研究生数值(17,18)

1、从多项式插值的余项估计式从多项式插值的余项估计式(1)1( )( )( )(1)!nnnfRxxn 可以看出余项的大小既与插值节点的个数可以看出余项的大小既与插值节点的个数n+1有关，也与有关，也与f (x)的高阶导数有关。的高阶导数有关。 以拉格朗日插值为例，如果以拉格朗日插值为例，如果f (x)在区间在区间a，b上存在任意阶导数，且存在于上存在任意阶导数，且存在于n无关的常数无关的常数M3 样条插值样条插值1 高次插值的误差分析高次插值的误差分析 即在即在a，b上函数上函数f(x)要有高阶导数，而且要有高阶导数，而且高阶导数要有一致的界。高阶导数要有一致的界。 可以看出，当插值节点的个数越

2、多，误差越可以看出，当插值节点的个数越多，误差越小，我们还不能简单的认为对所有的插值问题当小，我们还不能简单的认为对所有的插值问题当插值节点的个数越多，误差就越小。插值节点的个数越多，误差就越小。 上面的估计式是有条件的。上面的估计式是有条件的。(1)m ax()naxbfxM则由则由式有式有 1max( )( )()0()(1)!nna x bMf xL xb ann 使得使得 例如，例如，对于给定区间对于给定区间-1,1上的函数上的函数21( )125g xx可以证明可以证明()1115m ax()()!2626nnxgxn 取等距节点，譬如把取等距节点，譬如把-1,1等分，分点为等分，分

3、点为210,1,1010jjxj 可以构造可以构造10次插值多项式，用拉格朗日公式有次插值多项式，用拉格朗日公式有10100( )() ( )iiiLxg x lx其中其中10201(), ( )125jiijiijj ixxg xl xxxx计算结果列于下表，并作草图计算结果列于下表，并作草图x211 25x10( )Lxx21125x10( )Lx-1.00-0.96-0.90-0.86-0.80-0.76-0.70-0.66-0.60-0.56-0.500.038460.041600.047060.051310.058820.064770.075470.084100.100000.113

4、120.137930.038461.804381.578720.888080.05882-0.20130-0.22620-0.108320.10000.198730.25376-0.46-0.40-0.36-0.30-0.26-0.20-0.16-0.10-0.06-0.000.158980.200000.235850.307690.371750.500000.609760.800000.917431.000000.241450.199990.188780.235350.316500.500000.643160.843400.940901.00000从图中可以看出，用从图中可以看出，用10(

5、)Lx10( 0.86)0.05131,( 0.86)0.88808;fL 10( 0.96)0.04160,( 0.96)1.80438fL近似代替近似代替 f (x) 时，时，只有当只有当x在区间在区间-0.2,0.2内，逼近程度较好，在其内，逼近程度较好，在其它地方误差就很大，特别在端点附近，误差就更它地方误差就很大，特别在端点附近，误差就更大。如大。如 对于高次插值所发生的这种现象对于高次插值所发生的这种现象,称为龙格称为龙格(Runge)现象。它表明加密节点并不能保证所得到的插值多项现象。它表明加密节点并不能保证所得到的插值多项式能更好地逼近式能更好地逼近f(x) 。由于以上原因，一

6、般都避免使。由于以上原因，一般都避免使用高次插值，常用的方法就是分段低次插值。用高次插值，常用的方法就是分段低次插值。当给定了当给定了n+1个节点个节点01nxxx上的函数值上的函数值01,nyyy后，若要计算点后，若要计算点()ix xx处函数处函数 f(x)的近似值，可先选取两个的近似值，可先选取两个1ix和和ix，使，使1,iixxx然后在区间然后在区间1,iixx上上作线性插值，即得作线性插值，即得11111( )( )iiiiiiiixxxxf xLxyyxxxx2 分段线性插值与分段二次插值分段线性插值与分段二次插值这种分段低次插值称为这种分段低次插值称为分段线性插值分段线性插值。

7、节点节点 类似地，为求类似地，为求f(x)的近似值，也可选取距点的近似值，也可选取距点x最近的最近的3个节点个节点 进行二次插值，即取进行二次插值，即取11,iiixxx11211( )( )()iijkkij ikjjkxxf xLxyxx 在几何上就是用分段抛物线代替曲线，故分在几何上就是用分段抛物线代替曲线，故分段二次插值又称为抛物线插值。段二次插值又称为抛物线插值。这种分段低次插值叫这种分段低次插值叫分段二次插值分段二次插值。 在几何上就是用在几何上就是用折线代替曲线，故分段线折线代替曲线，故分段线性插值又称为折线插值。性插值又称为折线插值。 对于给定的对于给定的n+1个节点，求函数的

8、近似值，可以个节点，求函数的近似值，可以作作n次插值多项式，次插值多项式，当当n较大时，高次插值不仅计算较大时，高次插值不仅计算复杂，而且还可能出现高阶导数不一致收敛的现象复杂，而且还可能出现高阶导数不一致收敛的现象; 若采用分段插值，虽计算简单，也具有一致收若采用分段插值，虽计算简单，也具有一致收敛性，但光滑性比较差敛性，但光滑性比较差. 有些实际问题，比如：船体放样，飞机的机翼有些实际问题，比如：船体放样，飞机的机翼设计等要求二阶光滑度设计等要求二阶光滑度(有二阶的连续导数有二阶的连续导数)。过去，。过去，工程师制图时，往往用一根富有弹性的木条（称为工程师制图时，往往用一根富有弹性的木条（

9、称为样条），把它用压铁固定在样点上，其他地方让它样条），把它用压铁固定在样点上，其他地方让它自由弯曲，然后画一条曲线，称为样条曲线。自由弯曲，然后画一条曲线，称为样条曲线。 3 三次样条插值三次样条插值 它实际上是由分段三次曲线连接而成，在连接它实际上是由分段三次曲线连接而成，在连接点处有二阶连续导数。我们对工程师描绘的点处有二阶连续导数。我们对工程师描绘的样条曲样条曲线线，抽象成数学模型，得出的函数称为，抽象成数学模型，得出的函数称为样条函数样条函数，它实质上是分段多项式的光滑连接。它实质上是分段多项式的光滑连接。 下面我们主要讨论常用的下面我们主要讨论常用的三次样条插值函数三次样条插值函数

10、。定义定义4 对于给定函数表对于给定函数表x0 x1xnx( )f x0y1yny其中其中01naxxxb，若函数，若函数S(x)满足条件满足条件（1）S(x)在每个子区间在每个子区间1,iixx(1,2, )in（2 ）在区间在区间a,b上都连续；上都连续；（3） (0,1,2, )in则称则称S(x)为函数为函数f(x)关于节点关于节点01,nxxx的的三次样条插值函数三次样条插值函数。上都是不高于三次的多项式；上都是不高于三次的多项式；iiyxS)()(),(),(xSxSxS 10 条件条件(1)表明表明S(x)是一个分段三次多项式。是一个分段三次多项式。( )iS x若用若用 表示表

11、示S(x)在第在第i个子区间个子区间1,iixx上的表达式，则上的表达式，则( )iS x形如形如23( )iiiiiS xabxc xd x1,iixxx其中其中,iiiiabcd为待定系数。为待定系数。子区间共有子区间共有n个，这样的待定个，这样的待定系数共有系数共有4n个。个。20 根据条件（根据条件（2）和（）和（3），要求分段），要求分段三次多项式函数三次多项式函数S(x)及其一、二阶导数及其一、二阶导数( ),( )S xSx在区间在区间a,b上都连续，只要上都连续，只要ix(1,2,1)in它们在各个子区间的连接点它们在各个子区间的连接点上连续即可。上连续即可。因此，可得这些待定

12、系数满足的因此，可得这些待定系数满足的4n-2个方程组个方程组(0)(0)(1,2,1)(0)(0)(1,2,1)(0)(0) (1,2,1)()(0,1,2, )iiiiiiiiS xS xinSxSxinSxSxinS xyin 这个方程组共这个方程组共给出了给出了4n-2个条件个条件，而要唯一，而要唯一确定三次样条插值函数确定三次样条插值函数S(x) ，需要确定需要确定4n个系数个系数，因此因此还必须附加两个条件还必须附加两个条件，通常情况是，通常情况是给出区间给出区间端点上的性态端点上的性态，称为，称为边界条件边界条件或或端点条件端点条件。(1) (1) 给出两端处的一阶导数给出两端处

13、的一阶导数 00(),()nnSxySxy(2) (2) 给出两端处的二阶导数给出两端处的二阶导数 00(),()nnSxySxy其中一种特殊情况是其中一种特殊情况是0()()0nSxSx较基本而又常见的边界条件有如下较基本而又常见的边界条件有如下2种：种：称为自然边界条件。满足自然边界条件的三称为自然边界条件。满足自然边界条件的三次样条插值函数称为自然样条插值函数。次样条插值函数称为自然样条插值函数。 这样由给定的一种边界条件和插值、连接这样由给定的一种边界条件和插值、连接条件，就能得到条件，就能得到4n个方程，可以唯一确定个方程，可以唯一确定4n个个系数。然而用待定系数法去求解，当系数。然

14、而用待定系数法去求解，当n较大时，较大时，计算量很大，这是不可取的。计算量很大，这是不可取的。注意到注意到( )( )iS xSx在子区间在子区间1,iixx上是三次多项式，上是三次多项式，知知()Sx在此小区间上在此小区间上为此，我们希望找到一种简单的构造方法。为此，我们希望找到一种简单的构造方法。是一次多项式。是一次多项式。如果在小区间如果在小区间1,iixx的的2个端点上的值能知道，个端点上的值能知道， 设设11(),()iiiiSxMSxM则则( )iSx的表达式可以写成：的表达式可以写成：1111( )iiiiiiiiixxxxSxMMxxxx1,iixxx若记若记1iiihxx，则

15、，则 11( )iiiiiiixxxxSxMMhh1,iixxx将将( )iSx积分积分2次，得到带有次，得到带有2个任意常数个任意常数ic和和id的的( )iSx表达式表达式33111()()()()66iiiiiiiiiixxxxMMc xxdxxhh iiiiiiiichxxMhxxMdxxSxS2)(2)()()(2121iiiiiiiiidxchxxMhxxMdxxSxS6)(6)()()(3131其中其中式中式中ic和和id可由插值条件可由插值条件11()iiiS xy与与( )iiiS xyic和和id满足满足2211111(), ()66iiiiiiiiiiiiS xMhc h

16、yS xM hd hy求得求得 22111111(),()66iiiiiiiiiicyMhdyM hhh即要求即要求iiicdc确定，确定，整理后可得，用整理后可得，用1iM和和iM来表示来表示( )iS x的公式的公式3321111()()( )()666iiiiiiiiiiiixxxxMxxS xMMyhhhh21()6iiiiiMxxyhh1(,1,2, )iixxxin（）这样就将求这样就将求n个函数个函数( )iS x(1,2, )in的问题转化为求的问题转化为求n+1个未知数个未知数iM(0,1,2, )in的问题了。的问题了。为了求得为了求得iM(0,1,2, )in 1. 采用

17、三次样条函数在节点的二阶导数值作为参数采用三次样条函数在节点的二阶导数值作为参数记记()iiSxM(0,1,2, )in可得到以可得到以iM为参数的为参数的 “M表达式表达式”332211111()()( )()()6666iiiiiiiiiiiiiiiiixxx xMxxMx xS xMMyhyhhhhh1(,1,2, )iixxxin112iiiiiiMMMg(1,2,1)in111116,1,()iiiiiiiiiiiiiiihyyyyghhhhhh (1,2,1)in可得可得“M关系式关系式”（称三弯矩方程）（称三弯矩方程）（1）其中其中由一阶导数的连续性：由一阶导数的连续性：(0)(

18、0)iiSxSx1(0)(0)iiiiSxSx即即在给出插值区间两端处的二阶导数在给出插值区间两端处的二阶导数000()SxyM ()nnnSxyM条件下，（条件下，（1）式可表示成）式可表示成1111 02222222211112222nnnnnnnnnMgyMgMgMgy 由于系数矩阵按行严格对角占优，由于系数矩阵按行严格对角占优，方程组（方程组（1）存在唯一确定解。）存在唯一确定解。具体计算时，须先求样条插值函数表具体计算时，须先求样条插值函数表样条插值函数表样条插值函数表 ixiyihiiig0 x0y1x1y2x2y1nx1nynxny011xxh122xxh211nnnxxh1nn

19、nxxh111g222g1n1n1ngi012n-1n例例5 求三次样条插值函数求三次样条插值函数S(x)，已知，已知),(iiyx的值列于下表，并有边界的值列于下表，并有边界040 MM 。 i 0 1 2 3 4 x 0.25 0.3 0.39 0.45 0.53y 0.5 0.5477 0.6245 0.6708 0.728条件条件1(1,2,3,4)iiihxxi111116,1,()(1,2,3)iiiiiiiiiiiiiiihyyyygihhhhhh 解：解：由已知数表，按由已知数表，按得样条插值函数表得样条插值函数表iixiyihiiig51 491 4151()353525-3

20、.2667441()1353747-2.428617()7-4.314300.250.510.30.54770.0520.390.62450.0930.430.67080.0640.530.7280.08将各将各,iiig的值代入的值代入112( =1,2,3)iiiiiiMMMgi得方程组得方程组1212323924.3143143223.266755322.42867MMMMMMM 求得求得1231.8806,0.8226,1.0261MMM 由题有由题有040MM将各将各iM的值代入的值代入332211111()()( )()()6666iiiiiiiiiiiiiiiiixxx xMxx

21、Mx xS xMMyhyhhhhh1(,1,2,3,4)iixxxi得所求的三次样条插值函数得所求的三次样条插值函数53. 045. 0)45. 0( 1 . 9)53. 0(3987. 8)53. 0(1377. 2)(45. 039. 0)39. 0(1903.11)45. 0(417.10)39. 0(8503. 2)45. 0(3961. 3)(39. 03 . 0) 3 . 0(9518. 6)39. 0(1138. 6) 3 . 0(5974. 1)39. 0(4826. 3)(3 . 025. 0)25. 0(9697.10)3 . 0(10)25. 0(2687. 6)()(3

22、43333231xxxxxSxxxxxxSxxxxxxSxxxxxSxS记记( )(0,1,2, )iiS xmin可得到以可得到以im为参数的为参数的“m表达式表达式”22211111223() ()() ()() 2()( )iiiiiiiiiiiiiixxx xx xxxxxx xhS xmmyhhh213() 2()iiiiixxxxhyh1(,1,2, )iixxxin2. 如果采用三次样条函数在节点的一阶导数作为参数如果采用三次样条函数在节点的一阶导数作为参数由二阶导数的连续性：由二阶导数的连续性：(0)(0)iiSxSx即即 1(0)(0)iiiiSxSx112iiiiiimmm

23、c(1,2,1)in可得可得“ m关系式关系式”（称三转角方程）（称三转角方程）（2） ,ii同方程（同方程（1）111()()3iiiiiiiiiyyyychh (1,2,1)in在给出插值区间两端处的一阶导数在给出插值区间两端处的一阶导数000(),()nnnSxymSxym条件下，（条件下，（2）式可表示成）式可表示成其中其中1111 02222222211112222nnnnnnnnnmcymcmcmcy下面我们举例说明。下面我们举例说明。 由于系数矩阵严格按行对角占优，方程由于系数矩阵严格按行对角占优，方程组（组（2）存在唯一确定解。具体计算时，须）存在唯一确定解。具体计算时，须先求解插值函数表。先求解插值函数表。例例6 给定函数表给定函数表 x 0 1 4 5 y=f(x) 0 -2 -8 -4 求满足边界条件求满足边界条件4