随机过程的功率谱及性质与计算专题

1、1第四章第四章 平稳随机过程的功率谱密度平稳随机过程的功率谱密度一、什么是功率谱密度一、什么是功率谱密度二、功率谱密度与自相关函数的关系二、功率谱密度与自相关函数的关系五、如何估计功率谱密度以及功率谱应用五、如何估计功率谱密度以及功率谱应用三、功率谱密度的性质三、功率谱密度的性质四、互功率谱密度四、互功率谱密度六、白噪声六、白噪声2一一 、功率谱密度的概念和定义、功率谱密度的概念和定义确定性信号：幅度谱、相位谱确定性信号：幅度谱、相位谱1 1、 频谱分析的基本概念频谱分析的基本概念功率谱功率谱信号特征分析信号特征分析时域分析时域分析频域分析频域分析t t32 2、能量型信号与功率型信号、能量型

2、信号与功率型信号功率型信号功率型信号：能量无限、平均功率有限的信号：能量无限、平均功率有限的信号TTdttsTTP2)(21lim其能谱不存在，而其能谱不存在，而功率谱存在功率谱存在能量有限，能量有限，能量型信号能量型信号dtetsStj)()(频谱：频谱： 幅度和相位随频率的分布幅度和相位随频率的分布dSdttsE22)(21)(能谱：能谱： 能量随频率的分布能量随频率的分布2)(S若若确定信号确定信号 是时间是时间t t的非周期实函数，满足狄氏条件，且的非周期实函数，满足狄氏条件，且满足：满足： )(tsdtts)(dtts)(2则则 的傅立叶变换存在的傅立叶变换存在)(ts或或4TtTt

3、txtxT0)()(随机过程的样本函数及其截断函数随机过程的样本函数及其截断函数 样本函数是功率有限信号样本函数是功率有限信号不存在傅立叶变换不存在傅立叶变换如何定义随机信号的功率谱？如何定义随机信号的功率谱？随机信号的特点：随机信号的特点： 3 3、 随机信号功率谱密度的定义随机信号功率谱密度的定义2 2）对样本空间中所有样本函数的功率谱求统计平均）对样本空间中所有样本函数的功率谱求统计平均1 1）定义每个样本函数的功率谱（处理方法适用于确定性信号）定义每个样本函数的功率谱（处理方法适用于确定性信号）)(tx)(txTtTT20T5TTtjtjTTdtetxdtetxX)()()(样本函数的

4、截断函数的傅立叶变换：样本函数的截断函数的傅立叶变换：dtjeTXtxT)(21)(dXdttxETT22),(21),(截断函数的能量：截断函数的能量：2),(2121limdTXTTdTXTT2),(21lim211) 1) 样本函数的功率谱密度样本函数的功率谱密度功功率率谱谱),(TX),(tTx截断函数的截断函数的能量谱能量谱2),(TX2),(21lim),(TXTTXGTTTdttxTW),(21lim2样本函数的（时间）平均功率：样本函数的（时间）平均功率：62),(21lim),()(TXTTEXGEXG对于随机过程来说，求各样本函数功率谱密度的统计平均对于随机过程来说，求各样

5、本函数功率谱密度的统计平均物理意义：功率谱密度表示单位频带内信号在单位物理意义：功率谱密度表示单位频带内信号在单位电阻上消耗的功率的统计平均值电阻上消耗的功率的统计平均值. .2 2） 随机信号功率谱密度的定义随机信号功率谱密度的定义是是 的确的确定函数定函数即：样本函数的功率谱密度代表随机过程的功率谱密度即：样本函数的功率谱密度代表随机过程的功率谱密度若为各态历经过程，则有：若为各态历经过程，则有：2),(21lim)(TXETTXG缺陷缺陷: :不含不含相位信息相位信息2),(21limTXTT70100200300400500-1.0-0.50.00.51.0n0102030405060

6、70809010010-910-810-710-61x10-51x10-410-310-210-1Frequency (Hz)Power0100200300400500-2-1012n随机信号：随机信号：随机性信号功率谱分析的一个例子随机性信号功率谱分析的一个例子8随机过程的平均功率为随机过程的平均功率为dXGdXGEWEW)(21),(21随机过程的平均功率随频率的随机过程的平均功率随频率的分布，不同的频率成分对随机分布，不同的频率成分对随机信号的平均功率的贡献。信号的平均功率的贡献。3 3）随机过程的平均功率与功率谱密度）随机过程的平均功率与功率谱密度频域计算：频域计算：任一样本函数的平均

7、功率为任一样本函数的平均功率为dXGW),(21TTdttXETTWEW)(221lim随机过程的平均功率为随机过程的平均功率为若过程为平稳过程，若过程为平稳过程，)0()(2XRtXEWEW时域计算时域计算TTTdttxTW),(21lim2任一样本函数的平均功率为任一样本函数的平均功率为若为各态历经过程若为各态历经过程9例例 设随机过程设随机过程 其中其中 为常量，为常量， 为均匀分布为均匀分布 中的随机中的随机变量，求变量，求 的平均功率。的平均功率。cos)(0tatX0,a)(tX)2, 0(解：解：TTdttXETTW)(221lim)(2cos2)(20taEtXE)22cos(

8、22220taaE)22cos(22220tEaadtaa220)22cos(22220)2sin(2220taaTTdttaaTT)2sin(22221lim022a)2 , 0(10deRGjXX)()(deGRjXX)(21)(要求均值为零要求均值为零二二、功率谱密度与自相关函数关系（重点）功率谱密度与自相关函数关系（重点）平稳过程在一定的条件下，自相关函数和功率谱密度构平稳过程在一定的条件下，自相关函数和功率谱密度构成成傅立叶变换对傅立叶变换对( (维纳辛钦定理维纳辛钦定理) )这个定理要求不能应用于含有这个定理要求不能应用于含有直流分量或周期分量的随机信直流分量或周期分量的随机信号，

9、号，功率谱密度是连续的功率谱密度是连续的条件条件: :dXR)(平均功率有限平均功率有限dXG)(相关函数的典型曲线相关函数的典型曲线)(XR2Xs) 0 (XR2Xm0实际中含有直流分量和周期实际中含有直流分量和周期分量的随机过程很多。分量的随机过程很多。11二二、功率谱密度与自相关函数关系功率谱密度与自相关函数关系维纳辛钦定理的推广维纳辛钦定理的推广引入引入 函数函数借助借助 函数，将任意直流分量和周期分量在频率点上函数，将任意直流分量和周期分量在频率点上无限值用无限值用 函数表示，则维纳辛钦定理可推广应用。函数表示，则维纳辛钦定理可推广应用。)(211)(其傅立叶变换其傅立叶变换12维纳

10、辛钦定理的推广维纳辛钦定理的推广功率谱密度常用来进行功率谱密度常用来进行周期性检测周期性检测四类典型信号的功率谱四类典型信号的功率谱13二二、功率谱密度与自相关函数关系功率谱密度与自相关函数关系维纳辛钦定理的推广维纳辛钦定理的推广对于非平稳信号：对于非平稳信号：djeXRXG)()(TTdtttXRTTXR),(21lim)(时间平均自相关函数时间平均自相关函数与功率谱密度为傅立叶变换对与功率谱密度为傅立叶变换对14功率谱密度算例功率谱密度算例设随机过程设随机过程 其中其中 为常量，为常量， 为均匀分布为均匀分布 中的随机变中的随机变量，求量，求 的平均功率和功率谱密度。的平均功率和功率谱密度

11、。例例1 1)2 , 0(cos)(0tatX0,a)(tX)()(cos000)()(22cos22000aa0cos22)(aXRdeRGjXX)()(解：解：15三、平稳随机信号功率谱密度的性质三、平稳随机信号功率谱密度的性质对于实的平稳随机过程，功率谱为对于实的平稳随机过程，功率谱为实的、非负偶函数实的、非负偶函数；2),(21lim)(TXETTXG由由2),(TX决定决定0cos)(2)(dXRXG000)(2)(XXGF物理谱定义：02) 1( 202) 1( 22) 1( 222) 1( 2220)(bbmbmaanancXGnm随机过程的随机过程的有理谱形式有理谱形式：有理谱

12、密度是实际中最常见的有理谱密度是实际中最常见的一类功率谱密度或形式，工程中常用来作为有色噪声的逼近一类功率谱密度或形式，工程中常用来作为有色噪声的逼近)(XG0)(XF16相关性与功率谱的关系为：相关性越弱，功率相关性与功率谱的关系为：相关性越弱，功率谱越宽平；相关性越强，功率谱越陡窄。谱越宽平；相关性越强，功率谱越陡窄。若随机过程均值非零，则功率谱在原点有一若随机过程均值非零，则功率谱在原点有一 函数；函数； 若含有周期分量，则在相应的频率处有若含有周期分量，则在相应的频率处有 函数；函数；dGRXX)(21)0(17例3、已知零均值平稳过程的谱密度为 求相关函数与方差。9104)(242XG解:9248/561248/929210442)(XG由因式分解222e由公式：)59(481)(3eeRX247)0(XR18功率谱密度算例功率谱密度算例例例2 2 设随机过