随机信号分析4

1、本章主要内容： v随机信号通过线性系统时域分析 v色噪声的产生与白化滤波器v白噪声通过线性系统第四章 随机信号通过线性系统v等效噪声带宽v随机信号通过线性系统频域分析 v线性系统输出端随机信号的概率分布系统可分为： （1）线性系统：线性放大器、线性滤波器 （2）非线性系统：限幅器、平方律检波器对于线性系统：已知系统特性和输入信号的统计特性，可以求出系统输出信号的统计特性随随机信号机信号通过线性系统通过线性系统的分析的分析 下面的分析限定系统是单输入单输出（响应）的、连续或离散时不变下面的分析限定系统是单输入单输出（响应）的、连续或离散时不变的、线性的和物理可实现的稳定系统。的、线性的和物理可实

2、现的稳定系统。连续时间系统：系统的输入和输出都是连续时间信号；连续时间系统：系统的输入和输出都是连续时间信号；离散时间系统：系统的输入和输出都是离散时间信号。离散时间系统：系统的输入和输出都是离散时间信号。连续与离散系统：连续与离散系统：（1）线性性：线性性：（2）时不变：）时不变： 线性时不变系统：线性时不变系统：1212( )( ) ( )( )L ax tbx taL x tbL x t称作算子L00() ()y ttL x tt4.1 线性系统基本理论复习线性系统基本理论复习一、一般线性系统一、一般线性系统输入输出)(txk)()(txLtykk线性系统中线性算子 满足齐次性， 叠加性

3、：L)()(1txLatyknkk)()(1txatxknkk若输入则输出L 二、线性时不变系统二、线性时不变系统)()(tytxL当输入 x(t) 有一个时移 时，输出y(t)也有一个时移 )(tx)(ty1、 线性时不变系统的冲激响应线性时不变系统的冲激响应L)(t)(th( ) ( )( )( )h tLtth t冲激响应输出dhtxdthxthtxtxLty)()()()()()()()()(tx)(tx)(ty)(tyt0t02、系统传递函数、系统传递函数( )( ) ()( )()( )( )( )( )( )y thx tdhx tdx tAy tAhdy tBhd ，若要有界，

4、则必须)()()()()()(HXYdteththFHtj三、稳定的物理可实现系统三、稳定的物理可实现系统1、稳定系统的条件、稳定系统的条件若对任意有界输入，其输出也有界，则系统稳定。dtth)(tdthxdtxhty)()()()()(02、物理可实现性（因果性）、物理可实现性（因果性）在输入信号到来前 ，系统不产生响应。既：h(t)=0， t0 。( )( ) ()( ) ()( )00()00y thx tdxh tdhh ttt由于；，0)()(dtstethsH传递函数为：0)()(dtethHtj若以s代替j，传递函数在复频域中表示为：由因果性则输出为：)(1sH3、稳定的物理可实

5、现系统条件、稳定的物理可实现系统条件dtth0)(jjdsstesHjth)(21)(系统1： 的极点 ，在左半平面。0;)(1tteth则传递函数H(s)的所有极点都应位于s平面的左半平面（不含虚轴）例如：由于：1211( )( )(0)H sHsss，)(2sHs系统1稳定dtth0)(满足系统2： 的极点 ，在右半平面。s0;)(2ttethdtth0)(系统2不稳定4.2 随机信号通过线性系统随机信号通过线性系统二、系统输入与输出之间的互相关函数二、系统输入与输出之间的互相关函数1212120121200122( , )( ) ( )( )( )()( ) ( )()( )( ,)(

6、, )( )(425)XYXXRt tE X t Y tE X th u X tu duh u E X t X tu duh u Rt tu duRt th t4.2.1 时域分析法时域分析法一、输出的均值：一、输出的均值：0)()()()()(dhtXthtXtY)()()()()()(00tmdhtmdhtXEtYEYX0( )( )( )() ( )ytth tthd系统输出：系统输出：随机过程确定的时间函数确定的二元函数1212120121( , ) ( )( )( )(, )( , )( )(426)YXXXRt tE Y t X th u Rtu t duRt th t同理：三，系

7、统输出的自相关函数三，系统输出的自相关函数12121200120012001212( ,)( )()( )()( )()( ) ( )()()( ) ( )(,)( )()( ,)(424)YXXRttE Y t Y tEh u X tu duh v X tv dh u h v E X tu X tvdudvh u h v Rtu tv dudvh th tRtt 确定的二元函数确定的二元函数上式可以用下图表示：比较式(4-25)，式(4-26)与式(4-24)则有：),()(),()(),(21221121ttRthttRthttRYXXYY),(21ttRYX),(21ttRXY)(1th

8、),(21ttRY),(21ttRX),(21ttRY),(21ttRX)(2th)(1th)(2th4.2.2 物理可实现系统输出随机过程的分析物理可实现系统输出随机过程的分析)()0(),(),()(21221tXERttRttRmtmXXXXX常数1输入双侧随机信号时输入双侧随机信号时()xt( )xt)(ht0t000( )() ( )() ( )( )() ( )() ( )ytxthdxthdY tX thdX thd因X(t)平稳，则有：于是，据式(4-23)有00 ( )() ( )( )XXYE Y tmthdmhdm（常数）( )X tt ，1、若、若X(t)平稳，则输出平

9、稳。平稳，则输出平稳。据式(4-24)，(4-25) ，(4-26)有)()()()()(),()(),(002121XYXXXXYRhRduuRuhduuttRuhttR)()()()()(),()(),(002121YXXXXYXRhRduuRuhdututRuhttR12120000( ,)( ) ( )(,)( ) ( )()( )YXXYRt th u h v Rtu tv dudvh u h v Rvu dudvR 000000002|)(|)(|)0(|)(|)(|)0()(|)(|)(|)()()()0()0()(dvvhduuhRdudvvhuhRdudvvuRvhuhdud

10、vvuRvhuhRRtYEXXXXYY由此可见，输出Y(t)是宽平稳过程。)(2tYE此外，输出的均方值为因为系统是稳定的，dtth0)(所以有：0 ( )( )( )( )( )( )( )()( )( )( )()( )( )()( )( )( )XXYXYXXYXYXYYYXE Y tmh t dtRRhRRhRRhhRRhRRh若输入X(t)是宽平稳的，则稳定线性系统的输出Y(t)也是宽平稳的，且输入与输出联合宽平稳。且有如下关系：结论：结论：2 2、若输入、若输入X(t)是严平稳的，则输出是严平稳的，则输出Y(t)也是严平稳的。也是严平稳的。证明：时不变系统 ，有()()Y tL X

11、 t( )( )Y tL X tX(t)是严平稳， 与X(t)具有相同的n维概率密度，由于系统算子不变，则 与Y(t)也具有相同的n维概率密度函数，所以Y(t)也是严平稳的也是严平稳的。)(tX)(tY)()()(,)(XXRtXtXmtX则输出Y(t)的时间平均YXTTTTTTTTTmduuhmduuhdtutXTdtduutXuhTdttYTtY000)()()(21lim)()(21lim)(21lim)(3、若输入、若输入X(t)是宽各态历经的，则输出是宽各态历经的，则输出Y(t)也是宽各态历经。也是宽各态历经。 证明：由X(t)的各态历经定义0000001( ) ()lim( ) (

12、)21lim( )()( )()21( ) ( )lim()() 2( ) ( )()( )TTTTTTTTTXYY t Y tY t Y tdtTh u X tu duh v X tv dv dtTh u h vX tu X tv dt dudvTh u h v Ruv dudvR 及时间自相关函数 故而Y(t)是宽各态历经的。是宽各态历经的。习题：习题：44)(20N)(XYR)(YXR三，应用举例三，应用举例例例4.4RC)(tX)(tY分析：这是一个低通的RC电路，该电路的冲激响应见附录四。)()(,101)(tUbtbethRCbtRCteRCth则；若令，X(t)是相关函数为 的白

13、噪声求：输出的平均功率)(YR解：1）由题意知0( )( )2XNR 输出自相关函数 00)()()()(dvduuvRuhvhRXY000000000000( )( )()( )2( )()()2( ) ()()2( ) ()( )()22YNRh uuvh v dv duNh uhuuv dv duNh u huuv dv duNNh u hu duhh 00当输入是白噪声时，该系统输出的自相关函数正比于单位冲激响应函数的卷积。上式要分别按 与 两种情况求积分：当 时上式中被积函数总是存在，所以有：000()( )() ()2YNbubuRbebedu20002( )024YN bN bb

14、bubRebedue，合并 和 的结果，得到输出自相关函数：0( )()04YYN bbRRe，0000| |( )|4YN bbRe ，利用自相关函数的偶对称性，则当 时有：0()00huuu当时，若要，则需，积分麻烦所以注意到b是时间常数(RC)的倒数，它也与系统的半功率带宽 有关。事实上：1(HZ)222bfbfRC，20( )2YNE YtfP2）在上式中令 ，即可得输出的平均功率为20( )(0)4YYN bE Y tRP0由此可见，该系统的输出平均功率随着系统的带宽变宽而线性的增大。于是输出平均功率又可写为f上式的结果给出了一个测量(估计)线性系统单位冲激响应h(t)的方法。000

15、0( )() ( )( )( )222XYNNN bbRu h u duheU 0000( )() ( )()()222YXNNN bbRu h u duheU 3）根据式4-37有：同理延时)(th)(tX)(tY)(tX( , )Z t( )Z低通滤波器白噪声测量系统( , )()( )Z tX tY t( )( , )ZZ t直流分量如果低通滤波器的带宽充分地小带宽充分地小，那么其输出将几乎是几乎是Z(t)地直流地直流成分，成分，只有很少的随机成分附加于输出上。若输入X(t)是是各态历经的，由前面的结论可知Z(t)也是各态历经的。而各态历经过程Z(t)的直流分量就是Z(t)的时间平均，因

16、此有.( , ) ( , )() ( )( )XYaeZ tE Z tE X tY tR( ),0h ( )( , )ZZ t又因为各态历经过程的时间平均与统计平均相等又因为各态历经过程的时间平均与统计平均相等.( , ) ( , )aeZ tE Z t直流分量0.( , )( )( ),02XYaeNZ tRh对于物理可实现系统 则有，000222( )( )( , )( )XYhRZ tZNNN由此可见，低通滤波器输出端的直流分量正比于系统的单位冲激响应。只要连续的改变 ，就能测出线性系统得完整单位冲激响应。这就是所谓的系统辨识问题。所以系统冲激响应的估计为 通常，只要输入信号功率谱密度的

17、带宽，比被测系统的带宽大上 10 倍左右，利用上述测量系统就能很好的测出被测系统的冲激响应，及测出输入信号与被测系统输出信号的互相关函数。02( )( )( )( )XYhZNRZ系统输入与输出的互相关函数的估计为002000|( )() ( ) ( )4YXu vbubvRRuv h u h v dudvNeb eedvdu 0|( )4XNReb0在 例4.4 中假设X(t)的自相关函数为 式中 ，求输出的自相关函数。解：例例4.5当 时，)()u vuvuvevueevu ，00udvdvdvu因自相关函数为 的偶函数，所以 时的 表达式直接能直接由 时的表达式 写出：2022( )()

18、(),04()YYbN bRReebb0)(YR0)(YR2002022()()( )04()04()YuvbuuvbububN buReeedveedv duuN beebb ，则：022()| | |1( )141/YbbbNReebb 上式中第一个因子是例4.4中白噪声输入时系统输出的自相关函数为了作比较，可将上式写为：2022|( )()4()YbN bReebb 综合结果是：b正比于系统的带宽01|( )4YbNbRef由于X(t)有0|( )4XNRe 正比于输入信号X(t)的功率谱带宽。b022()0011()| | |lim( )141/| |( )4YbYbNbbReebbb

19、NbeR 可见，当 比值很小时， 近似白噪声通过系统时输出的自相关函数。因此，尽管输入X(t)是非白噪声，只要其功率谱带宽 远远大于系统带宽 ，就可以把输入X(t)看作白噪声。()0b)(YR可见，当 时，b 例如，在带宽为 的放大器中，最重要的噪声是热噪声，这种热噪声的带宽可以达到 ，由于 ，如果用白噪声来近似热噪声，则其误差不超过 1 。10MHz()0.01b1000MHz()x()xt( )xt)(ht0t02当输入单侧随机信号时对于物理可实现系统tdtXhtYtdtxhty00)()()()()()( )0X tt ，因为即使X(t)是宽平稳，但因01212002120 ( )( )

20、( )(444)( , )()( )( )(445)( , )()( )(446)XYYXXYXtE Y tmh u dum tttR t tRuvh vh u dvdutRt tRvh v dv 1120200( , )() ( )(447)( )() ( ) ( )(448)YXXXtRt tRu h u dut tE YtRuv h v h u dvdu 则输出响应Y(t)也是非平稳的。 这是由于实际系统输入信号为X(t)U(t)（单侧信号）是非平稳的缘故。关于这一点，我们可以这样来说明，如图所示的动态系统的开关K在t=0时刚一闭合，由于系统惰性的影响，随机输出就像确定输出那样有一个建立

21、的过程，这个过程是瞬态的，正是这个瞬态分量导致了非平稳输出。因此，前面讨论的输出的平稳性、各态历经等性质在此不再成立了。但若令 而 保持有限时，式444至447各式就几乎与时间 t 或时间起点无关。此时输出Y(t)称为渐进平稳的。12ttt、12tt 今后，对所研究的问题除非特殊说明，均指均指双侧信号在 t= 时施加于系统所得到的输出响应。图4.9 X(t)在t=0时刻作用于系统)(th)(tX)(tYK4.2.3 频域分析法频域分析法一、系统输出的均值一、系统输出的均值000( )( )(0)YXXXjmmhdmhedmH2)()()()()()()()()()(HGHHGGhhRRXXYX

22、Y二、系统输出的功率谱密度二、系统输出的功率谱密度2)(H系统的功率传递函数系统的功率传递函数（当输入为平稳双侧信号时）( )()hH由 于 实 系 统 :例例4.6、 利用频域分析法重做例4.4 解：因为2)()(2)(00NGNRXX211( )( )( )22YYXGdGHdPjbbHtUbtbeth)()()(三、系统输出的互谱密度三、系统输出的互谱密度)()()()()()(.)()()()()()(HGGhRRHGGhRRXYXXYXXXYXXY四、系统输出的平均功率四、系统输出的平均功率例例4.7 ，利用频域分析法重做例4.5|4)(0eNRX2022( )2 ()XNG2222

23、22202222220222)(4)(2)()()(bbbbbNbbNGHGXY所以222022)()()(bbNHGGXY2222)(bbHbebNRY4)(0所以解：对上式两边取富氏反变换得：121102222222022( )( )224()|4()YYRFGbNbFFbbbbNbeebb 4.2.4 多个随机信号通过线性系统多个随机信号通过线性系统( )X t设： 与 联合平稳，两个随机信号同时输入线性系统。若：12121221( )( )( )( )( )XXXXXXX XX XmmmRRRRR1( )X t2( )Xt由于线性系统具有叠加性，则有121212( )( )( )( )

24、( )( )( )( )( )( )( )( )Y tX th tXtXth tXth tXth tY tYt1122( )( )( )( )( )( )Y tX th tY tXth t因为 平稳，所以121212000 ( )()( )( )( )XXXXYYYE Y tmmhdmhdmhdmmm输出输出Y(t) 的均值的均值121221( )( )( )()( )( )( )( )( )()YXXXX XX XRRhhRRRRhhY(t)的自相关函数的自相关函数12122122( )( ) |( )|( )( )( )( ) |( )|YXXXX XX XGGHGGGGHY(t)的功率谱

25、密度的功率谱密度2( )Xt1( )X t当 与 之间互不相关，且至少有一个是零均值时：12( )( )( )( )()YXXRRRhh122( )( )( ) |( )|YXXGGGH习题：习题：47、413、4174.3 色噪声的产生和白化滤波器色噪声的产生和白化滤波器在复频域中表达为：( )YG根据输出构造系统)()()()(1)()(2HHHHHGY22()()()()(）中的代替用中的代替用YYGsjHssHsHsG利用频域分析法，解决两个问题：一，产生色噪声的系统( )XG根据输入构造系统使输出为白噪声输入色噪声输入白噪声使输出为需要的色噪声)(YG1)(NG在输入白噪声条件下 ，

26、构造一稳定的系统 ，使输出为色噪声)(H例4.8 设计一稳定的线性系统，使其在具有单位谱的白噪声激励下输出功率谱为：9104925)(242YG)(YG9102549)(242ssssGY)3)(1 ()57()3)(1 ()57()9)(1 ()57)(57()(22sssssssssssGY由于构造的系统必须稳定，所以构造 时，必须使其所有极点都位于s的左半平面。因此：)(sH( )( )()( )()YYYG sG s GsH s Hs)()(sGsGYY的复频域表达式为进行谱分解有：解：选 中极点位于s的左半平面的做为)(sH进行谱分解：)3)(1(57)(ssssGY3132ss75

27、( )( )(1)(3)YsGsH sss) 3)(1(57)(jjjH令：即为所要设计的系统。因此选)3)(1()57()(ssssGY极点位于S的右半平面极点位于S的左半平面3132ss因此有1)()()(2HGGXY211( )( )()( )( )XXHHHGG)()()(sGsGsGXXX分解成并将111( )()( )( )()XXXH sHsGsGsGs二，白化滤波器二，白化滤波器)(H)(XG1)(YG则有：由于：在任意输入 条件下，构造一稳定的系统 ，使输出为白噪声)()(sGGXX换成将选择 ， 中一个极点位于S的左半平面的做为)(1sGX)(1sGX)(sH习题：习题：4

28、-11、 4-12 4.4 4.4 白噪声通过线性系统的分析与“等效噪声带宽”4.4.1 白噪声通过线性系统白噪声通过线性系统( )( )XXGF2020( )|( )|2( )|( )|0YYNGHFNH，可见，白噪声通过线性系统后，输出信号的功率谱密度主要由系统 来决定。不再是白噪声。一，输出信号的功率谱密度一，输出信号的功率谱密度2| )(|H)(H2)(0NGX0)(H0.707半功率点带宽2f（角频率）000( )XFN( )YF( )YG在时域求2200011( )( )( ) cos222YNjRHedN Hd 0000( )( )( )()( )()22( ) ()2YNNRh

29、hhhNh u h udu 二，输出信号的自相关函数二，输出信号的自相关函数在频域求三，输出信号的平均功率三，输出信号的平均功率220000( )( )22YNNHdhu duP在频域求在时域求)(YG4.4.2 等效噪声带宽等效噪声带宽)(H)(IH( )YIG实际理想输入白噪声输出限带白噪声等效等效在输入白噪声的情况下，若用在输入白噪声的情况下，若用一个理想系统去等效一个理想系统去等效一个一个实际系统实际系统，那么那么理想系统输出的限带白噪声则等效该实际系统的输出理想系统输出的限带白噪声则等效该实际系统的输出。由于去。由于去等效等效实际系统实际系统，那么实际系统的那么实际系统的“带宽带宽”

30、就决定了就决定了这个这个理想系统理想系统的的“带宽带宽” ，也决定了，也决定了等效的限带白噪声功率谱密度的等效的限带白噪声功率谱密度的“带宽带宽”。这等效的限带白噪声带宽这等效的限带白噪声带宽 称为实际系统的称为实际系统的“等效噪声带宽等效噪声带宽”。ee2)(0NGNe1、等效的等效的理想系统输出的平均功率必须等于实际系统输出的平均理想系统输出的平均功率必须等于实际系统输出的平均 MaxIHKH)()(一、等效的原则一、等效的原则二、等效噪声带宽的计算（二、等效噪声带宽的计算（等效的限带白噪声 的“带宽”）200|( )|2YNHdP2220000020( )222( )2eIIeeMaxN

31、NNHdK dKNHPIYPP令：200222( )( )( )YMaxMaxHdNeHHP有：IYPP功率功率2、等效的理想系统的增益必须等于实际系统的最大增益、等效的理想系统的增益必须等于实际系统的最大增益低通滤波器的等效噪声带宽为：带通滤波器的等效噪声带宽为：2002)()(HdHe202)0()(HdHe由于1、在频域中计算、在频域中计算2、利用、利用 计算计算200222( )( )( )YMaxMaxh u duNeHHP则：2200002( )( )2YYNhu duhu duNPP( )h t对低通滤波器而言对带通滤波器而言2002)()(dtthdtthe000)()()0(

32、dtthdtethHtj000)()(dtethHtj20020)()(dtethdtthetj三、随机信号的三、随机信号的等效噪声带宽等效噪声带宽据等效原则 由此，平稳过程就可以等效一个“限带白噪声限带白噪声”。2| )(|1)(HGXMaxXMaxGH)(| )(|2(1)我们把任一个平稳过程 看作是一白噪声通过系统的输出。(2)将此系统 等效一个理想系统 。)(H白噪声1)(NG)(XGe( )H( )IH( )H( )IH限带白噪声20|( )|2MaxYeNHP20002|() |()()|() |() |() |XXMaxXMaxXMaxHdGdFdeHGF因此，平稳过程的等效噪声

33、带宽平稳过程的等效噪声带宽为：(3)当输入白噪声 时，系统输出的平均功率 也可以由其等效噪声带宽 来求。YPe0( )2NNG例例4.9解：2222( )( )(0)1( )( )()MaxbHHHbjbbbHHHbjbjb对前（例4.6）中的RC电路，求其等效噪声带宽。feef2.222| )(| )(|0222202bdbbHdHeMax12bfRC 系统的半功率点带宽三、三、 与与 的比较的比较ee系统半功率点的通频带（角频率形式），用来表示系统在频域上对信号振幅振幅及相位相位的选择范围。等效噪声带宽（角频率形式），用来表示系统在频域上对信号的平均功率平均功率的选择范围。因此， 均由系统

34、本身决定。同一系统的这两个不同参数有着密切联系。图4.14给出了7种不同滤波器的 与 之间，eee滤波器在不同阶次n下的比值 。由图可见，当滤波器的级数越多时， 就越接近 。eeeOSNPPSY输出信号平均功率输出噪声平均功率X0)(0H| )(|0HXY2220|()|11SXHYP四，用等效噪声带宽来计算信噪比四，用等效噪声带宽来计算信噪比输出信噪比：01、在频域、在频域设：信号调谐在 上， 上的 增益为 。输出信号的有效值输出信号的平均功率输入信号的有效值当输入噪声为 的白噪声时，输出噪声的平均功率：20N200|()|2eYNHP22202000|()|()|22SeOeYXHSXNN

35、HNPP则输出信噪比：输入噪声的功率谱密度：)(1022)(2200HzVNGX6010)(H)(101023Hzfee问：当输出信噪比为100时，输入信号的有效值 应是多少？例例4.10 某接收机在调谐频率上的电压增益系统等效噪声带宽解：22041420100 2 102 104 10()2eONSXVN 272 10 ( )XXV X2、在时域（、在时域（输入信号为输入信号为 确定信号或为各态历经随机信号时）确定信号或为各态历经随机信号时） 设：输出信号为 ，输出噪声为)(tSo)(tNo)()(22tNEtSNSoooTToTodttSTtS)(21lim)(22则输出信噪比：其中 随机

36、噪声的平均功率随机噪声的平均功率确定信号或各态历经随机信号确定信号或各态历经随机信号的平均功率的平均功率(0)NR22( )( )oooE StSNE Nt随机信号的平均功率随机信号的平均功率4.4.3 白噪声通过理想线性系统白噪声通过理想线性系统一一. 白噪声通过理想低通系统白噪声通过理想低通系统2)(0NGX数学上物理上| )(|H| )(|H)(YG)(YF0)(NFX222222000000AA2200,0,0 |( )( )2220,0,YYN AN AGF其他其他2、输出信号的自相关函数：、输出信号的自相关函数：200020/211( )( )coscos22sin242YYRFd

37、N AdN A 1、输出信号的功率谱密度：、输出信号的功率谱密度：5、输出信号的相关时间、输出信号的相关时间220( )4YN AE YtPsin( )2( )(0)2YYYCC 000sin12( )22Yddf 3、输出信号的平均功率、输出信号的平均功率4、输出信号的自相关系数、输出信号的自相关系数 剧烈输出信号随时间变化越越短输出信号相关时间0缓慢输出信号随时间变化越越长输出信号相关时间00输出信号的相关时间 与理想系统的带宽 成反比。即与实际系统的等效噪声带宽 成反比。系统带宽 越宽 系统带宽 越窄e0二、白噪声通过理想带通系统二、白噪声通过理想带通系统AA2)(0NGX0)(NFX0220AN020AN0000200000000注：“窄带”的定义1、窄带系统窄带系统：系统的中心频率 系统带宽。2，窄带随机信号窄带随机信号：其功率谱密度的中心频率 e0等效噪声带宽。0e000)(XG)(H20002000,|( )2220,( )220,YYN AGN AF其他其他1、输出的功率谱密度、输出的功率谱密度( )2( )( )YYaRR低通)带通)其中为 的包络。002200220000(11( )( )coscos22sin22cos( ) cos422(