函数单调性（一）

1、崇信县职业教育中心崇信县职业教育中心 关永强关永强 如图为宿迁市如图为宿迁市20062006年元旦年元旦2424小时内的气温变化图观小时内的气温变化图观察这张气温变化图：察这张气温变化图：问题问题1 1 怎样描述气温随时间增大的变化情况？怎样描述气温随时间增大的变化情况？问题问题3 3 在区间在区间4 4，1616上，气温是否随时间增大而增大？上，气温是否随时间增大而增大？问题问题2 2 怎样用数学语言来刻画上述时段内怎样用数学语言来刻画上述时段内“随着时间的增大随着时间的增大气温逐渐升高气温逐渐升高”这一特征这一特征？t1t2f(t1)f(t2)一般地，设函数一般地，设函数y f(x) 的定

2、义域为的定义域为A，区间，区间I A 如果对于区间如果对于区间I内的任意两个值内的任意两个值x1、x2，当，当x1x2时，都时，都有有f(x1)f(x2)，那么就说，那么就说yf(x)在区间在区间I上是单调增函数，上是单调增函数， I称为称为yf(x)的单调增区间的单调增区间 如果对于区间如果对于区间I I内的任意两个值内的任意两个值x1、x2，当当x1x2时时，都都有有f(x1)f(x2)，那么就说那么就说yf(x)在区间在区间I上是单调减函数上是单调减函数，I称为称为yf(x)的单调减区间的单调减区间 若函数若函数yf(x)在区间在区间I上是单调增函数或单调减函数上是单调增函数或单调减函数

3、，那么就说函数那么就说函数yf(x) 在区间在区间I上具有单调性上具有单调性单调增区间单调增区间和单调减区间统称为单调区间和单调减区间统称为单调区间 1 1、单调增函数与单调减函数单调增函数与单调减函数区间区间I任意任意当当x1x2时，都时，都有有f(x1)f(x2)2 2、单调性、单调区间、单调性、单调区间单调增区间：单调增区间：单调减区间：单调减区间： 4，140，4 ，14，24你能找出气温图中的单调区间吗你能找出气温图中的单调区间吗? ?巩固回顾回顾我们初中学过的函数我们初中学过的函数xyOxyOxyO22)(xxf32)(2xxxfxxf1)(用定义法证明函数单调性的步骤：用定义法证

4、明函数单调性的步骤：取值；取值；作差变形；作差变形；定号；定号；判断判断问题问题 讨论函数讨论函数 的单调性的单调性1)(xxxf思考思考实际问题实际问题 在一碗水中，加入一定量的在一碗水中，加入一定量的糖，糖加得越多糖水就越甜你能运用所糖，糖加得越多糖水就越甜你能运用所学过的数学知识来解说这一现象吗？学过的数学知识来解说这一现象吗？ xyO11小结 1、函数的单调性的定义函数的单调性的定义 2、判断、证明函数的单调性方法判断、证明函数的单调性方法作业布置2、函数、函数 在在0， ）是增函数，你能确定字母是增函数，你能确定字母 的值吗？的值吗？cbxxy2b1、若定义在、若定义在R上的单调减函

5、数上的单调减函数 满满足足 ，你知道，你知道 的取的取值范围吗？值范围吗？)3()1 (afafa)(xf（1）阅读课本）阅读课本P27P30 例题例题（2）书面作业：课本）书面作业：课本P39 1、2、3课后尝试22)(xxf证明：函数证明：函数 在在R R上是单调减函数上是单调减函数证：在证：在R R上任意取两个值上任意取两个值 ，且，且 ，21,xx21xx 21xx , 021 xx0)(221xx, 0)()(21xfxf).()(21xfxf 即即 22)(xxf在在R R上是单调减函数上是单调减函数取值取值作差变形作差变形定号定号判断判断)22()22()()(2121xxxfx

6、f)(221xx 则则证明：函数证明：函数 在区间在区间1 1，）上是单调减函数上是单调减函数证：在区间证：在区间 1 1，）上任意取两个值）上任意取两个值 ，且且 ，21,xx21xx 32)(2xxxf 在区间在区间 1 1，）上是）上是单调增函数单调增函数32)(2xxxf211xx , 021 xx0221 xx, 0)()(21xfxf).()(21xfxf 即即 取值取值作差变形作差变形定号定号判断判断) 32() 32()()(22212121xxxxxfxf)2)(2121xxxx)(2)(212121xxxxxx则则证：在区间（证：在区间（，0 0）上任意取两个值）上任意取两个值 ，且且 ，21,xx21xx 021 xx, 012 xx021xx, 0)()(21xfxf).()(21xfxf 即即 证明：函数在区间（证明：函数在区间（，0）上是单调减函