食品价格波动的数学建模

1、题目：食品价格变动分析摘要食品价格是居民消费价格指数的重要组成部分，食品价格波动直接影响居民生活成本和农民收入，是关系国计民生的重要战略问题。本文针对食品价格的预测与分析问题，就2014年1月-2014年4月50个城市主要食品平均价格变动情况进行了数据分析，利用食品分类系统对27种主要食品进行了分类，并通过excle统计软件对价格的波动情况进行了数据汇总和散点图的制作，从而更加直观的描述价格变化，建立基于最小二乘法的多项式拟合函数模型，利用matlab应用软件进行了模型的求解，利用多元线性的回归命令regress进行了显著性检验，很好地解决了对食品波动特点的分析和2014年5月份食品价格走势进

2、行预测的问题。在数据分析之前，我们通常需要先将数据标准化。本文利用“最小最大标准化”的方法对原始数据进行了标准化处理，故可以不考虑27种食品的规格等级和计量单位对食品价格波动和预测的影响，从而简化了问题分析的复杂性，增加了数据分析的综合性。对于问题一， 因为食品种类的繁多使分析工作寸步难行，首先要对所涉及的主要食品进行分类，于是利用食品分类系统将食品分成7类，建立数据分析模型，利用excle做散点图进行价格变动分析对于问题二，鉴于数据标准化和平均化处理后的数据仍然杂乱无章，对其进行二次累加使其关联性更好的表现，找出其表现的规律性，在此基础上建立基于最小二乘法的多项式拟合模型， 利用三次多项式对

3、7类食品的相对价格走势进行拟合， 并依次用多元线性回归分析对7类食品拟合后的函数进行显著检验，通过拟合函数预测 2014年5 月的食品价格走势。最后是对模型的评价和推广，其中，利用固定属性的分类方法可以应用到多个领域，excle统计软件很好的描述了数据的变化，基于最小二乘法的多项式拟合精度很高，能够得到良好的预测结果，回归分析中的regress命令是十分有效的matlab检验工具，检验具有较强的实用和推广价值。关键词：食品分类系统 最小二乘法 回归分析 regress 多项式拟合一、问题重述食品价格是居民消费价格指数的重要组成部分，食品价格波动直接影响居民生活成本和农民收入，是关系国计民生的重

4、要战略问题。2000年以来，我国城镇居民家庭食品消费支出占总支出的比重一直维持在36%以上。在收入增长缓慢的情况下，食品价格上涨将使人民群众明显感到生活成本增加，特别是食品价格上涨将降低低收入群体的生活质量。为监测食品价格的实际变化情况，国家统计部门定期统计50个城市主要食品平均价格变动情况，数据见附件1。居民消费者价格指数（CPI），是根据与居民生活有关的产品及劳务价格统计出来的物价变动指标，通常作为观察通货膨胀水平的重要指标。附件2提供了近期居民消费者价格指数数据。请根据以上信息（附件中只是列出了近期食品价格以及CPI数据，如希望利用更长时间周期内的数据信息，请自行查找，但必须在论文中注明

5、数据来源！），建立数学模型解决以下问题：（1）根据附件以及相关统计网站的数据，分析我国食品价格波动的特点。（2）对2014年5月份食品价格走势进行预测。（3）目前统计部门需要监测大量食品价格变动情况以计算居民消费者价格指数变动情况，能否仅仅通过监测尽量少的食品种类（这里，食品种类是指附件1表格中的商品名称，可以认为每一种商品名称即为一种食品种类）价格即能相对准确地计算、预测居民消费者价格指数？在同样精度要求下，不同地区所选取的食品种类以及种类数目是否一致？请至少选择两个有特点的城市进行说明。二、模型假设(1)食品零售价格每十天的平均价格与食品每日的价格偏差很小；(2)食品的分类是按分类系统来划

6、分的 ，同类食品的价格波动幅度可大可小，只要总体趋势相同即可；(5)每一种食品的价格走势与每一大类的价格走势相同；(6)预测时不考虑极为特殊的情况引起的价格波动，如突发性的自然灾害（7）假设在所预测的时间范围内国家政府不采取能影响CPI正常走势的相关措施和制定相关法规。三、符号说明1、时间（以10天为一单位）2、拟合后的函数3、标准平均化后的价格4、累计一次的时间序列5、累计两次的时间序列6、P与F对应的概率四、问题一4.1问题分析该问题主要分析我国食品波动的特点，对27种食品一个一个的进行波动分析和特点描述显然是不现实的，它不能反映食品的波动，因此对食品分类描述就显得尤为重要。4.2建立模型

7、4.2.1食品分类：利用食品分类系统并结合附件1中所列的主要食品，可以将食品具体分为七大类：1、粮食及制品：规格等级为粳米的大米，标准粉和富强粉的面粉；2、豆制品：豆腐；3、食用油：压榨一级的花生油，5L桶装的大豆油，以及散装的菜籽油；4、肉及其制品：猪肉后腿肉，五花肉，牛肉，羊肉，白条鸡，鸡胸肉和白条鸭；5、蛋及其蛋制品：鸡蛋；6、水产类活鲤鱼，活草鱼，带鱼；7、蔬菜水果类大白菜，油菜，芹菜，黄瓜，西红柿，豆角，土豆，苹果，香蕉4.2.2数据分析模型：根据提供的数据，计算2014年1月-4月所给数据中每类食物的平均价格，利用excle统计软件绘制散点图，描述价格变化曲线，及各类食品的变化特点

8、结果如下：平均价格粮食及制品豆制品食用油肉及其制品蛋及其蛋制品水产类蔬菜水果类15.34.4317.4433334.4871428610.0620.216.7777777825.2866666674.4217.4933334.4385714310.0520.3566676.9744444435.34.4617.4933334.822857141021.3533337.9344444445.3033333334.4817.5134.844285719.8821.6066678.0855.3066666674.4617.5334.468571439.5820.9733337.5844444465.

9、3066666674.4617.5134.117142869.4120.7066677.4855555675.3066666674.4717.4866733.905714299.4620.5633337.4844444485.3133333334.4617.4566733.692857149.720.4733337.3295.3433333334.4717.4533333.495714299.7620.4466677.07888889105.3466666674.4817.3733333.334285719.7520.4533336.841）、特点：价格逐渐上升，幅度逐渐增大。2）、特点：中间

10、略有下降，整体表现为台阶型增长3）、特点：从 2014.1.1到 2014.2.20，食用油的价格逐渐上升，2014.2.20后持续下降4）、特点：前期价格稳定，有少许上升，后期持续下降，幅度越来越小。5）、特点：前期持续下降，达到最低点，后期有所回升。6）、特点，中间突然猛增，后期缓慢下降。7）特点： 大幅度增长后持续下降五、问题二5.1 问题分析要对2014年5月份食品价格走势进行预测，根据问题一中用食品分类系统将食品分为7类，因为每类食品中的单一一种价格走势大致一样，所以，只需预测每个大类食品价格的走势即可，考虑到每种食品的规格等级、 计量单位对食品均价走势的影响， 应先对数据进行标准化

11、和平均化，然后通过对原始数据的累加使其具有明显的变化趋势， 最后通过基于最小二乘法的多项式拟合模型对每类食品均价的走势进行拟合预测。5.2 模型二5.2.1 数据处理1、标准化因为同类食品的价格有高有低，为了简便起见，利用Min-max 标准化公式对同类食品价格进行标准化:min-max标准化方法是对原始数据进行线性变换。设minA和maxA分别为属性A的最小值和最大值，将A的一个原始值x通过min-max标准化映射成在区间0,1中的值x，其公式为：新数据=（原数据-极小值）/（极大值-极小值）2、平均化 因为蛋及其蛋制品、豆制品都只包含一种食品，所以直接使用标准化的数据，将剩余5类食品利用如

12、下公式求平均值使用平均化的数据作为时间序列的原始数据，利用matlab应用软件可以得到7类食品相对价格的散点图（如下图所示）图1观察散点图发现平均化后的数据杂乱无序，因此不能找到与之相吻合的拟合函数，为了使数据有较明显的变化趋势，我们对原始数据进行一次累加，通过原始数据累加后得到的六类食品价格波动的散点图(如下图所示)图2发现肉及其制品，蛋及其制品，水产品的食品价格波动的散点图的规律性仍然不强，为此我们对原始数据进行第二次累加， 再画出不同类食品的散点图（如下图所示）图3从图中发现7种不同种类食品价格走势都具有多项式函数的变化趋势，因此可以采用三次多项式进行回归分析，得到六类食品的多项式拟合图

13、（如下图所示）图45.2.2 模型的建立观察图形发现7类商品的拟合图和多项式函数图象很吻合，所以建立统一的多项式拟合模型： 三次多项式的拟合关系式： 表示表示第i类食品的拟合价格，x表示时间（每十天为一个时间点），a、b、c、d 为第i类食品拟合函数的待定系数5.2.3拟合及检验1、粮食及其制品对粮食及其制品标准化均价随时间的变化关系进行三次多项式拟合. 拟合关系式为：第1类食品拟合曲线的方程为:拟合曲线趋势变化分析：第1类食品价格走势采用三次抛物线拟合，通过拟合曲线图观察到拟合度相当高，与实际相符，故拟合曲线趋势变化符合实际. 为了进一步验证拟合函数的合理性，利用matlab应用统计进行多元

14、线性回归分析和检验（具体程序见附录）从几个方面都可以检验模型是有效的： ，越接近1，说明回归方程越显著;查F分布临界值表得，6.591，拒绝,F越大，说明回归方程越显著；0.05，拒绝，回归模型成立；观察残差图，除第二个数据外，其余数据的残差离零点均较近，且残差的置信区间均包含零点，故第二个数据可视为异常点。2、豆制品对豆制品标准化均价随时间的变化关系进行三次多项式拟合. 拟合关系式为：第2类食品拟合曲线的方程为:拟合曲线趋势变化分析：第2类食品价格走势采用三次抛物线拟合，通过拟合曲线图观察到拟合度相当高，与实际相符，故拟合曲线趋势变化符合实际. 为了进一步验证拟合函数的合理性，利用matla

15、b应用统计进行多元线性回归分析和检验（具体程序见附录）从几个方面都可以检验模型是有效的： ，越接近1，说明回归方程越显著;6.591，拒绝,F越大，说明回归方程越显著；6.591，拒绝,F越大，说明回归方程越显著；6.591，拒绝,F越大，说明回归方程越显著；0.05，拒绝，回归模型成立；观察残差图，除最后一个数据外，其余数据的残差离零点均较近，且残差的置信区间均包含零点。6、水产品拟合关系式为：第6类食品拟合曲线的方程为:拟合曲线趋势变化分析：第6类食品价格走势采用三次抛物线拟合，通过拟合曲线图观察到拟合度相当高，与实际相符，故拟合曲线趋势变化符合实际. 为了进一步验证拟合函数的合理性，利用

16、matlab应用统计进行多元线性回归分析和检验（具体程序见附录）从几个方面都可以检验模型是有效的： ，越接近1，说明回归方程越显著;6.591，拒绝,F越大，说明回归方程越显著；x0=x;Y1=y1;Y2=y2;Y3=y3;Y4=y4;Y5=y5;Y6=y6;Y7=y7; X=ones(10,1) x0,x0.2,x0.3;b1,bint1,r1,rint1,stats1=regress(Y1,X);b2,bint2,r2,rint2,stats2=regress(Y2,X);b3,bint3,r3,rint3,stats3=regress(Y3,X);b4,bint4,r4,rint4,st

17、ats4=regress(Y4,X);b5,bint5,r5,rint5,stats5=regress(Y5,X);b6,bint6,r6,rint6,stats6=regress(Y6,X); b7,bint7,r7,rint7,stats7=regress(Y7,X); b1,bint1,stats1b1 = 0.5473 -0.2657 0.0621 -0.0032bint1 = -0.1119 1.2066 -0.7599 0.2285 -0.0398 0.1640 -0.0093 0.0029stats1 = 0.8282 9.6448 0.0103 0.0193 b2,bint2,

18、stats2b2 = -0.5423 0.6451 -0.1047 0.0055bint2 = -1.5720 0.4873 -0.1267 1.4169 -0.2639 0.0545 -0.0040 0.0151stats2 = 0.7075 4.8374 0.0483 0.0470 b3,bint3,stats3b3 = 0.6697 -0.0276 0.0233 -0.0026bint3 = 0.2573 1.0820 -0.3367 0.2814 -0.0405 0.0870 -0.0064 0.0013stats3 = 0.8876 15.7887 0.0030 0.0075 b4,bint4,stats4b4 = -0.1127 0.5728 -0.1155 0.0062bint4 = -0.6596 0.4343 0.1629 0.9828 -0.2001 -0.0310 0.0011 0.0113stats4