6-2牛莱公式及简单定积分计算PPT课件

1、1第第2节节 牛莱公式与简单定牛莱公式与简单定 积分计算积分计算一、一、 问题的提出问题的提出二、二、 积分上限函数及其导数积分上限函数及其导数 三、三、牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式四、四、凑微法凑微法简单积分计算简单积分计算五、小结五、小结2变速直线运动中路程为变速直线运动中路程为 21)(TTdttv另一方面这段路程可表示为另一方面这段路程可表示为)()(12TsTs 2121( )()().TTv t dts Ts T ( )( ). s tv t 设某物体作直线运动设某物体作直线运动, ,已知速度已知速度)(tvv 是是时间间隔时间间隔上上 t 的一个连续函数的一个连续函数, ,

2、且且0)( tv, ,求物体在这段时间内所经过的路程求物体在这段时间内所经过的路程. . 12,T T一、问题的提出一、问题的提出3dttfdttfxaxxa )()(定理定理6.2.16.2.1 二、积分上限函数及其导数二、积分上限函数及其导数( )( )xaF xf t dt 称称为为积分上限函数积分上限函数.性质：性质：证明证明()F xx F ( )xxaf t dt ()( )F xxF x 如果如果)(xf在在,ba上可积，则积分上上可积，则积分上限的函数限的函数在在,ba上连续上连续. .( )( )xaF xf t dt ,)( xxxdttf因为因为)(xf在在,ba上可积，

3、则上可积，则 在在,ba有界有界.)(xf4由积分中值定理得由积分中值定理得( )Ffx ,xxx 由极限性质知由极限性质知,00limlim( )0 xxFfx 由连续函数定义知由连续函数定义知,ba上连续上连续. .函数函数在在( )( )xaF xf t dt 定理定理6.2.2 (6.2.2 (连续函数的原函数存在定理）连续函数的原函数存在定理） 如果如果)(xf在在,ba上连续，则积分上上连续，则积分上限的函数限的函数在在,ba可导，且它的导数为可导，且它的导数为( )( )xaF xf t dt ( )( )( )xadFxf t dtf xdx )(bxa 定理的重要意义：定理的

4、重要意义：(1)(1)肯定了连续函数的原函数是存在的肯定了连续函数的原函数是存在的. .(2)(2)初步揭示了积分学中的定积分与原函数初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系之间的联系. .5证明证明F ()( )F xxF x ,)( xxxdttf( )Ffx ,xxx xx , 0( ),Ffx ( )Fx 0limxFx 证毕证毕.0lim( )xf ( ).f x 由函数由函数 的连续性和积分中值定理得的连续性和积分中值定理得)(xf由定理由定理6.2.1的证明知的证明知,对区间端点的情况用单侧导数说明即可对区间端点的情况用单侧导数说明即可.6求上限函数的导数应注意求上限函数的导

5、数应注意:( )( )( )xadxf t dtf xdx “”中的表达式是一样的中的表达式是一样的.例例1 求求.sin dttdxdxa 根据上限函数求导数公式得根据上限函数求导数公式得xadtdtdx sinx sin解解7 如如果果)(tf连连续续，)(xa、)(xb可可导导， 则则dttfxFxbxa )()()()(的的导导数数)(xF 为为 定理定理证明证明( )F xdttfxb )(0)(,)()(0dttfxa ( )Fx ( )Fx ( )( )f b xb x ( )( )f a xa x ( )( )f a xa x ( )( )f b xb x ( )( )( )b

6、 xa xdf t dtdx 0( )( )0( )b xa xf t dt 8例例 2 已知已知).(,)(xFdtexFxt 求求20解解 由上限函数的求导公式的由上限函数的求导公式的()Fx 例例3 设设dttxxx 231sinln)()(,求求).(x 解解 ( )x 22xxe 2331121xxxxx(sin)sincos(ln )22()xex 2(sin)x 31 (ln )x(ln )x 231 (sin)x9三、牛顿三、牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式定理定理 6.2.36.2.3（微积分基本公式）（微积分基本公式）又 dttfxxa )()(也是)(xf的一个原函数, 证明

7、证明CxxF )()(,bax ( )( )( )( )bbaaf x dxF bF aF x 令令ax ( )( ),F aaC 0)()( dttfaaa( ),F aC ,)()(CdttfxFxa ( )xaf t dt bx( )baf x dx ( )( ).F bF a ( )( ),F xF a 10( )baf x dx 微积分基本公式表明：微积分基本公式表明： ()baF x 注意注意当当ba 时时，)()()(aFbFdxxfba 仍仍成成立立. . 求定积分问题转化为求原函数的问题求定积分问题转化为求原函数的问题. .例例 4 求求.dxx 102解解 120 x dx

8、 13 3 1013x ( )( )F bF a 11例例 5 计算计算.dxx 2121解解 2211dxx 11122 211x 例例 6 下列计算是否正确下列计算是否正确?1211dxx 1 12 111x 解解 不正确不正确.因为因为,1112 在在x上不可积上不可积.被积函数在积分区间上为正被积函数在积分区间上为正,但积分值是负的但积分值是负的,与积分性质矛盾与积分性质矛盾.使用牛莱公式时使用牛莱公式时,一定要注意被积函数在一定要注意被积函数在积分区间上的可积性积分区间上的可积性.12例例 7 计算计算.cosdxx 2211 解解 2211cosdxx 注意注意:恒等变形时恒等变形

9、时,一定要使被积函数有意义一定要使被积函数有意义.2222x tan例例 8 计算计算 .cosdxx 221 解解 原式原式dxx 22222 sindxx 2222 sin022sin2xdx 2002222222 xxcoscos 424 注意注意: 计算定积分开根号时计算定积分开根号时,一定要带绝对值一定要带绝对值.202sin2xdx 222122cosdxx 13练习练习：201x xdx dxxxdxxx)()(112110 1 注意注意:当被积函数带有绝对值时当被积函数带有绝对值时,先去绝对值先去绝对值.例例1111 求求 .,max222 dxxx解解,max)(2xxxf

10、220 xx 01xx212xx 022x dx 原原式式.211 10 xdx 2 21x dx 四、简单定积分的计算四、简单定积分的计算-凑微法凑微法14例例1212 计算计算.sincos205 xdxx解解,cosxt 2 x, 0 t0 x, 1 t 205sincosxdxx 015dtt1066t .61 ,sin xdxdt 解解例例1313 计算计算.sinsin053 dxxxxxxf53sinsin)( 23sincosxx 053sinsindxxx 023sincosdxxx 2023sincosdxxx 223sincosdxxx 2023sinsinxdx 223

11、sinsinxdx 2025sin52 x 225sin52x.54 15解解例例1414 计算计算.)ln1(ln43 eexxxdx原式原式 43)ln1(ln)(lneexxxd 43)ln1(ln)(lneexxxd 432)ln(1ln2eexxd 43)lnarcsin(2eex .6 例例15 设函数设函数 为连续的奇函数为连续的奇函数,)(xf且已知且已知,)(adttf 10求积分求积分 的值的值.10()fxdxx 解解1100()2()fxdxfx dxx 102()fx dx 102( )2f u dua 16例例16 (030204) 设设440012tan,tanx

12、xIdx Idxxx, 则则( )12()1A II 12( )1BII21()1C II 21()1DII 解解因为当因为当 时时,0,4x x 故故tan xx401tan xIdxx 40tanxdxx 2I 这便排除了选项这便排除了选项(C)和和(D).,tanxx sin xtan , x 又令又令tan( ),xf xx 则则22sincoscosxxxxx 即即 在在 单调增加单调增加,( )f x0,4 0. 22sectanxxxx ( )fx 17有有tan xx故故/401tan xIdxx /4041,dx 即选项即选项(B)正确正确.tan(/4)/4 4, 18五、

13、综合题五、综合题(1) 求导数求导数例例已知函数已知函数)(xyy 由方程由方程011100202 dxxdttdttxy)ln(sin确定。求确定。求).(xy 解解方程两边关于求导数得方程两边关于求导数得x0122 xyysin解得解得y 22sin1xy 19解解()yx 2t cot22tt cossin例例已知已知)(xyy 由参数方程由参数方程 ttduuyduux0202cossin求求).(xy 确定，确定， 2020cossinttu dtu dt 20例例 求求.lim21cos02xdtextx 解解 1cos2xtdtedxd,cos12 xtdtedxd)(cos2c

14、os xex,sin2cos xex 21cos02limxdtextx xexxx2sinlim2cos0 .21e 00分析：这是分析：这是 型不定式，应用洛必达法则型不定式，应用洛必达法则. .(2)求不定式的极限求不定式的极限21(3) 利用牛顿莱布尼兹公式及定积分定利用牛顿莱布尼兹公式及定积分定义求和式极限义求和式极限例例6求求lim22222212111nnnnnn 解解原式原式lim22222212111111nnnnnn 12011dxx 1arctan 4 22证明证明 xdtttfdxd0)(),(xxf xdttfdxd0)(),(xf ( )Fx (4) 证明单调性、方

15、程的根证明单调性、方程的根 0020( )( )( )( )( )xxxxf xf t dtf xtf t dtf t dt 23 020 xxf xxt f t dtf t dt ( )() ( ),( )0(, 0)( xxf, 0)(0 xdttf, 0)()( tftx0() ( )xxt f t dt ).0(0)( xxF故故)(xF在在), 0( 内内为为单单调调增增加加函函数数. . ( )Fx 0020( )( )( )( )( )xxxf xxf t dtf xtf t dtf t dt 0 24提示提示：, 1)(2)(0 dttfxxFx25 例例(040403) 设设

16、 1,0( )0,0,1,0 xf xxx 0( )( ),xF xf t dt ( (A) ) 在在 点不连续点不连续. .( )F x0 x ( (B) ) 在在 内连续内连续, 在在 点不可导点不可导( )F x(,) 0 x ( (D) ) 在在 内可导内可导, 但不一定满足但不一定满足( )F x(,) ( (C) ) 在在 内可导内可导, 且满足且满足( )F x(,) ( )( )Fxf x ( )( )Fxf x (5) 求函数关系并讨论其连续性求函数关系并讨论其连续性则则( )( )26当当 时时, 0 x 当当 时时, 显然显然0 x ( )F x(0)0;F 当当 时时,

17、 0 x ( )1Fx 解解( )F x0lim( )xF x 在在 处连续处连续 ( )F x0 x 当当 时时, 0 x ( )1Fx 当当 时时, 0 x 在在 处不可导处不可导. 故故B正确正确 ( )F x0 x 0( 1)xdt 01xdt x x 00lim( )xF x 0( )xf t dt 0( )xf t dt (0)F 273.3.微积分基本公式微积分基本公式1.1.积分上限函数积分上限函数 xadttfx)()(2.2.积分上限函数的导数积分上限函数的导数( )( )xf x 牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系分学之间的关系

18、( )( )( )baf x dxF bF a 五、小结五、小结28思考题思考题)()(xfdttfdxdxa )()(xfduufdxdbx 思考题解答思考题解答29, ,a b c30sinlim(0).ln(1)xxbaxxc ctdtt 0 x sin0,axx 30sinlim0ln(1)xxbaxxtdtt xbxtdtt 30ln(1)lim0(*)思考思考30 ,0)b0,b 3ln(1)0;tt 0,b 3ln(1)0;tt (0, b0.b 30sinlimln(1)xxbaxxtdtt xaxxx 30coslimln(1)20coslim.xaxx 1,a , 1,a

19、1/2.c 31一一、 填填空空题题： 1 1、 baxdxedxd22= =_ _ _ _ _ _ _ _ . . 2 2、 xadxxfdxd)(_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . . 3 3、 223)1ln(xdtttdxd_ _ _ _ _ _ _ _ . . 4 4、 20)(dxxf_ _ _ _ _，其其中中 21,210,)(2xxxxxf . . 5 5、设设 ,coscos1nxdxmxI dxnxmx sinsin，练练 习习 题题32（1 1） 、当） 、当nm 时，时， 1I= =_ , ,2I= =_ _ ，（2 2） 、当） 、当nm 时，时，1I=

20、 =_ ,_ ,2I= =_ . . 6 6、设、设,sincos nxdxmx（1 1） 、当） 、当nm 时，时，3I= =_ _ , ,（2 2） 、当） 、当nm 时，时，3I= =_ . . 7 7、 94)1(dxxx_ . . 8 8、 33121xdx_ . . 9 9、 xdttxx020coslim_ . .33二、二、 求导数：求导数：1 1、 设函数设函数)(xyy 由方程由方程0cos00 xyttdtdte所确所确定，求定，求dxdy ；2 2、 设设 12122,ln,lnttuduuyuduux)1( t, ,求求22dxyd ；3 3、 xxdttdxdcossin2)cos( ；4 4、设、设 2031)(xxdxxg，求，求)1(g . . 34三、三、 计算下列各定积分：计算下列各定积分：1 1、 2122)1(dxxx; 2; 2、 212121xdx; ;3 3、 012241133dxxxx; 4; 4、 20sindxx . .四、四、 求下列极限：求下列极限：1、 xtxtxdt