信号检测与估计教学资料第三章信号检测与估计4new

1、1大家晚上好23.9 3.9 一般高斯信号的统计检测一般高斯信号的统计检测基本要求基本要求 如果对所有的假设如果对所有的假设h hj j，信号的概率密度函数都，信号的概率密度函数都是高斯概率密度函数，则称此类信号的检测为是高斯概率密度函数，则称此类信号的检测为一一般高斯信号的统计检测般高斯信号的统计检测. .了解一般高斯分布的联合概率密度函数了解一般高斯分布的联合概率密度函数掌握一般高斯分布的统计检测方法掌握一般高斯分布的统计检测方法33.9 一般高斯信号的统计检测一般高斯信号的统计检测nxxx,21x若一个若一个n维随机矢量维随机矢量的各分量是联合高斯分布的各分量是联合高斯分布nxxx,21

2、x则称则称是是n维高斯随机变量。维高斯随机变量。 xdefxxxnex,21 xcxxxdeftxxecov xxxxxcxcx12/12/21exp21tnp1.一般高斯分布的联合概率密度函数一般高斯分布的联合概率密度函数43.9 一般高斯信号的统计检测一般高斯信号的统计检测nxxx,21x对信号进行对信号进行n次观察，得到次观察，得到nxxx,21x是是n维高斯随机变量。维高斯随机变量。0002010,xxdefxxxnhe0000 xxxcxxxdeftehcov0000101/2/211exp22tnphxxxxxx cxc假设假设2.一般高斯二元信号的统计检测一般高斯二元信号的统计检

3、测在在h0为真的条件下，有为真的条件下，有53.9 一般高斯信号的统计检测一般高斯信号的统计检测nxxx,21x对信号进行对信号进行n次观察，得到次观察，得到nxxx,21x是是n维高斯随机变量。维高斯随机变量。1112111,xxdefxxxnhe1111xxxcxxxdeftehcov11112/112/121exp21xxxxxcxcxtnhp假设假设在在h1为真的条件下，有为真的条件下，有63.9 一般高斯信号的统计检测一般高斯信号的统计检测根据贝叶斯检测准则根据贝叶斯检测准则 1001hhhphpxxx 01002/102/11112/112/21exp2121exp21xxxxxx

4、xxxcxcxcxcxtntn可得到可得到73.9 一般高斯信号的统计检测一般高斯信号的统计检测 111101002121lnxxxxxxxcxxcxxtt10ln21ln21xxcc 01002/102/11112/112/21exp2121exp21xxxxxxxxxcxcxcxcxtntn83.9 一般高斯信号的统计检测一般高斯信号的统计检测10111101002121hhttxxxxxxxcxxcx1011lnlnln22xxcc93.9 一般高斯信号的统计检测一般高斯信号的统计检测ln212110111010hhttxxxxxxxcxxcx2.1等协方差矩阵的情况等协方差矩阵的情况x

5、xxccc011110102121xxxxxxxcxxcxtt1110101011212221xxxxxxxxxxccxcxctttt11010111012ttttxxxxxxxxx c cxc103.9 一般高斯信号的统计检测一般高斯信号的统计检测ln212110111010hhttxxxxxxxcxxcx2.1等协方差矩阵的情况等协方差矩阵的情况xxxccc0111101010121ln10 xxxxxxxxxccxctthhtt xcxxxx101ttl11101021lnxxxxxxcctt113.9 一般高斯信号的统计检测一般高斯信号的统计检测2.2等协方差矩阵时，检测性能分析等协方

6、差矩阵时，检测性能分析 xcxxxx101ttl11101021lnxxxxxxcctt0101010101010 xxxxxxxxxxcxcxctttttthehehle1101110111011xxxxxxxxxxcxcxctttttthehehle1011010ttvar l hvar l hxxxxxc123.9 一般高斯信号的统计检测一般高斯信号的统计检测01010 xxxxctthle11011xxxxctthle0110110 xxxxxctthlvarhlvar2ln01ddqhhp2ln11ddqhhp12012hlvarhlehleddef01101211010101xxx

7、xxxxxxxxxxccctttttt11010ttxxxxxc2.2等协方差矩阵时，检测性能分析等协方差矩阵时，检测性能分析均值偏移高斯均值偏移高斯-高斯问题高斯问题13a 设等协方差矩阵中的各元素满足设等协方差矩阵中的各元素满足 在这种特殊情况下意味着各次观测信号在这种特殊情况下意味着各次观测信号x xk k之间互不相关，因而也统计独立，且各个之间互不相关，因而也统计独立，且各个分量分量x xk k的方差都相等的方差都相等14于是在两个假设下的协方差矩阵为于是在两个假设下的协方差矩阵为其逆矩阵为其逆矩阵为15则检验统计量则检验统计量l(x)l(x)为为检测门限为检测门限为偏移系数偏移系数d

8、 d2 2为为1601210113.9.1(0,),(1)(2)(|)(|)kkkkkknkhxnhxsnnnsp hhp hh 例考虑高斯白噪声中简单二元信号的检测问题，两个假设分别为：信号在通信系统传输过程中叠加了高斯噪声信号 已知。求判决表示式；求判决概率，。17b 设等协方差矩阵中的各元素满足设等协方差矩阵中的各元素满足 在这种特殊情况下意味着各次观测信在这种特殊情况下意味着各次观测信号号x xk k之间互不相关，因而也统计独立，且之间互不相关，因而也统计独立，且各个分量各个分量x xk k的方差不相等的方差不相等18两个假设下的协方差矩阵为两个假设下的协方差矩阵为其逆矩阵为其逆矩阵为

9、19因此，其检验统计量为因此，其检验统计量为20显然在上式中，具有小方差的观测信号分量加权越重，显然在上式中，具有小方差的观测信号分量加权越重，对检验统计量对检验统计量l(x)l(x)的贡献越大，检测门限为的贡献越大，检测门限为偏移系数偏移系数d d2 2为为21001101hhxxxx如果进一步假定，假设下的均值矢量中的各分量都等于，假设下的均值矢量中的各分量都等于，则有偏移系数偏移系数d d2 2为为小方差对小方差对l(x)l(x)贡献贡献大大22这两种特殊结构的协方差矩阵形式，信号统计这两种特殊结构的协方差矩阵形式，信号统计检测的判决式的检验统计量检测的判决式的检验统计量l(x)l(x)

10、和检测门限都和检测门限都是简明的表示式，决定检测性能的参数是简明的表示式，决定检测性能的参数d d2 2也可也可以简单求得。有两个简单特点。以简单求得。有两个简单特点。1 观测信号互不相关2 协方差矩阵为对角矩阵23c c 观测信号观测信号x xk k之间是相关的之间是相关的其主要思路就是将这种情况下的协方差矩阵变其主要思路就是将这种情况下的协方差矩阵变换为对角阵。变相关为不相关。换为对角阵。变相关为不相关。24 因为协方差矩阵因为协方差矩阵c cx x是对称的正定阵，利用是对称的正定阵，利用对称矩阵的正交变换定理，将协方差矩阵对称矩阵的正交变换定理，将协方差矩阵c cx x变变换为对角阵。这

11、也是我们以前线性代数中的知换为对角阵。这也是我们以前线性代数中的知识。识。t为对角矩阵， 为正交矩阵25对角矩阵 表示为其逆矩阵为26xcni矩阵中的元素 是矩阵的特征方程的 个特征根。t正交矩阵 表示为27是由齐次线性方程组ncn12nx求出的 个线性无关的特征矢量a ,a ,.a经过正交化、单位化后获得的的 个线性无关两两正交的单位矢量。u是线性方程组的变量。28cxx在协方差矩阵对角化为 后，观测信号矢量 、均值矢量、均值差矢量也需要进一步的正交化处理式中29tt这说明，正交化观测矢量x 的各个分量是互不相关的，x是高斯随机矢量，所以x 仍为高斯随机矢量，统计独立。30正交化均值矢量为式中31正交化均值差矢量为式中32检验统计量和检测门限为2偏移系数d 为33010111211201ttn2x ,x1, 111hhcxxxxxxxxccc 例3.9.2 已知一般高斯二元信号统计检测是属于不等均值矢量、等协方差矩阵的情况，且观测次数 。若观测信号的协方差矩阵为假设下和假设下的均值矢量为（0，0）（，）试通过对角化的方法建立检验统计量和检测门限，并求偏移系数。343.9 一般高斯信号的统计检测一般高斯信号的统计检测101110