九年级数学上册旋转几何综合易错题(Word版含答案)

1、九年级数学上册旋转几何综合易错题（Wed版含答案）一、初三数学旋转易错题压轴题（难）1.直线点A、B分别在直线m, n （点A在点B的右侧），点P在直线mtAP=-AB,连接BP,将线段BP绕点B顺时针旋转60。得到BC,连接AC交直线n于点E, 3连接PC,且aABE为等边三角形.请直接写出ZABP与ZEBC的数量关系是（1）如图，当点P在A的右侧时，与EC的数疑关系是.（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若（2）如图，当点P在A的左侧时，不成立，请说明理由.（3）如图，当点P在A的左侧时,若APBC的而积为也，求线段AC的长.图图【答案】(1)ZABP=ZEBC, AP=EC； (

2、2)成立，见解析：字【解析】【分析】AB=BE,根据旋转的性质得到ZCBP =（1）根据等边三角形的性质得到ZABE = 60% 60。，BC=BP，根据全等三角形的性质得到结论：（2）根据等边三角形的性质得到ZABE = 60, AB = BE,根据旋转的性质得到ZCBP =60。，BC=BP,根据全等三角形的性质得到结论：（3）过点C作CD丄m于D,根据旋转的性质得到APBC是等边三角形，求得PC = 3,设 AP=CE=t,则AB=AE=3t,得到AC = 2t，根据平行线的性质得到ZCAD= ZAEB=60, 解直角三角形即可得到结论.【详解】解：（1） V AABE是等边三角形，AZ

3、ABE = 60, AB=BE,丁将线段BP绕点B顺时针旋转60。得到BC,AZCBP = 60, BC = BP, ZABP=60 - ZPBE, ZCBE = 60 - ZPBE,即 ZABP=ZEBC,AAABPAEBC （SAS）,故答案为：ZABP=ZEBC AP = EC；(2) 成立，理由如下，ABE是等边三角形，A ZABE = 60, AB=BE,丁将线段BP绕点B顺时针旋转60。得到BC,AZCBP = 60, BC=BP, ZABP=60 - ZPBE, ZCBE = 60 - ZPBE, 即 ZABP=ZEBC,AAABPAEBC (SAS),AAP=EC；(3) 过点

4、C作CD丄m于D,PAD图将线段BP绕点B顺时针旋转60。得到BC,PBC是等边三角形， PC=3,设 AP = CE=t,则 AB=AE = 3t,AAC=2t,Vm/7nfAZCAD=ZAEB = 60%.AD=*AC=t, CD=7?AD=Q,VPD2+CD2=PC2, (2t) 2+3t2=9.t哼（负值舍去）,【点睛】本题主要考查等边三角形的判定及性质、旋转的性质应用、三角形全等的判左及性质、勾 股怎理等相关知识点，解题关键在于找到图形变化过程中存在的联系，类比推理即可得解.2.已知：如图，在矩形ABCD中，AB = 3,AD = 4,AE丄BD,垂足是E.点F是点图图督用图（1）求

5、AF和BE的长：（2）若将a/WF沿着射线方向平移，设平移的距离为川（平移距离指点B沿方向 所经过的线段长度）.当点F分别平移到线段AB、AD L时，直接写出相应的加的值.（3）如图，将绕点“顺时针旋转一个角6/（0 6/ BF二BF=匸,当点尸落在AB上时，ABA8,AZ3=Z4,根据平移的性质知：Z1=Z4,AZ3=Z2,99A BBf=BT/ =-,即 m =-:55当点F落在AD上时，ABA8, ABAD,AZ6=Z2, A8丄AD,VZ1=Z2, Z5=Z1,AZ5=Z6,又知A8丄AD,BFD为等腰三角形, BD 二 BF=?,5BB=BDBD=5=,即 rn =； 555（3）存

6、在.理由如下：四边形ABCD是矩形，Z BAD 二 90,VAE1BD, ZAEB=90,Z2+ZABD二90, ZBAE+ZABD二90,Z2 二 ZBAE,点F是点E关于AB的对称点，AZl=ZBAEtAZ1=Z2,在旋转过程中，等腰ADPQ依次有以下4种情形:图-1则 Z Q二 ZDPQ,AZ2=ZQ+ZDPQ=2ZQ.VZ1=Z3+ZQ, Z1=Z2 Z3二ZQ,AQ=AB=3,1227 FQ 二 FA+AQ 二+ 3 = t55在Rt/kBFQ中，由勾股龙理得:bq 二 Jbf+fq?.DQ=BQ-BD= 9y1（）-55图则 Z2=ZP,VZ1=Z2,AZ1=ZP, BA/PD,则

7、此时点A，落在BC边上.VZ3=Z2,AZ3=Z1, BQ 二 AQ,12FQ二 FAAQ二一BQ,5在RtZBQF中，由勾股左理得：BH+fQ二BQ?, 即m俘-陀卜昭 解得：BQ = w，81525DQ二 BD-BQ=5-=:8 8VZ2+Z3+Z4=180, Z3=Z4.A Z4=90- Z2.2VZl=Z2t Z4=90-4 Zl,2 ZA/QB=Z4=90- Zl,2 ZAQB 二 ZABQ,AQ 二 AB 二3,123 FQ 二 AQA 乍=3=一，310555在RtABFQ中，由勾股左理得：BQ=A/BF2+FV =A DQ=BQ-BD=5-5如图4所示点Q落在BD上，且PQ二P

8、D.则 Z2=Z3.VZl=Z2t Z3=Z4. Z2=Z3,AZ1=Z4, BQ 二 BA=3,ADQ=BD-BQ=5-3=2.综上所述，存在4组符合条件的点P、点Q,使DPQ为等腰三角形，DQ的长度分别为：2或色或？应_5或5二皿855【点睛】本题是四边形综合题目，主要考査了矩形的性质、轴对称的性质、平移的性质、旋转的性 质、勾股泄理、等樓三角形的性质等知识点：第（3）问难度很大，解题关键是画出各种旋 转图形，依题意进行分类讨论.3.探究：如图1和图2,四边形43CD中.已知AB=AD. ZB&D=90，点E、F分别在3C、CD 上，ZEAF=45 .(1) 如图1，若ZB、ZADC都是直

9、角，把ABE绕点人逆时针旋转90至ADG,使A3与人D重合，直接写岀线段3F、DF和FF之间的数量关系:如图2,若ZB、ZD都不是直角，但满足ZB+ZD=180a ,线段BE、DF和FF之间的 结论是否仍然成立，若成立，请写岀证明过程；若不成立，请说明理由.(2) 拓展：如图3,在zMBC中，ZBAC=90 , AB=AC=2迈.点D、F均在边BC边【答案】 EF=BE+DF；成立，理由详见解析：(2) D= | .【解析】【分析】(1根拯旋转的性质得出AE=AG9 ZBAE=ZDAG9 BE=DG9求出ZEAF=ZGAF= 45,根据SAS推出 EAFQbGAF,根据全等三角形的性质得岀EF

10、=GF,即可求出答案： 根据旋转的性质作辅助线，得岀ae=ag9 zb=zadg. zbae=zdag9求出c、d、g 在一条直线上，根据SAS推出 EAFAGAF,根据全等三角形的性质得岀EF=GF，即可求 出答案；(2)如图3,同理作旋转三角形，根据等腰直角三角形性质和勾股立理求出ZABC=ZC= 45 8C=4,根据旋转的性质得出 AF=AE.= ZC=45。，ZBAF=ZCAE.求岀 ZFAD= ZD4E=45。，证FAD竺HEAD、根据全等得出 DF=DE、设 DE=x,则 DF=x, BF=CE=3 -X,根据勾股楚理得岀方程，求岀X即可.【详解】解：(1) 把3E绕点&逆时针旋转

11、90。至DG,使与&D重合.AE=AG. ZBAE=ZDAG. BE=DG, Z8=厶DG=90,T ZADC= 90。， ZADC+Z4DG=90:.F. D、G 共线，VZB/AD=90% ZEAF=45:.ZBAE+ZDAF= 45 t:.ZDAGZDAF=45即 ZUF=ZG4F=45,在和中，AF = AF ZEAF = ZGAF ,AE = AG:.AEAF/GAF (SAS),:EF=GF、: BE=DG,.ef=gf=df+dg=be+df,故答案为：EF=BE十DF；成立，理由：如图2,把BF绕人点旋转到NADG、使和&D重合,VZB+ZDC=180,I ZADC+Z4DG=

12、 180。，.C、D、G在一条直线上，与同理得，ZEAF=ZGAF=45KEAF 和 GM 中，AF = AF ZEAF = ZGAF ,AE = AG:.AEAF/GAF (SAS),:.ef=gf9: BE=DG,EF=GF=BE+DF；(2)解：ABC 中，AB=AC=2y/2，ZBAC= 90:.ZABC=ZC=45。，由勾股左理得：BC= + A(? =4如图3,把MEC绕&点旋转到使AB和AC重合,连接DF,VZDE=45, ZFAD= ZFABZBAD=ZCAEZBAD= ZBAC - ZDAE= 90 - 45 = 45,:.ZFAD=ZDAE=5AD = AD在氐 FAD 和

13、EAD 中 ZFAD = ZEAD 9AF = AE:.AFAD/EAD (SAS),:.DF=DE.设 DE=x、则 DF=x,VBC=4,:.BF=CE=4 - l-x=3-x,VZfB/4=45 Z&BC=45,A ZfBD=90,由勾股定理得：df2=bf2+bd2,/= (3 -x) 2+12,解得:x= | ,5H卩 DE=.3【点睛】本题考查了四边形的综合题，旋转的性质，全等三角形的性质和判立，勾股龙理的应用， 此题是开放性试题，运用类比的思想；首先在特殊图形中找到规律，然后再推广到一般图 形中，对学生的分析问题，解决问题的能力要求比较高.4.如图，在矩形ABCD中，AB = 6

14、cm, AD = Scm,连接BD，将4BD绕3点作顺 时针方向旋转得到&BQ (F与3重合)，且点D刚好落在BC的延长上，AQ与 CD相交于点E.(1) 求矩形ABCD与ABD重叠部分(如图中阴影部分ABVE )的而积：(2) 将AFD以每秒2c?的速度沿直线BC向右平移，如图2,当F移动到C点时 停止移动.设矩形ABCD与厶AED重叠部分的面积为V,移动的时间为x,请你直接 写出关于x的函数关系式，并指岀自变量x的取值范围：（3）在（2）的平移过程中，是否存在这样的时间X,使得成为等腰三角形？若【答案】（1）(2)-匕 + 24(。*鸟2258 . 80 _工X +133摯*4)35（3）

15、存在，使得A4E成为等腰三角形的x的值有：o秒、丄秒、一925【解析】【分析】（1）先用勾股宅理求出BD的长，再根据旋转的性质得出BQ = BD = 10an,CD = BQ BC = 2cm,利用ABDA!的正切值求岀CE的值，利用三角形的而积差即 可求阴影部分的而积：（2）分类讨论，当OSxv 时和当x CD = BD BC = 2cm,CEA9nf tan ZBDA=A!D96 CE 8 2v uABrCE_2x2.2 = (r)；2 2 2 v 7（2）当03时,CD, = 2x+2, CE = -xt2/.y = -x6x8-x2=-x2-x + 24；2 2 2 2164 z当x0

16、）的图象交边AB于点Dx（1）用m的代数式表示BD的长；（2）设点P在该函数图象上，且它的横坐标为m,连结PB, PD 记矩形OABC面积与APBD而积之差为S,求当m为何值时，S取到最大值： 将点D绕点P逆时针旋转90：得到点E当点E恰好落在x轴上时，求m的值.【答案】（1）BD = m-4 （2）m=7时，S取到最大值m = 2+2岳【解析】【分析】（1）先确左出点D横坐标为4,代入反比例函数解析式中求出点D横坐标，即可得岀结论：（2）先求出矩形OABC的而积和三角形PBD的而积得出S= - - 5-8）2+24,即可得2出结论；利用一线三直角判断岀DG = PF,进而求出点P的坐标，即可

17、得出结论.【详解】解：（1） 四边形OABC是矩形，AAB丄x轴上，点 B （4, m）,点D的横坐标为4,点D在反比例函数y= x：.0（4, 4）,ABD=m - 4：（2）如图1，.矩形OABC的顶点B的坐标为（4, m）,：S 加黔 oabc=4m,由（1）知，D（4, 4）,/SAPbd= (m - 4) (m - 4) = (m - 4) 2 2/ S=Sji；oabc pbd=4m - (rn - 4) 2= - (m - 8 ? 2+24,2 2抛物线的对称轴为m = 8,Ta VO, 5m.m=7时,S取到最大值;如图2,过点P作PF丄x轴于F,过点D作DG丄FP交FP的延长

18、线于G,AZDGP=ZPFE = 90.ZDPG+ZPDG = 90%由旋转知，PD = PE, ZDPE = 90AZDPG+ZEPF=90%AZPDG = ZEPF,AAPDGAEPF (AAS), DG = PF,V DG = AF = m - 4,/.P (m m - 4),点P在反比例函数y=丄，xAm (m 4) =16,Am = 2+2 5 或(舍).此题是反比例函数综合题，主要考查了待泄系数法，矩形的性质，三角形的而积公式，全 等三角形的判定，构造岀全等三角形是解本题的关键.8.两块等腰直角三角板AABC和ADEC如图摆放.其中ZACB=ZDCE=90, F是DE的中 点，H是

19、AE的中点，G是BD的中点(1) 如图1，若点D、E分別在AC、BC的延长线上，通过观察和测量，猜想FH和FG的数量关系为和位置关系为:(2) 如图2,若将三角板A DEC绕着点C顺时针旋转至ACE在一条直线上时，其余条件 均不变，则(1)中的猎想是否还成立，若成立，请证明，不成立请说明理由：(1)中的猎想(3)如图3,将图1中的ADEC绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图3.还成立吗？直接写出结论，不用证明.【答案】(1)相等，垂直.FH二FG , FH 丄 FG (2)成立，证明见解析:图3(3)成立，结论是【解析】试题分析:证AD观根据三角形的中位线推出嗚AD, FH/AD, FGBE,FG

20、/7BE，即可推出答案:(2) iiEAACDABCE,推出AD二BE,根据三角形的中位线宦理即可推出答案:(3) 连接BE、AD,根据全等推出AD二BE,根据三角形的中位线左理即可推出答案.试题解析：(1) 解：VCE=CD , AC=BC , ZECA=ZDCB=90 ,BE二AD ,F是DE的中点，H是AE的中点，G是BD的中点，11AFH=-AD , FHAD , FG=-BE , FG/BE ,22FH二FG ,VAD丄 BE ,AFHXFG ,故答案为相等，垂直.(2) 答：成立，证明：VCE=CD , ZECD=ZACD=90 , AC=BC ,AAACDABCEAD二BE ,

21、1 1由 知：FH=-AD , FHAD , FG二一 BE , FGBE ,2 2/.FH=FG , FH 丄 FG .A ( 1)中的猜想还成立.(3)答：成立，结论是FH二FG , FH丄FG 连接AD , BE,两线交于Z , AD交BC于X , 同(2)可证11AFH=-AD , FHAD , FG=-BE , FGBE ,22三角形ECD、ACB是等腰直角三角形，/.CE=CD , AC=BC , ZECD=ZACB=90 , AZACD=ZBCE ,在MCD和aBCE中AC=BCZACD=ZBCE ,CE=CDAAACDABCE ,AD二BE , ZEBC=ZDAC rV ZDA

22、C+ZCXA=90 , ZCXA=ZDXB ,AZDXB+ZEBC=90 zAZEZA=180 90=90 ,即 AD1BE ,FHAD , FGBE rAFH1FG ,即 FH=FG , FH丄FG .结论是FH=FG r FH丄FG【点睛】运用了等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质和判左、三角形的中位线左 理，旋转的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用这些性质进行推理是解此题的关 键.9.（操作发现）（1）如图1,AABC为等边三角形，先将三角板中的60。角与ZACB重合，再将三角板绕 点C按顺时针方向旋转（旋转角大于0。且小于30。），旋转后三角板的一直角边与AB交于 点D,在三角板

23、斜边上取一点F,使CF=CD.线段AB取点E,使ZDCE=30,连接AF r EF 求ZEAF的度数： DE与EF相等吗？请说明理由：（类比探究）（2）如图2 , AABC为等腰直角三角形，ZACB=90,先将三角板的90。角与ZACB重合， 再将三角板绕点C按顺时针方向旋转（旋转角大于0。且小于45。），旋转后三角板的一直 角边与AB交于点D,在三角板另一直角边上取一点F,使CF=CD,线段AB 取点E,使 ZDCE=45,连接AF , EF.请直接写出探究结果： ZEAF的度数： 线段AE z ED z DB之间的数量关系.答案】（1） 120DE二EF： （2）90AE+DB?二DE?【

24、解析】试题分析：（1 ）由等边三角形的性质得岀AC=BC r Z BAC=Z B二60,求出Z ACF=Z BCD,证明&CF更 “BCD,得出Z CAFM 8=60,求出Z EAF=A BAC+Z CAF=120 ； 证出Z DCE二乙FCE,由SAS证明DCE里FCE、得岀DE二EF即可；(2 )由等雁直角三角形的性质得出AC=BC , Z BAC=A 8=45。，证出Z ACF=Z BCD,由 SAS 证明ZkACF旻 BCD,得岀Z CAF二乙 8=45 f AF二DB,求出Z EAF二乙 BAC+Z G4U90。； 证出Z DCE=Z FCE,由SAS证明DCE里FCE.得岀DE二E

25、F；在Rt处F中，由勾股泄理 得出ae2+af2=ef即可得出结论.试题解析：解：(1)&3C是等边三角形， AC=BC t Z BAC=Z 8=60 / Z DCF=60 r Z ACF=A BCD 在CF和ABCD中，T AC=BC r Z ACFV BCD r CF=CD r :. 4ACF里 BCD ( SAS ) , /. Z CAF二乙 8=60 z Z EAF= Z B/4C+Z C4E20 ；DE=EF .理由如下： Z DCF=60 , Z DCE=30 , :. Z FC=60 - 30=30 , /. Z DCE二乙 FCE 在DCE 和ZkFCE 中. CD=CF r

26、Z DC=Z FCE t CE=CE , “DCE里厶 FCE ( SAS ) , /. DE=EF ；(2 ) AABC是等腰直角三角形，Z ACB=90 t :. AC=BC t Z BAC=Z 8=45 T Z DCF=90 r :. Z ACF=A BCD 在和 aBCD 中，T AC=BC r Z ACFV BCD r CF=CD r :. 4ACF里 BCD ( SAS ) , /. Z CAF二乙 8=45 , AF二DB r :. Z EAF二乙 BAC+Z CAF=90 ；AE2WB2=DE理由如下： Z DCF=90 , Z DCE=45 , Z FC=90 45二45 ,

27、 /. Z DCE=Z FCE 在DCE 和AFCE 中， CD二CF r Z DC=Z FCE t CE二CE t :. 5DCE里 HFCE ( SAS ) , /. DE二EF 在 RtA/AEF 中， AE2+AF2=EF 又I AF=DB r :. AE2WB2=DE2 10.如图1,点o是正方形&BCD两对角线的交点.分别延长OD到点G, OC到点E,使 OG=2OD. OE=2OC,然后以OG. OE为邻边作正方形OEFG,连接&G, DE.(1) 求证：DELAGx(2) 正方形MCD固左，将正方形OFFG绕点O逆时针旋转。角(0 360。)得到正方形 0EFG：如图 2. 在旋转过程中，当Z0AG，是直角时