvdrgrad 将线变形速度将

39、线变形速度x x、y y、z z和角变形速度和角变形速度x x，y y，z z写成一个标量函数：写成一个标量函数：海姆霍兹速度分解定理可写成海姆霍兹速度分解定理可写成0- -旋涡运动与无旋运动旋涡运动与无旋运动旋涡运动（有旋运动）：流体微团有绕着穿过自旋涡运动（有旋运动）：流体微团有绕着穿过自身轴的转动，转动角速度。身轴的转动，转动角速度。无旋运动：流体微团除平移和变形以外，本身无旋运动：流体微团除平移和变形以外，本身 没有旋转，这时转动角速度为零，没有旋转，这时转动角速度为零，xyz例例3.2 3.2 假设流线均为水平直线的均匀流动，速假设流线均为水平直线的均匀流动，速度分布为度分布为x x

40、0 0，y y。很易验证很易验证x xy yz z，无旋运动，无旋运动. .例例3.3 3.3 平行剪切流动。流场平行剪切流动。流场具有抛物线规律的速度分布具有抛物线规律的速度分布20(2)xvyvyhh容易验证容易验证 x xy y=0 =0 0(1)0zvyh h为有旋运动。为有旋运动。U0012yxUmaxh12ysinxyVVryr 例例3.4 3.4 流体像刚体一样转动，流线是同心圆，流体像刚体一样转动，流线是同心圆， 流场各点速度与流场各点速度与r r成正比，成正比，V=r(=const.V=r(=const.切向速度切向速度，在，在,y,y方向的投影为方向的投影为旋转角速度公式即

41、可证得旋转角速度公式即可证得 x xy y1()02yxzvvxy cosyyVVrxr 运动有旋，每个流体微团作圆周运动的过程运动有旋，每个流体微团作圆周运动的过程中也以角速度中也以角速度自转自转, ,微团的分角线和整个十字微团的分角线和整个十字架固连在一起，以角速度架固连在一起，以角速度绕穿过十字架中心绕穿过十字架中心的轴而转动。的轴而转动。vx0yxU=r r v vy22sin22xVVyr ryxy 例例3.5 3.5 流体微团作圆周运动，速度与半径成流体微团作圆周运动，速度与半径成 反比反比, , 如流体中存在旋风中心，会带动如流体中存在旋风中心，会带动 周围流体运动。周围流体运动

42、。2 r流体微团切向速度在轴上投影为：流体微团切向速度在轴上投影为：xvx0yr v vy2Vr可以验证可以验证 同理：同理：22cos22yxxVVr rxy可见这种流动是无旋运动。可见这种流动是无旋运动。1() 02yzxvvyz1() 02xzyvvzx1() 02yxzvvxy3-6 3-6 速度势函数与流函数速度势函数与流函数一、速度势函数一、速度势函数无旋运动无旋运动: :1() 02yzxvvyz1() 02xzyvvzx1() 02yxzvvxyxyzdV dxV dyV dz 正好是微分正好是微分 为某个函数为某个函数的全微分的充分必要条件：的全微分的充分必要条件：xyzV

43、dxV dyV dz称为速度势函数称为速度势函数可得可得: :,yzvvyz,xzvvzx,yxvvxy势流势流：存在速度势函数的流动：存在速度势函数的流动, ,也称为势流。也称为势流。对速度势对速度势求偏导数就可得到速度。求偏导数就可得到速度。速度势函数与速度之间关系速度势函数与速度之间关系: :xyzdV dxV dyV dzdxdydzxyz比较两式可得比较两式可得xyzVVVxyz()()()0 xxyyzz代入连续性方程可得代入连续性方程可得: :即即2222220 xyz称为拉普拉斯方程称为拉普拉斯方程 求解求解拉普拉斯方程拉普拉斯方程 得到速度势函数得到速度势函数 由速度势函数与

44、速度的关系式由速度势函数与速度的关系式求出速度。求出速度。二、流函数二、流函数流函数存在的条件：流函数存在的条件：只要是连续的平面流动，只要是连续的平面流动，不不一定无旋，就存在流函数，一定无旋，就存在流函数，还有一些流动也存还有一些流动也存在在流函数，如可压缩流体平面运动，不可压缩流流函数，如可压缩流体平面运动，不可压缩流体体的空间轴对称流等。的空间轴对称流等。（）流函数和流线的关系。（）流函数和流线的关系。constconst的曲线的曲线和流线重合。和流线重合。流函数的性质：流函数的性质：平面运动的流线方程式为平面运动的流线方程式为xyd xd yvv或写成或写成 y ydxdxx xdy

45、=dy=即即 积分后便得积分后便得 constconst将将与速度的关系式代入上式得：与速度的关系式代入上式得：0dxdyxy即即constconst为流线方程的解。因此为流线方程的解。因此constconst的的曲线和流线重合。曲线和流线重合。注意：流函数是由连续性方程引入和定义的，而注意：流函数是由连续性方程引入和定义的，而流线是按速度矢量的方向来定义。任何情况下都流线是按速度矢量的方向来定义。任何情况下都存在流线，但流函数只在少数几种情况（平面流存在流线，但流函数只在少数几种情况（平面流动，空间轴对称流动等）才存在。动，空间轴对称流动等）才存在。 通过任意两条流线之间通过任意两条流线之间

46、( (流管流管) )的流量等于的流量等于此两流线的流函数之差值。此两流线的流函数之差值。（）流函数和流量的关系（）流函数和流量的关系BBBBAAAAQdQVdnd则则B B和和A A: :相距为有相距为有限距离的两条流线限距离的两条流线 即通过两流线间的流量等于此两流线的流即通过两流线间的流量等于此两流线的流函数之差值。函数之差值。证明：证明：BBBAAAdydxdyx()BBBAAAxyVQdQVdndyxV d（）流函数和速度势的关系（）流函数和速度势的关系 对于平面无旋运动，速度势和流函数就同时存对于平面无旋运动，速度势和流函数就同时存在。它们之间的关系可通过速度投影得到。在。它们之间的

47、关系可通过速度投影得到。此关系式在数学中称为哥西此关系式在数学中称为哥西黎曼条件，若知道黎曼条件，若知道和和中之一，就可通过积分求出另一个。中之一，就可通过积分求出另一个。等流函数线：等流函数线：constconst的曲线（与流线重合）的曲线（与流线重合）xyVVxyyx 等势线：等势线：constconst曲线曲线等势线和流线互相垂直等势线和流线互相垂直在在constconst曲线上任取一微元弧长（曲线上任取一微元弧长（dxdx，dydy）(,) (,)0 xyxyddxdyv dyv dxxyvvdx dyv ds即等势线与速度垂直即等势线与速度垂直 另一方面，流线与速度平行，则等势另一方

48、面，流线与速度平行，则等势线与流线互相垂直，即线与流线互相垂直，即1 12 2，证明：证明：因此因此，即，即=const.=const.（）无旋流动，流函数也满足拉普拉斯方程式（）无旋流动，流函数也满足拉普拉斯方程式1()02yxzvvxy 若所研究的是平面无旋运动，则若所研究的是平面无旋运动，则()()0 xxyy将速度与流函数之关系代入上式，有：将速度与流函数之关系代入上式，有：22220 xy即：即： 说明平面势流中流函数和速度势同时满足拉说明平面势流中流函数和速度势同时满足拉普拉斯方程。普拉斯方程。222txxva ext22(1)1yyyvbttt22122(1)(1) 1tzzztvcetttt解解 （1 1）流体的速度场为）流体的速度